Introduction%20

1
Introduction à la logique
2
Introduction aux fonctions logiques

• Systèmes binaires
• Deux états fondamentaux et distincts
• Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
• Par convention
• Un état est représenté par  0 
• Lautre est représenté par  1 .

3
La logique Booléenne

• En 1847, George Boole invente une algèbre pour
  traiter les variables binaires.
• Il écrira  The Mathematical Analysis of Logic ,
  Cambridge,
• Il définit 3 opérateurs de base, ainsi quune
  foule de règles et de postulats.

4
Types de représentation

• Les fonctions logiques peuvent être représentées
  de plusieurs façons
• Équations logiques
• Tables de vérités
• Logigrammes
• Diagrammes échelle (Ladder)
• Ces représentations seront introduites avec les
  fonctions de base...

5
Fonctions logiques de base - NON - ET - OU
6
Fonction logique NON

• En anglais NOT
• Représentation
• F A ou F /A

7
Fonction logique ET

• En anglais AND
• Représentation
• F A B

8
Fonction logique OU

• En anglais OR
• Représentation
• F A B

9
Autres fonctions logiques - NAND - NOR -
EXOR - ID (EXNOR) - ...
Portes universelles
10
Fonction logique NON-ET

• En anglais NAND
• Représentation
• F A B

11
Fonction logique NON-OU

• En anglais NOR
• Représentation
• F A B

Table de vérité
Entrée
Sortie
F
A
B
0
0
1
A
1
0
0
F
1
0
0
B
0
1
1
Symbole graphique
12
Portes universelles

• Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
  de générer toutes les fonctions booléennes.
• Ex. Avec NOR
• NON /(AA) /A
• ET /(/A /B) //A //B AB
• OU /(/(A B)) A B

13
Portes universelles

• Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
  de générer toutes les fonctions booléennes.

A
B
14
Fonction OU-EXCLUSIF

• En anglais EXOR
• Représentation
• F A ? B

/BAB/A
/BA
B/A
15
Fonction NON OU-EXCLUSIF

• En anglais EXNOR
• Représentation
• F A ? B

/B/ABA
/B/A
BA
16
Fonctions de 2 variables

• Il existe 16 fonctions logiques possibles ayant 2
  variables.

17
Fonctions de 2 variables
F7/(AB)
F0 0
F1 /A./B
F3 /A
F5 /B
F2 /A.B
F6A?B
F4 A./B
18
Réalisations des fonctions logiques - circuit
électrique- relais (automatisme)- logigramme
(carte de contrôle, circuit intégré,...)
19
Fonction logique NON

• Interrupteur normalement fermé

20
Fonction logique ET

• Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en
  séries.

21
Fonction logique OU

• Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en
  parallèles.

22
Fonction logique NON-ET

• Utilise deux interrupteurs normalement fermés en
  parallèles.

23
Fonction logique NON-OU

• Utilise deux interrupteurs normalement fermés en
  série.

24
Fonction OU-EXCLUSIF

• Utilise deux interrupteurs à deux contacts

25
Fonction NON OU-EXCLUSIF

• Utilise deux interrupteurs à deux contacts

26
Exercice (1)

• Il est possible de représenter une fonction
  logique en utilisant cette approche.
• Ex. F AB /C

27
Exercice (2)

• F (AB /A./B)(BC/CD)

28
Réalisations des fonctions logiques - circuit
électrique- relais (automatisme)- logigramme
(carte de contrôle, circuit intégré,...)
29
Fonctions logiques utilisant des relais

• En automatisation, on utilise les relais pour
  réaliser des fonctions logiques.
• Le relais est une composante électromécanique.

A
A
A
A
A
30
Fonction logique NON

• Relais avec un contact normalement fermé

31
Fonction logique ET

• Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
  séries.

32
Fonction logique OU

• Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
  parallèles.

33
Fonction logique NON-ET

• Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.

34
Fonction logique NON-OU

• Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en
  parallèles.

35
Fonction OU-EXCLUSIF

• Lampe K ? L /K.L K./L

36
Fonction NON OU-EXCLUSIF

• Lampe M ? N M.N /M./N

37
Réalisation exercice
Réaliser (avec des circuits électriques et
relais) - F ab c - F (ab /a/b)(bc
/cd) - F (a b c)(/a b/c c)
38
L ALGEBRE DE BOOLE

• Un ensemble E possède une structure d'algèbre de
  Boole s'il est muni de deux lois de composition
  interne associatives et commutatives notées et
  
• les lois et sont distributives l'une par
  rapport à l'autre et admettent un élément neutre
  (0 et 1 respectivement)
• tout élément de E est idempotent pour chaque loi
  x x x et x x x
• Tout élément x de E possède un unique élément,
  dit complémenté de x, généralement noté
  généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu
  x /x 1 et le principe de contradiction x
  /x 0.Dans cette algèbre, on peut écrire /x
  1 - x.

39
Lalgèbre Booléenne lois fond.
et sont deux lois de composition interne

• Fermeture
• Si A et B sont des variables Booléennes, alors
  AB, AB sont aussi des variables Booléennes.
• Commutativité
• A B B A
• A B B A

40
Lalgèbre Booléenne lois fond.

• Associativité
• A (B C) (A B) C
• A (B C) (A B) C
• Distributivité
• ET sur OU A(B C) AB AC
• OU sur ET A(BC) (AB)(AC)

? 2(32) ? (23) (22)
41
Lalgèbre Booléenne

• Idempotence
• A A A
• A A A
• Complémentarité
• A A 1
• A A 0
• A A

42
Lalgèbre Booléenne

• Identités remarquables
• 1 A 1 et 1 A A
• 0 A A et 0 A 0
• Distributivité interne (très utile pour la
  simplification algébrique des fonctions
  booléennes).
• A (B C) (A B) (A C)
• A (B C) (A B) (A C)

43
Lalgèbre Booléenne

• Théorème de De Morgan
• (A B) A B
• et
• A B A B

44
Lalgèbre Booléenne théorèmes
?
?
?
?
Le complément dune expression quelconque
sobtient en complémentant les variables et en
permutant les opérateurs ET et OU.
45
Simplification
Méthode algébrique Appliquer les principes de
lalgèbre de Boole. Méthodes graphiques
Karnaugh Mahoney Méthodes programmables
Utilisation des algorithmes de simplification
algébrique.
46
Règles de simplification
Règle 1 On peut simplifier une fonction logique
en regroupant des termes à laide des théorèmes.
ABC AB/C A/BCD
AB(C /C) A/BCD
AB A/BCD
A(B /BCD)
Distributivité /
A(B /B) (BCD)
A(BCD)
Règle 2 On peut ajouter un terme déjà existant
à une expression logique.
ABC /ABC A/BC AB/C
ABC /ABC ABC A/BC ABC AB/C
BC AC AB
47
Lalgèbre Booléenne simplification
X X/Y XY (X Y)(X /Y)
X X XY X(XY)
X /XY X Y
X(/X Y) XY
XY /XZ YZ XY /XZ
(XY)(/XZ)(YZ) (XY)(/XZ)
XY X/YZ XY XZ
(X Y)(X /Y Z) (XY)(XZ)
/...
48
Lalgèbre Booléenne expression avecdes
fonctions NAND et NOR
Re-écrire l expression de la fonction Z en
n utilisant - que des portes NOR, et puis -
que des portes NAND (après simplification).
Z (x /y z)(x /z) (/x /y)
49
Représentations dune fonction logique

• Table de vérité
• Equation logique

50
Table de vérité vs logigrammes

• Pour une table de vérité donnée, nous pouvons
  trouver léquation logique et le logigramme (ou
  diagramme échelle) correspondant
• Il faut utiliser lalgèbre de Boole pour
  simplifier.

51
Table de vérité vs logigrammes

• Construction dune table de vérité
• N variables
• N1 colonnes
• 2N lignes
• Chaque ligne est représentative dune combinaison
  des variables parmi les 2N possibles (N
  colonnes).

52
Table de vérité vs logigrammes

• Exercice.
• Soit un local ayant trois portes identifiées a, b
  et c. À proximité de chacune de ces portes nous
  trouvons un interrupteur à bascule que les gens
  manipuleront lorsquils entreront ou sortiront.
  Ces interrupteurs commandent une ampoule qui
  éclaire le local. Ainsi, une personne qui entre
  par la porte  a  manipulera linterrupteur
   a  pour allumer lampoule et cette même
  personne sortant par la porte  b  manipulera
  linterrupteur  b  pour éteindre lampoule.
  Lors de linauguration du local, a 0, b 0, c
  0, et lampoule L est éteinte (L 0).

53
Formes canoniques des équations booléennes

• 1 forme Somme de produits.
• FABC B
• 2 forme Produit des sommes.
• F (AB)(AC)
• 3 forme nutilise que des NAND
• F ABC ABC ABC ABC
• 4 forme nutilise que des NOR
• F (ABC)(ABC)

Ex. Mettre sous la forme 3 lexpression FABC
ABC ABC ABC
Ex. Mettre sous la forme 4 lexpression F(ABC)
(ABC) (ABC) (ABC)
54
Table de vérité ? Eq. logique

• Trouver léquation de S. (??)

55
Exemple

• Solution
• On construit léquation de S en écrivant tous les
  termes donnant S1.
• Ainsi, S 1
• si C0 et B1 et A0
• ou si C0 et B1 et A1
• ou si C1 et B0 et A1
• ou si C1 et B1 et A0.

56
Exemple

• On peut donc écrire
• S /C.B./A /C.B.A C./B.A C.B./A
• On peut simplifier
• S /C.B B./A C./B.A
• Autre solution possible
• S /C.B C.(A?B)

57
Si nous utilisions des relais...

• S /C.B B./A C./B.A B.(/C /A) C./B.A

58
La simplification des équations

• La simplification est essentielle.
• Il faut avoir le circuit le plus simple que
  possible...
• La simplification peut être un processus long si
  le système est complexe.
• Heureusement, il existe des techniques simples
  pour simplifier.

59
Méthodes de simplification

• Il est possible d obtenir directement une
  équation sous sa forme simplifiée en utilisant
  une méthode de simplification graphique.
• Méthodes de simplification graphique
• Tables de Karnaugh
• Table de Mahoney

60
Principes de base

• Représentation de la table de vérité sous forme
  graphique.
• Nombre de cases nombre de lignes de la table de
  vérité.
• Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n Nombre
  d entrées
• Principe de simplification Deux termes se
  simplifient sils ne diffèrent que par le fait
  quune variable est présente dans un terme et son
  inverse dans lautre terme.
• A/B AB A
• On cherche à mettre en évidence les
  simplifications possibles (les termes adjacents).

61
Exemple (Karnaugh)
Deux termes adjacents par définition mais non
adjacents sur la table de vérité.
Entrées
Sortie
C
B
A
S
BA
0
0
0
0
C
0
0
1
0
00
01
11
10
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
TABLE DE KARNAUGH
1
1
1
1
TABLE DE VÉRITÉ
Deux termes adjacents par définition et adjacents
sur la table de vérité.
62
Principes de base (suite)

• À partir de la table, on simplifie en groupant
  des 1 adjacents.
• La taille dun groupe est un multiple de 2k (1,
  2, 4, 8, ...).
• Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
• Former les plus gands groupes possibles (Termes
  plus simples).
• Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

63
Exemples de table de Karnaugh

• Avec n 2
• Entrées B et A
• 4 cases

A
B
0
1
00
01
0
10
11
1
64
Exemples de table de Karnaugh

• Avec n 3
• Entrées C, B et A
• 8 cases

BA
C
00
01
11
10
000
001
011
010
0
100
101
111
110
1
65
Exemples de table de Karnaugh

• Avec n 4
• Entrées D, C, B et A
• 16 cases

?
BA
DC
?
00
01
11
10
0000
0001
0011
0010
00
Codage !
0100
0101
0111
0110
01
1100
1101
1111
1110
11
1000
1001
1011
1010
10
66
Rappel Codes binaires
Changer valeur
Code binaire naturel
Code binaire réfléchi
Symétrie
67
Exemple (Karnaugh)

• Rappel S /C.B B./A C./B.A

/C.B.A/C.B./A /C.B
0
0
1
1
0
1
0
1
C./B.A
/C.B./AC.B./AB./A
68
Principes de base (suite)

• Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
• La table se referme sur elle même.

BA
DC
00
01
11
10
/C./A
1
1
0
1
00
0
0
1
0
/D.C./B.A
01
0
0
0
0
/C.B
11
1
1
0
1
10
69
Exemple (Mahoney)
A
A
B
0
1
B
2
3
70
Exemples de table de Mahoney

• Avec n 3
• Entrées C, B et A
• 8 cases

71
Exemples de table de Mahoney

• Avec n 4
• Entrées D, C, B et A
• 16 cases

72
Exemples de table de Mahoney

• Avec n 5
• Entrées E, D, C, B et A
• 32 cases

73
Exemples de table de Mahoney

• Avec n 6

74
Exemple (Mahoney)
0
0
1
0
1
1
0
1
TABLE DE VÉRITÉ
TABLE DE MAHONEY
75
Exemple (Mahoney)

• Rappel S /C.B B./A C./B.A

C./B.A
0
0
1
0
1
1
0
1
/C.B.A/C.B./A /C.B
/C.B./AC.B./AB./A
76
Exercices
2 Passer du tableau de Karnaugh à la table de
vérité. Simplifier.
1 Passer de la table de vérité au tableau de
Karnaugh. Simplifier.
3 Donner lexpression. Minimiser lexpression.
4 Donner lexpression. Minimiser lexpression.
77
Exercices
5 Simplifier.
78
Exercices
5 Simplifier.
/a . b . d /b . /d c
/a . b /b . c
S /a . b . d /b . /d c
S /a . b /b . c
a . /b . /c /a . b /b . d
/a . d /c . d
S /a . d /c . d d . (/a . /c)
S a . /b . /c /a . b /b . d /a . b /b .
(a . /b d )
79
Exercices
a
6 Simplifier.
b
c
a
b
c
80
Exercices
1 Concevoir un circuit capable dadditionner
deux bits, capable de générer leur somme S et
leur report R.
2 Concevoir un circuit de commande dun
afficheur 7 segments pour laffichage des nombres
0, 1, 2, , 9. (des états indifférents) e3 le
poids le plus important e0 le poids le plus
faible
81
Les états indifférents (dont care)

• Ils sont représentés par des X
• En sortie, ils correspondent à des combinaisons
  dentrées pour lesquelles la sortie na pas été
  définie.
• Ex. Un réservoir ne peut être à la fois vide et
  plein.

82
Contrôle de niveau dun réservoir
Capteur de niveau haut h 1 plein
Capteur de niveau bas b 0 vide
Sélecteur de pompe s 0 Pompe 1 s 1 Pompe 2
83
Contrôle de niveau ...

• Si réservoir plein Aucune pompe en marche
• Si réservoir vide Les 2 pompes en marche
• Si réservoir ni vide, ni plein Faire fonctionner
  la pompe sélectionnée par le sélecteur  s .

84
Contrôle de niveau ...

• Table de vérité

Réservoir vide
1 1 1 1
Réservoir à 1/2
1 0 0 1
Réservoir plein et vide ?!?
X X X X
Réservoir plein
0 0 0 0
85
Contrôle de niveau ...

• Tables de Karnaugh

1
1
0
1
X
X
0
0
1
1
1
0
X
X
0
0
86
Contrôle de niveau ...

• Diagramme échelle

Seul risque - si le capteur b est en panne (b0)
alors que le réservoir est plein... Les deux
pompes seront en marche !!!
87
Contrôle de niveau ...

• Si on considère les X comme des 0.

1
1
1
0
P2
/b./h
/h.s
0
0
0
0
1
1
0
1
P1
/b./h
/h./s
0
0
0
0
88
Contrôle de niveau ...

• Diagramme échelle (sécuritaire)

89
Conclusion de lexemple

• Les  X  peuvent êtres utilisés dans des groupes
  de 1 pour en augmenter la taille.
• Cela implique des équations plus simples
• Du point de vue sécurité, il peut s avérer
  nécessaire de considérer les  X  comme des
   0 .

90
Les états indifférents (dont care)

• En entrée, ils permettent décrire les tables de
  vérité sous forme plus compacte.

91
Logique combinatoirev.s. Logique
séquentielle
Les premières méthodes dautomatisation pour les
systèmes séquentiels.
92
La logique combinatoire et les automatismes

• La logique combinatoire peut être utilisée pour
  étudier les automatismes simples.
• Lexemple qui suit montre la marche à suivre...

93
Etapes de la démarche
Dénombrer tous les états possibles. Établir un
diagramme des phases. Établir un diagramme des
transitions. Construire la table de vérité du
système. Trouver les équations logiques des
actionneurs.
1
2
3
94
Plateau tournant

• Cycle de fonctionnement
• poussée sur bouton m
• déverrouillage de W
• avance du vérin V, avec rotation du plateau
• verrouillage de W
• retrait de V, le plateau restant immobile.

95
Plateau tournant

• La méthode utilisée repose sur le fait qu'en
  logique combinatoire, une combinaison d'entrées
  donne une seule combinaison de sorties.

96
Plateau tournant

• Au départ, aucun capteur n'est actionné, et les
  deux vérins sont au repos.
• Donc
• m 0 et a 0 et b 0
• W V 0.

m a b W V
0 0 0 0 0
97
Plateau tournant

• Puis, en appuyant sur m, le vérin W est déplacé.
• Donc

m 1 et a 0 et b 0
?
W 1 et V 0
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
98
Plateau tournant

• Dès que le capteur a est actionné, le vérin V
  provoque la rotation du plateau.

a 1 et b 0 et ce pour m 1 ou m0 (mX)
?
W 1 et V 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
99
Plateau tournant

• Si le capteur b 1, le vérin W verrouille le
  plateau.

b 1 et a 1 , m X
W 0 et V 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
100
Plateau tournant

• Lorsque le capteur a n'est plus actionné, le
  vérin V reprend sa position initiale.

a 0 et b 1 , m X
V 0 et W 0
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
101
Plateau tournant

• Table de vérité

m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
0 1
0 1
0 1
5 lignes représentant 8 états.
102
Diagramme des phases
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
?La méthode utilisée repose sur le fait qu'en
logique combinatoire, une combinaison d'entrées
donne une seule combinaison de sorties.
?
?
??
?
?
103
Diagramme des transitions
W,V
Démarche -chemin principal -assurer
combinatoire -chemins supp. (var. en X)
3
110
m
a
b
m
a
b
104
Diagramme des transitions
Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison
dentrées.
m
a
b
105
Plateau tournant

• Tables de Mahoney

W m./b a./b /b.(ma)
106
Plateau tournant

• Tables de Mahoney

V a
107
Plateau tournant - Réalisation
108
Méthode de Huffman
Exemple où la résolution combinatoire devient
impossible.
Marche (m) et Arrêt (a) d un Moteur (C)
Mise en Marche Si (a 0 ET m 1 ) Alors (C
1) Moteur en marche Si (a 0 ET m 0 )
Alors (C 1) Mise à larrêt Si (a 1 ET m
0) Alors (C 0) Arret Si (a 0 ET m
0 ) Alors (C 0)
Huffman
109
Etapes de la démarche
1
Dénombrer tous les états possibles. Établir un
diagramme des phases. Établir un diagramme des
transitions. Construire la table primitive des
états. Construire la table réduite des
états. Définir des variables
secondaires. Trouver les équations logiques
des actionneurs et des variables secondaires.
2
3
4
110
Dénombrer tous les états possibles. Établir un
diagramme des phases.
111
Dénombrer tous les états possibles. Établir un
diagramme de transitions.
112
Construire la table primitive des états
Code binaire réfléchi
?
Etat indiff.
Etat stable (1 par ligne)
2
4
Etat transitoire (montre l évolution possible
d un état stable vers un autre)
5
3
C
2
10
C
1
3
5
11
00
00
ma
4
01
113
Construire la table réduite des états
Le regroupement de lignes de la matrice primitive
doit obéir aux règles suivantes  Les niveaux
logiques de la ou des sorties doivent être les
mêmes sur les lignes à regrouper. Les états
sur chacune des lignes à regrouper doivent être
les mêmes ou correspondre à un X. .Les états
sont fusionnés selon la règle ? gt 3 gt X
114
Construire la table réduite des états
115
Construire la table réduite des états
Introduction d une variable secondaire.
116
Trouver les équations pour C
Pour remplir la table d'une sortie, il faut
mettre dans chaque case la valeur de la sortie
pour l'état stable correspondant au numéro d'état
de la case correspondante de la matrice
contractée.
m
a
x
0
0
0
1
C (mx)a
0
0
1
1
117
Trouver les équations pour x
Pour remplir la table dune variable secondaire,
il faut mettre dans chaque case la valeur de la
variable secondaire pour létat stable
correspondant au numéro détat de la case
correspondante de la matrice contractée.
m
a
x
0
0
0
1
x (mx) a
0
0
1
1
118
Exercice Plateau tournant (huffmann)
Aucune contrainte pour lopérateur.
119
Méthodes intuitives(fondées sur la méthode de
Huffman)
Dans certains automatismes les variables
secondaires sont les sorties du système.
120
Exemple

• Un moteur qui peut tourner vers la gauche
  (contacteur  G ) ou vers la droite (contacteur
   D ). Ce moteur est commandé par trois
  boutons 
•  m  et  n  qui sont verrouillés mécaniquement
  (donc impossibles à actionner en même temps) et
  qui correspondent respectivement à une rotation
  à gauche et une rotation à droite
•  a  qui est le bouton darrêt (prioritaire si
  appuyé en même temps que  m  et  n ).

121
Exemple
122
Exemple
Il faut deux variables intermédiaires pour
distinguer ces trois états.
Ils se différencient grâce à leur sortie.
Les Sorties seront les variables intermédiaires.
Choisissons x G et y D
123
Matrice réduite des états
m
n
G
D
a
y
x
0
0
5
2
0
1
4
8
2
X
X
1
0
4
5
7
124
Equations de x
x (m/a x/n/a) /y
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
x m/a
x x/n/a
125
Equations de y
y (n/a y/m/a) /x
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
y n/a
y y/m/a
126
Étude simplifiée des automatismes à cycles
géométriques
127
Distributeur de caissettes

• Suite à lappui sur le poussoir  m 
• Extension du vérin H pour pousser la caissette
  sur le tapis
• Extension du vérin V pour soulever la caissette 2
  pendant la rétraction du vérin H.
• Rétraction du vérin H
• Rétraction du vérin V

128

• Au départ, capteurs b et d actionnés et deux
  vérins sont au repos.

129

• En appuyant sur m, extension du vérin H.

130

• - b 0.
• - Arrivée de H en fin de course, extension de V

131

• - d 0.
• Arrivée de V en fin
• de course, rentrée de H

132

• - a 0.
• - Arrivée de H en fin de course, rentrée de V

133

• - c 0.
• - Fin du cycle
• ?Autres cas impossibles car Vérins entrés et
  sortis en même temps.

134
Distributeur de caissettes
H m.d /b.d/ca d(m/b)/ca
135
Distributeur de caissettes
V a /b.c
136
Cycle géométrique
Sortie actionnée

• Cycle carré.

Deux capteurs actifs
Un capteur actif (associé au vérin qui ne bouge
pas)
b
V
a,c
c
c
b
H,V
a
H
d
d
d
a
b
m
137
Cycle géométrique

• H (m/b).d a./c
• V ac./b
• Mise en équation directement du graphique
  ci-contre.

138
Système de perçage

• Cycle en L.

139
Système de perçage

• Variable x
• X1 sur M-N-O
• X0 sur O-N-M.
• X a X./b
• H X /h
• V X.c

140
Système de transfert

• Cycle complexe

141
Système de transfert

• Variables X,Y,Z
• X 1 et Y 0 et Z 0
• Sur M-N
• X 1 et Y 1 et Z 0
• Sur N-M
• X 1 et Y 1 et Z 1
• Sur M-O
• X 0 et Y 1 et Z 1
• Sur O-M
• X 0 et Y 0 et Z 1
• Sur M-P
• X 0 et Y 0 et Z 0
• Sur P-M

142
Système de transfert

• X c./Z X.(/c Y)
• Y a Y./b
• Z b Z./e
• W Z.c
• V V.X.(/Y./ZY.Z)

143
Machine à remplir et à boucher
Identifier des cycles géométriques