Ecuaciones Diferenciales Facultad de ingeniera UNRC

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Ecuaciones DiferencialesFacultad de
ingenieríaUNRC
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Ecuaciones DiferencialesSeries de
FourierPráctico
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Problema 5 (a)
f(x)p - x - p lt x lt p
? T2 p ? L p
?
?

4
Problema 5 (a)
?

5
Problema 5 (a)
?

?
6
Problema 5 (b)
?
?
T2
L1
Redefiniendo la función para otro intervalo
f(x) es una función par ? bn 0
?
?
7
Problema 5 (b)

8
Problema 5 (b)
9
Problema 5 (c)
L?
?
T2?
f(x) es una función par ? bn 0

10
Problema 5 (c)



11
Problema 5 (c)
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Problema 6 (a)
f(x) p - x 0 lt x lt p
? L p
f(x) es una función par ? bn 0


?

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Problema 6 (a)

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Problema 6 (b)
f(x) es una función impar ? an a0 0


15
Problema 6 (b)
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Problema 7 (a)
Expresaremos a f(t)t como una extensión (par o
impar) de la Serie de Fourier, de manera que
cumpla con las condiciones de frontera.
Extensión impar de la Serie de Fourier
an a0 0
Extensión par de la Serie de Fourier
bn 0
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Problema 7 (a)
En este caso la extensión impar cumple con las
condiciones de frontera, entonces expresaremos a
f(t)t, como una extensión impar de la Serie de
Fourier, con L 2.

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Problema 7 (a)
Entonces la extensión impar de la Serie de
Fourier de f(t) t (con L 2) es
Entonces la EDO, con valores en la frontera queda
Solución de la EDO homogénea
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Problema 7 (a)
Solución Particular
Métodos de los Coeficientes Indeterminados
IMPORTANTE!!!
La solución planteada es válida siempre y cuando
En este caso se cumple la desigualdad anterior
para todo valor de n (entero), por lo tanto la
solución propuesta es correcta.
Entonces, reemplazando la solución propuesta y su
derivada segunda en la EDO no homogénea
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Problema 7 (a)
Entonces, la solución particular es
21
Problema 7 (a)
La solución es
Para calcular las constantes c1 y c2, imponemos
las condiciones de borde
22
Problema 7 (b)
En este caso la extensión par cumple con las
condiciones de frontera, entonces expresaremos a
f(t) t, como una extensión impar de la Serie de
Fourier, con L 2.

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Problema 7 (b)


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Problema 7 (b)
Entonces la extensión par de la Serie de Fourier
de f(t) t (con L 2) es
Entonces la EDO, con valores en la frontera queda
Solución de la EDO homogénea
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Problema 7 (b)
Solución Particular
Métodos de los Coeficientes Indeterminados
IMPORTANTE!!!
La solución planteada es válida siempre y cuando
En este caso se cumple la desigualdad anterior
para todo valor de n (entero), por lo tanto la
solución propuesta es correcta.
Entonces, reemplazando la solución propuesta y su
derivada segunda en la EDO no homogénea
26
Problema 7 (b)
Entonces, la solución particular es
27
Problema 7 (b)
La solución es
Para calcular las constantes c1 y c2, imponemos
las condiciones de borde
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Problema 8 (a)
Con m 2, k 32 y F(t) definida por
L1
?
T2
f(x) es una función impar ? an a0 0

29
Problema 8 (a)
Entonces
Reemplazando en la EDO
Solución de la EDO homogénea
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Problema 8 (a)
Solución Particular
Métodos de los Coeficientes Indeterminados
IMPORTANTE!!!
La solución planteada es válida siempre y cuando
En este caso se cumple la desigualdad anterior
para todo valor de n (entero), por lo tanto la
solución propuesta es correcta.
Entonces, reemplazando la solución propuesta y su
derivada segunda en la EDO no homogénea
31
Problema 8 (a)
Entonces, la solución particular es
32
Problema 8 (a)
La solución es
Para calcular las constantes c1 y c2, imponemos
las condiciones iniciales.
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Problema 8 (b) i
L p
?
T2 p
f(x) es una función impar ? an a0 0

Entonces
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Problema 8 (b) i
Reemplazando en la EDO
Solución de la EDO homogénea
Solución Particular
Métodos de los Coeficientes Indeterminados
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Problema 8 (b) i
IMPORTANTE!!!
La solución planteada es válida siempre y cuando
En este caso se cumple la desigualdad anterior
para todo valor de n (entero impar), por lo tanto
la solución propuesta es correcta.
Entonces, reemplazando la solución propuesta y su
derivada segunda en la EDO no homogénea
36
Problema 8 (b) i
Entonces, la solución particular es
La solución es
Para calcular las constantes c1 y c2, imponemos
las condiciones iniciales.
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Problema 8 (b) ii
?
T2 p
L p
f(x) es una función impar ? an a0 0

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Problema 8 (b) ii
Entonces
Reemplazando en la EDO
Solución de la EDO homogénea
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Problema 8 (b) ii
Solución Particular
Métodos de los Coeficientes Indeterminados
IMPORTANTE!!!
La solución planteada es válida siempre y cuando
En este caso se cumple la desigualdad anterior
para todo valor de n (entero) distinto de 4, por
lo tanto la solución propuesta es correcta para n
? 4. Para n 4 debe proponerse una solución LI
con la solución homogénea. La solución particular
propuesta es entonces
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Problema 8 (b) ii
Antes de reemplazar la solución propuesta,
debemos acomodar la EDO
Como antes reemplazamos la solución propuesta y
su derivada segunda en la EDO no homogénea para
calcular los coeficientes.
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Problema 8 (b) ii
Igualando términos semejantes
42
Problema 8 (b) ii
La solución es
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Problema 9
Modelo Matemático
Donde E(t) es una función periódica con período 1
y definida como
?
L
A partir del gráfico se puede ver que la función
dada puede verse como una función impar con un
adecuado traslado de ejes, por lo tanto el
coeficiente an de su Serie de Fourier se anula.
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Problema 9
?
1

0
45
Problema 9
Entonces E(t) puede expresarse como
?
Aplicando el modelo matemático con incógnita
I(t), tenemos
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Problema 9
Reemplazando los valores
La solución estacionaria está relacionada con la
solución particular ?
Se propone la siguiente solución particular
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Problema 9
Reemplazando en la EDO no homogénea, resulta
Agrupando convenientemente
Resolviendo el sistema de ecuaciones
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Problema 9
Valores que deben ser reemplazados en la solución
particular propuesta.
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ingenieríaUNRC
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Problema 8 (b)
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Problema 8 (b)
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Problema 8 (b)