Problиme d’acheminement

1
Problème dacheminement
République Algérienne Démocratique et
Populaireet de la recherche scientifiqueUniversi
té des sciences et de la teMinistère de
lenseignement supérieur chnologie dOran Mohamed
Boudiaf- U.S.T.O - MBFaculté des
sciencesDépartement dInformatiqueSpécialité I.
S.I
Projet Recherche Opérationnelle
Présenté par LARBI Djamila
BOUCHENAFA Brahim El-Khalil

• Examinateur Mr.hamdaoui

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plan

• Introduction
• Problème dacheminement
• DFCI
• Distribution deau potable
• conclusion

3
Introduction

• Définition
• La RO est la discipline des méthodes
  scientifiques utilisables pour élaborer de
  meilleures décisions.
• La RO propose des modèles conceptuels pour
  analyser des situations complexes et permet aux
  décideurs de faire les choix les plus efficaces.
• Une approche de RO
• Comprendre le problème
• Modéliser le problème
• Proposer des méthodes de résolution, d'aide à la
  décision
• Tester les méthodes
• Mettre en place les méthodes et les confronter à
  la réalité

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Introduction
Les domaines dapplication

• actuelle
• production
• Transport
• Aéroportuaire
• Télécommunication
• Spatial

• futur
• extraction de connaissances
• bioinformatique
• écologie
• les grands BDD

5
Introduction
Les problèmes de sac à dos Les problèmes
dacheminement Les problèmes daffectation Les
problèmes dordonnancement Les problèmes de file
dattente
Les grandes classes de problème
6
Introduction
Les problèmes dacheminement
Il sagit de divers problèmes entre les sources
ayant des disponibilités données et des
destinations avec des demandes données. Les arcs
du réseau ont des coûts et éventuellement des
capacités. problèmes de chemin optimaux
Problèmes de distribution sans capacités
problème de transport problème de
transbordement Problèmes de distribution avec
capacités Problème de flot maximum Problème
de flot de coût minimum Problème de multi flots
7
problèmes de chemin optimaux
Les problèmes dacheminement

• Graphe orienté value G(X,U,C)
• on sintéresse au PCC (plus court chemin).
• Pas de circuit, de coût négatif
• Plusieurs problèmes se distinguent
• Trouver le PCC entre deux nœuds
• - Algorithme de Dantzig, Dijkstra,
  Bellman, etc.
• Trouver un PCC entre un nœud s et tous
  les autres .
• Trouver le PCC entre tout couple de
  nœuds,

X lensemble des nœuds,
U lensemble des arcs
C la fonction de poids ou de coût appliquée aux
arcs.
8
Algorithme de Dantzig
Les problèmes dacheminement
Chercher le plus court chemin entre sommet de
départ a et sommet darrivé b , Déterminer pour
tout sommet x un nombre W(x) qui donnera la
longueur du plus cours Chemin entre a et
x Arrêt Sarrêter une fois tous les sommets sont
affectés dun nombre W.
9
Algorithme de Dijkstra
Les problèmes dacheminement
Déterminer le plus cours chemin dun sommet á
tous les autre sommets soit P (potentiel) une
fonction définie sur les sommets S source ou
sommets de départ.X ensemble des sommets du
graphe.M ensemble des sommets marqués.
10
Les problèmes dacheminement
11
Les problèmes dacheminement
Les problèmes dacheminement
Il sagit de divers problèmes de transport entre
les sources ayant des disponibilités données et
des destinations avec des demandes données. Les
arcs du réseau ont des coûts et éventuellement
des capacités. problèmes de chemin optimaux
Problèmes de distribution sans capacités
problème de transport problème de
transbordement Problèmes de distribution avec
capacités Problème de flot maximum Problème
de flot de coût minimum Problème de multi flots
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problèmes de transport
Les problèmes dacheminement
- Données un ensemble X de m origines avec
des disponibilités ai pour chaque produit et un
ensemble Y de n destinations avec des demandes
bj. Coût unitaire cij.
clients
Coût
les biens disponibles i ? 1..m
usines
S ai S bj i j
les biens demandés j ? 1..n
xij quantités transportées du i vers j
- Objectif calculer un plan de transport
pour minimiser le coût de transport
13
problèmes de transport
Les problèmes dacheminement
-Modélisation de problème
x11 x12 x13 x14 9 x21 x22 x23 x24
10 x31 x32 x33 x34 7 x11 x21
x31 6 x12 x22 x32 9 x13 x23
x33 8 x14 x24 x34 3
pour l'usine 1
pour l'usine 2
pour l'usine 3
pour le client 1
pour le client 2
pour le client 3
pour le client 4
Min Z c11.x11c12.x12c34.x34
14
problèmes de transport
Les problèmes dacheminement
-Modélisation de problème
Fonction objectif
Min ZSScijxij I j
S xij ai pour 1 ? j ? m j
de production 
Contraintes
S xij bj pour 1 ? i ? n i
de consommation
xij ? 0
de signe
15
18-99
Les problèmes dacheminement
problèmes de transport

• La solution
• coin Nord-Ouest ("hasard")
• des solution non optimale
• Balas-Hammer

On choisit le chemin ayant le cout le plus faible
et on lutilise pour transiter le maximum de
marchandises.
ici, cest le chemin (1,1), on y fera passer 9
unités de marchandises.
9
9
9-90
2
5
25
32-230
30-525
0
6
5
14-68
8-53
3
9
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
2
5
0
3
Z 129 279 392 7825 425 923
246 535 409 3634 Cette solution est
optimal
16
DFCI
DFCI
Défense des Forêts Contre les Incendie
17
est un incendie qui se propage sur une étendue
boisée
DFCI
Feu de foret
18
DFCI
Causes
Cause inconnue  Cause naturelle 
imprudences, accidents dus à la
circulation en forêt ou en périphérie, lignes
électriques, dépôts dordures, reprise de feu,
etc.
essentiellement, la foudre
pyromanie, conflit, intérêt politique ou foncier.
Cause humaine involontaire (ou accidentelles) 
Cause humaine volontaire 
19
DFCI
Causes
20
DFCI
Dégâts

• Dégâts physiques 
• Algérie surface brulée est
• Dégâts écologiques
• Pollution de l'air 
• Pollution photochimique
• Les gaz émis interagissent avec les rayons
  solaires ultraviolets pour produire une pollution
  dite photochimique.
• Gaz à effet de serre

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DFCI
La défense contre les incendies
Les moyens de lutte contre les incendies de forêt
en Algérie
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DFCI
Description de problème
une image satellitaire permet de mieux voire une
exemple d incendie, Deux forêts brûlent au même
temps
23
DFCI

• Données
• 2forêts brûlent Msila, Merjajou.
• Leau nécessaire disponible dans 2 Points deau
  A et B
• Graphe orienté value G (Y, U, C)
• Y lensemble des nœuds,
• Uij lensemble des arcs
• Cij  la distance entre le points deau i et
  forets j
• Xij quelle quantité deau envoyé ( points deau
  i aux forets j) et avec quel camions

Description de problème
24
DFCI
Description de problème
25
DFCI
Description de problème
Demande

800 m³ pour Msila
1600 m³ pour Merjajou

Disponibilités

1000 m³ a A

1500 m³
a B
26
objectif
DFCI
Description de problème
objectif
Minimiser les dégâts estimés
Comment
Par la Minimisation de temps de parcours entre
les points deau et les lieux dincendie
(1) les demandes sont satisfaites
(2) quantités demandées ne dépassent pas la
quantités disponibles
(3) quantités envoyées gt 0
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DFCI
Modélisation de problème
La fonction objectif Min Z X11U11X12U12X21U21
X22U22
X11X21gt800 X12X22gt1600
(1) les demandes sont satisfaites
X11X12lt1000 X21X22lt1500
(2) quantités demandées ne dépassent pas la
quantités disponibles
(3) quantités envoyées gt 0
Xij gt0
28
DFCI
Description de problème
Conclusion Une lutte efficace contre les
incendies passe par la mise à disposition des
pompiers dune quantité deau suffisante et
toujours disponible. Cest une obligation dont
la responsabilité incombe aux maires, quelle que
soit la nature de lenvironnement. Si les choses
semblent assez faciles en milieu urbain, elles
sont parfois plus difficiles à réaliser en milieu
rural. Souvent, la solution de facilité consiste
à surdimensionné les réseaux dalimentation en
eau des communes.
29
les biens demandés j ? 1..n
DFCI
La formule générale
forêts
la distance entre i et j
Points deau
les biens disponibles i ? 1..m
xij quantités transportées du i vers j
30
Problème de distribution deau potable
31
Problème de distribution deau potable

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

• Introduction
• Daprès ce que a était présenté par Melle
  LARBI Djamila on peut estimé que leau le moyen
  le plus important pour gérer DFCI Dans le but
  damélioré le rendement de la distribution et de
  réfléchir à des solutions pour mieux gérer leau
  qui est un bien commun et une ressource
  indispensable à la vie en fait appel a la
  recherche opérationnelle qui vat nous permettent
  de traité de différent problèmes .
• Maximisation du flot dans un réseau hydraulique.
• Minimisation des couts de distribution .

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Problème de distribution deau potable

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

De la source aux consommateurs
Barrage deau
les château deau
les poteaux d'incendie
les robinets
33
Problème du flot maximal sur un réseau.

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

Présentation du problème
Le problème est de déterminer s'il est possible
de satisfaire à travers un réseau la demande des
différentes villes et comment ??? Pour résoudre
ce problème il faut dans un premier temps le
modéliser. Pour cela, nous introduisons un
nouveau problème standard qui est celui du flot
maximal sur un réseau.
34
Problème du flot maximal sur un réseau.

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U, C, s, p) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F sur l'arc de
  retour u est le plus grand possible.

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Problème du flot maximal sur un réseau.

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

Modélisation de problème

• Un réseau G (X, U, C, s, p)
• Un flot est une application F de U dans N.

Objectif
déterminer un flot maximal sur G, et dont le
flux F sur l'arc de retour u est le plus grand
possible. Respectant les capacités (1)
Conservation de flots (2) Valeur de flot à
maximiser (3)
Fonction objectif
Fij ? Cij ?(i,j) ? U (1)
Contraintes
S Fij S Fij ?i,j ? N i,j? s, p.
(2) j succ s j pred p
S Fij S Fij F
(3) j succ s j pred p
36
Problème du flot maximal sur un réseau.
Exemple détude

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

Un graphe représente un système de distribution
de leau
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Problème du flot maximal sur un réseau.
Description de problème
Données Graphe orienté value G (X, U, C, B,
) Demande 50 000 m³ pour la ville 1. 40 000
m³ pour la ville 2. 80 000 m³ pour la ville
3. Disponibilité Deux châteaux d'eau ont une
capacité 100 000 m³
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Problème du flot maximal sur un réseau.
Description de problème

• Objectif
• Maximiser la quantité d'eau qui doit être
  distribuer à la population
• Comment
• Par la détermination dun flot max sur G, et dont
  le flot F sur larc de retour
  u est le plus grand possible,
• 
  mais on
• Respectant les capacités.
• Respectant la loi de Conservation de flot.
• Valeur de flot á maximisé.

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Problème du flot maximal sur un réseau.
Modélisation de problème
on introduit deux sommets
s avec deux arc
(s,C1) et(s,C2)
p avec trois arc (V1,p)(V2,p)
et (V3,p)

• on introduit un arc de retour
• Représente le flot du réseau.

170
40
Problème du flot maximal sur un réseau.
Modélisation de problème

• A chaque arc on a les flot inferieur a la
  capacité
• pour l arc (s ,c1) 90 ? 100
  
• pour l arc (s ,c2) 80 ? 100
• pour l arc (c1, v1) 30 ? 30
• pour l arc (c1, p1) 60 ? 60
• pour l arc (v2, p) 40 ? 40
• pour l arc (v3, p) 80 ? 80
• La loi de conservation est vérifier à chaque
  nœud
• Pour c1 on 906030,
• Pour c2 on 805030,
• Pour p1 on 605020403020,
• Pour p2 on 203050
• La loi de conservation est vérifier á s et p
• 
  8090504080 F

La fonction objectif Max F
41
Problème du flot maximal sur un réseau.
Formule générale
Fij ? Cij ?(i,j) ? U (1)
S Fij S Fij ?i,j ? N i,j? s, t. (2) j
succ i j pred I
S Fij S Fij F
(3) j succ s j pred p
Pour une solution optimale au problème en fait
appel a lalgorithme de Ford-Fulkerson .
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Algorithme de Ford-Fulkerson

• Définition du problème de flot maximal sur un
  réseau
• Définition d'un réseau
• Un graphe G (X, U) est un réseau si
• il est connexe
• il possède deux sommets particuliers s et p.
• les arcs sont munis de capacités inférieures Bu
  et supérieures Cu avec Bu Cu.
• graphe sans boucle.
• Définition du problème du flot maximal
• Le problème du flot maximal est celui de la
  détermination d'un flot sur G, compatible avec
  les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de
  retour u0 est le plus grand possible.

Notion de coupes Une coupe est une partition de
nœuds Z(S,P) avec s ?S et p?P. La capacité de la
coupe est la somme des capacités des arcs de S
vers P.
Algorithme de Ford-Fulkerson principe Fin
FAUX Partir d'un flot initial compatible avec les
capacités TANTQUE fin FAUX
Effectuer la procédure de marquage à partir du
flot courant Si p est non marqué
ALORS poser fin VRAI le flot
SINON Modifier le flot à partir d'une chaîne
améliorante µ de s vers P dans G. FINTANTQUE
FIN Laugmentation du flot d est donnée par d
min(Cij-Fij)(i,j)?µ-, Fij(i,j)?µ Propriétés
Le flot maximum est égal à la valeur de coupe
minimale
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Algorithme de Ford-Fulkerson
Application de lalgorithme sur le réseau de
distribution d'eau

• 2eme itération de lalgorithme
• Marquage de la source S ().
• pour larc (s, c1) 90 lt 100 ().
• pour larc (c1, v1) 30 30 on ne peut marquer.
• pour larc (s, c2) 90 lt 100 ().
• pour larc (c2, p1) 40 40 on ne peut marquer.
• pour larc (c2, p1) 50 50 on ne peut marquer.

• 1ere itération de lalgorithme
• Marquage de la source S ().
• pour larc (s, c1) 90 lt 100 ().
• pour larc (c1, c2) 30 30 on ne peut marqué
  .
• pour larc (s, c2) 80 lt 100 ().
• pour larc (c2, p1) 50 50 on ne peut marqué .
• pour larc (c2, p2) 30 lt 40 ()
• pour larc (p2, p1) 20 gt0 (-).
• pour larc (p1, v1) 20 lt30 ().
• enfin le sommet P marqué ().

Alor on a donc mis en évidence une chaîne
améliorante S C2 P2 P1 V1 p qui permet
d'augmenter le flot. Le long de cette chaîne on
peut envoyer 10 unités supplémentaires.

La procédure de marquage permet de marquer s,
puis C1 puis C2. On ne peut rien marquer
d'autre, tous les arcs issus de C1 ou C2 ayant
leur capacité saturée. Donc le flot actuel est
maximal. On ne peut donc envoyer aucune quantité
supplémentaire. Valeur de coupe minimale F
180 000 m³.
44
Problème de distribution deau potable
Conclusion
En réalité En Algérie (ou pays en développement)
lintégration de la recherche
opérationnelle dans différent domaine (en
précision Optimisation de la distribution d'eau
potable) est Loin des aspirations .
Je propose un exemple (avec reportage) dun
système doptimisation de la distribution de
leau potable dans un pays développer (France)
quil a totalement des différentes techniques et
objectifs .
45
Merci pour votre attention