Aujourdhui:

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Aujourdhui

• Les données bivariates
• Correlation
• Regression

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Données Bivariate

• Données Bivariate sont exactement ça, pour
  chaque unité (ou individu) il y a
• deux variablesX et Y
• Nous allons considèrer deux variables continues
• Nous avons pour but détudier la relation entre
  les deux

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Scatterplot

• On peut représenter la collection de paires de
  valeurs avec un scatterplot
• Pour chaque individu avec la paire de valeurs
  (x,y), on met le point (x,y) sur un plan
• Ainsi on peut visualiser comment les deux
  variables sassocient

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ScatterplotLa correlation positive
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Scatterplot La correlation negative
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Scatterplot un vrai exemple
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Resume Numerique

• Typiquement les données bivariates se summarisent
  avec 5 statistiques
• Cettes statistiques decrivent les données assez
  bien si la nuage de points ressemble à un ellipse
• On summarise separement chaque variable X,
  ET(X), Y, ET(Y)
• A ça on ajoute la correlation r r(X,Y)

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La correlation, quest ce que cest?

• r est un mesure de l association LINEAIRE
• Le plus proche soit r à 1, le plus serrées
  seraient les points autour dun droit
• Le signe de r ( ou -) est le meme que celui de
  la pente de ce droit
• Si r 0, les variables ne sont pas LINEAIREMENT
  associées ce qui nimplique pas que les
  variables ne sont pas associées

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r ? 0 une possibilité
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r ? 0 valeurs aberrantes
outliers
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r ? 0 parallel lines
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r ? 0 une autre possibilité
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r ? 0 et une autre possibilité
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La Correlation nimplique pas la causalite

• On ne peut pas deduire d-une haute valeur pour r,
  quil existe une relation entre les deux
  variables. Un changement de X ne menerait pas
  forcément à un changement pour Y
• Cest, par exemple, bien possible que les
• deux sient influencées par une troisième
• variable inconnue

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La Regression simple

• On utilise un ligne y a bx pour prédire la
  valeur de Y étant donné celle de X
• On lemploie pour
• lexplication
• La prediction
• a sappele lintercept b est la pente

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Quelle ligne?

• Il y en a
• plusieurs possibilités

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(No Transcript)
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Creation des transches
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Plot des moyennes
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Regression Prediction

• La regression prediction dit
• si X saugmente par 1 ET(X), la prediction
• Y saugmente par seulement r ET(Y)s (se diminue
  si r était negative)
• Cet idée nous mene à
• b pente r ET(Y)/ET(X),
• et
• a intercept Y b X

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_
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Une autre description

• pour calculer la valeur y qui correspond à une
  valeur x
• On rend x en unités standardes x-gt
• (x-X)/ET(X)
• on multiplie par r pour obtenir la valeur y (en
  unités standardes)
• On transform en unités originales
• y Y YET(Y) r ((x-X)/ET(X) )

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Moindres carrés

• Q Dou vient lequation?
• S Cest le droit qui minimize (sur tous les
  droits) la somme des carrés des erreurs

Y



erreurs


X
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Un modèle stochastique
On postule le modèle suivant yi a ßxi ei
où les ei sont i.i.d. N(0, s2
). Maintenant les valeurs a Y b X et ß
r ET(Y)/ET(X) sont les estimatuers de MV
_
_
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Regression par rapport à la valeur absolue
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Un experience avec une relation nonlinéaire

• x0.1seq(150)
• gt y2x2rnorm(50)
• gt plot(x,y)
• gt abline(lm(yx),col2)
• gt linlt-lm(yx)
• gt plot(fitted(lin),resid(lin))

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Regression avec une relation nonlinéaire
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Plot des residues
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(No Transcript)
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x0.3seq(120) 2 gt x0.3seq(120) gt
y2xseq(120)rnorm(20) gt linlt-lm(yx) gt
plot(fitted(lin),resid(lin))
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Plot des residues
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Scatterplot (again)
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R la commande lm

• Pour calculer les coefficients (intercept et
  pente(s)) avec R lm(y x)
• c.v.d. decrivé (ou modelisé) par
• Exemple prédire ventricular shortening velocity
  de blood glucose
• gt lm(short.velocity blood.glucose)
• Call
• lm(formula short.velocity blood.glucose)
• Coefficients
• (Intercept) blood.glucose
• 1.09781 0.02196

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R summarizing lm

• gt summary(lm(short.velocityblood.glucose))
• Call
• lm(formula short.velocity blood.glucose)
• Residuals
• Min 1Q Median 3Q Max
• -0.40141 -0.14760 -0.02202 0.03001 0.43490
• Coefficients
• Estimate Std. Error t value
  Pr(gtt)
• (Intercept) 1.09781 0.11748 9.345
  6.26e-09
• blood.glucose 0.02196 0.01045 2.101
  0.0479
• ---
• Signif. codes 0 ' 0.001 ' 0.01 ' 0.05
  .' 0.1 ' 1
• Residual standard error 0.2167 on 21 degrees of
  freedom
• Multiple R-Squared 0.1737, Adjusted
  R-squared 0.1343
• F-statistic 4.414 on 1 and 21 DF, p-value
  0.0479

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R NA in statistical functions

• For single vector functions (e.g. mean, var, sd),
  give the argument na.rmTRUE
• For cor, though, there are more possibilities for
  dealing with NA
• See the argument use and the methods given there
  ?cor

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R correlation

• To get the correlation coefficient, type
• gt cor(x,y)
• Note, however, that if there are missing values
  (NA), then you will get an error message
• Elementary statistical functions in R require
• no missing values, or
• explicit statement of what to do with NA

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Correlation Coefficient

• The (sample) correlation coefficient r is
  defined as the average value of the product (X in
  SUs)(Y in SUs)
• r is a unitless quantity
• -1 ? r ? 1
• r is a measure of LINEAR ASSOCIATION
• In R gt cor(x,y)

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Multiple linear regression

• You can also use more than one X variable to
  predict Y
• predicted y a b1x1 b2x2
• Example predict ventricular shortening velocity
  (Y) from blood glucose (X1) and age (X2)
• The prediction function for Y is still linear in
  the parameters (a, b1, b2)

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Exercises Correlation and Regression

• Here, you will work with the classic data set
  anscombe to get some practice making
  scatterplots
• You will also experience the pitfalls of assuming
  what a scatterplot looks like based on summary
  statistics
• You can get some (light) practice doing linear
  modeling by generating data (or using your own)
  and fitting a linear model

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R using lm

• You can do much more complicated modeling with lm
• The result of lm is a model object which contains
  additional information beyond what gets printed
• To extract other quantities
• gt summary(lm(short.velocity blood.glucose))