Comparaison de deux moyennes observes

1
Comparaison de deux moyennes observées

• Situation du problème
• On dispose dune variable qualitative binaire qui
  permet de définir deux groupes.
• On mesure une variable quantitative qui permet de
  calculer dans chaque groupe les différents
  paramètres de la distribution moyenne,
  estimateur de lécart type...
• On désire savoir si les moyennes observées dans
  chacun des groupes peuvent être considérées comme
  des estimateurs de la même moyenne aux
  fluctuations du hasard près.
• Par exemple, on a administré à deux groupes de
  patients tirés au sort deux somnifères. Dans le
  premier groupe, la durée moyenne du sommeil a été
  de 5,6 heures et dans le second de 4,9 heures.
  Les deux somnifères peuvent-ils être considérés
  comme entraînant la même durée moyenne de sommeil
  ?
• Attention
• les techniques développées ci après ne concernent
  que le cas particulier de 2 groupes. Si il y a
  plus de deux groupes on utilise une autre
  approche.
• pour établir le test, on a besoin de lhypothèse
  (que lon peut tester) que les variances des
  populations dont sont issus les deux groupes sont
  identiques.

2
Hypothèses

• Hypothèses
• Hypothèse nulle
• les deux moyennes observées xa et xb sont des
  estimateurs de deux moyennes µa et µb tels que µa
  µb
• les deux échantillons sont issus dune même
  population (même moyenne et même variance)
• Hypothèses alternatives
• Test bilatéral µa µb
• Test unilatéral µa gt µb o u (exclusif) µa lt
  µb
• En pratiques deux cas de figure
• Les effectifs des deux échantillons sont grands
  (supérieurs à 30) Les calculs sont simplifiés,
  on peut utiliser une approche par la loi normale.
• Un des effectifs ou les deux sont petits. En plus
  de légalité des variances, la loi de
  distribution du paramètre doit suivre une loi
  normale. Il est nécessaire de calculer la
  variance commune.
• Eléments nécessaires aux calculs
• les deux moyennes, les effectifs des deux
  échantillons, les deux estimateurs des écart
  types (ou autres paramètres reliés SCE, ESM,
  CV...)

3
Grands échantillons

• Cas des grands échantillons
• Approximation par la loi normale
• Lorsque les deux échantillons sont grands,
• xa suit une distribution normale de moyenne µa
  et de variance sa/Na
• Il en est de même pour xb
• Si les deux échantillons sont indépendants, la
  différence xa - xb suit une loi normale dont la
  moyenne est µa - µb et la variance sa/Na sb/Nb
• Si H0 est vraie µa - µb 0 et

2
2
2
xa - xb
u
suit approximativement une loi normale centrée
réduite
sa sb
2
2
Si Na et Nb sont grands, sa sb sont de
bonnes approximations des vraies variances et
on peut les utiliser dans le calcul. Il y a deux
approximations de nature différente Celle de
la distribution de la moyenne par une loi
normale. Celle de la variance par son estimateur.

• Si u est supérieur à ualpha on rejette
  lhypothèse nulle. Lire dans la table le degré de
  signification p

4
Cas général (petits échantillons)

• Cas général
• Il doit être utilisé lorsquau moins un des
  échantillon a un effectif faible. Il est
  utilisable pour de grands échantillons mais
  nécessite plus de calculs.
• Calcul de la variance commune

• On démontre que

suit une loi de student à Na Nb- 2 DDL
t alpha lu dans la table de Student pour le DDL
correspondant Si t gt t alpha on rejette H0
les deux moyennes diffèrent au risque alpha. On
cherche le degré de signification p dans la table
de t Si t lt t alpha on ne peut pas rejeter H0.
Il n'y a pas de différence significative au seuil
de risque alpha mais ATTENTION au risque bêta.
5
Reemarques

• Remarques sur les conditions dapplications cas
  des petits effectifs
• Egalité des variances homocédasticité
• Cette condition est dautant plus importante à
  respecter que les effectifs dans les deux
  échantillons sont très différents.
• Si cette condition nest pas remplie certains
  proposent de prendre une sécurité en diminuant le
  degré de liberté du t.
• Normalité
• Le test t est robuste à un écart de normalité en
  particulier si les effectifs des deux
  échantillons sont identiques et que les variances
  sont voisines.

6
Comparaison de deux variances

• Comparaison de 2 variances
• Pour vérifier lhomocédasticité

F
On met arbitrairement la plus grande variance au
numérateur donc F gt 1. DDL (Na-1), (Nb-1)

• On utilise la table du F pour déterminer la
  valeur critique.
• ATTENTION le choix arbitraire nous met en
  condition unilatérale. Il faut donc utiliser la
  table F à 2,5 pour avoir un risque bilatéral de
  5.
• Si F gt Falpha on rejette lhypothèse dégalité
  des variances.

• La comparaison des deux moyennes suppose
  légalité des variances. Ainsi, dans le cas de
  nos deux somnifères cela suppose quils
  nentraînent pas de différence de dispersion du
  temps de sommeil mais uniquement une translation
  de la moyenne.

xa
xb
7
Exemple

• Exemple
• On compare la consommation de caféine chez 112
  cancéreux moyenne 147,2 mg/jour - écart type
  estimé 101,8 mg/jour à celle de 185 non cancéreux
  moyenne 132,9 mg/jour - écart type 115,7
  mg/jour. On prend un risque à 5.
• Test bilatéral, grands échantillons

147,2 - 132,9
1,11
u
101,82 112
115,72 185

1,11 est inférieur à 1,96 gt Différence non
significative On aurait pu utiliser un t mais ce
serait plus long car il faut alors calculer la
variance commune.