Analyse de la variance : ANOVA

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Analyse de la variance ANOVA à un facteur
Sir Ronald Fischer 1890-1962
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Thèmes

• Le modèle linéaire général
• Les postulats de base
• La logique de lanalyse de la variance
• Exemples
• Les tests post-hocs
• La taille deffet

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Le modèle général linéaire

• Xij - la valeur observée pour le sujet i du
  groupe j
• µ - la grande moyenne
• ?j - linfluence du traitement sur le groupe j
  (?j µj - µ)
• eij - lerreur ou les résidus - selon les
  postulats - sont distribués de manière normale
  avec une moyenne de µ 0 et un écart-type de ?.

• Xij µ ?j eij

Exemple la taille moyenne des hommes est 68 et
la taille moyenne des femmes est 65 La taille
dun homme sera donc 66.5 1.5 e et la
taille dune femme 66.5 - 1.5 e
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Répartition des variances
xij µ ?j eij avec µ ?j eij Donc
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Les sommes des carrés
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Les postulats de base

• 1. Le modèle général sapplique aux données
• 2. Les valeurs sont distribuées normalement dans
  la population
• 3. Les échantillons ont des variances homogènes
• 4. Les échantillons sont indépendants

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La logique de lANOVA
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La logique de lANOVA (suite)

• Les variances des différents échantillons sont
  donc égales et elles sont égales à la variance de
  la population ?p.
• ?1 ?2 ... ?ij ?p avec
• ?1 s1
• Nous pouvons donc estimer la variance de la
  population à partir de la moyenne des variances
  des échantillons ou bien

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• Selon le théorème des limites centrales la
  distribution déchantillonnage a une moyenne de µ
  et une variance de ?2 /n
• si lhypothèse nulle est vraie il suit donc que
• pour lestimé de ?p 2 il faut multiplier par n

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Exemple

• Afin de tester lhypothèse que la consommation de
  caféine facilite lapprentissage trois groupes
  détudiants se préparent à un examen le groupe 1
  boit une tasse, le groupe 2 boit 2 tasses et le
  groupe 3 boit 3 tasses de café. Voici leurs
  scores à lexamen

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Exemple suite
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Sommes des carrés moyens
Intra-groupe
Inter-groupe
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Calcul de F
Valeur critique pour 2,12 df et a .05 -gt 3.89
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Exemple 2
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Suite
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Sommes des carrés moyens
Intra-groupe
Inter-groupe
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Calcul de F
Valeur critique pour 2,12 df et a .05 -gt 3.89
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Tableau ANOVA
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Résumé

• La variance intra-groupe (la somme moyenne des
  écarts carrés entre chaque observation et la
  moyenne du groupe) est un estimé de la variance
  de la population.
• Quand lhypothèse nulle est vraie - et seulement
  dans ce cas - la variance inter-groupe (la somme
  moyenne des écarts carrés entre chaque moyenne de
  groupe et la grande moyenne) est, selon le
  théorème des limites centrales, aussi un estimé
  de la variance de la population
• Quand il y a un effet de traitement, donc quand
  lhypothèse nulle est fausse, la variance
  inter-groupe est plus large que la variance
  intra-groupe
• Lanalyse de la variance consiste à calculer le
  rapport entre la variance inter-groupe et la
  variance intra-groupe et de comparer le résultat
  avec une distribution déchantillonnage connue
  la distribution F.

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Les tests post-hocs
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Erreurs

• Erreur (ou ?) par comparaison - le niveau ?
  choisi pour une seule comparaison de moyennes
• Erreur par famille - le nombre moyen des erreurs
  faites par famille de comparaisons
• ? ? 1- (1-?)c ? C?
• Exemple ? .01 et C 5
• ? .049 ou approx. .05

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Contraste

• Définition Une comparaison de J moyennes telle
  que la différence entre deux des J moyennes ou la
  différence entre une moyenne et la moyenne de
  deux autres moyennes
• ????c1?1?c2?2??????cj?j???cj?j

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Excursion - Orthogonalité

• Une comparaison est orthogonale si
• ? (c1jc2j)/nj 0
• Exemple
• jth moyenne
• 1 2 3 4
• C 1 1 -1 0 0
• C2 1 0 -1 0
• C3 0 0 1 -1
• 1 vs 2 ? c1jc2j (1)(1) (-1)(0) (0)(-1)
  (0)(0) 1
• 1 vs 3 ? c1jc2j (1)(0) (-1)(0) (0)(1)
  (0)(-1) 0

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Tukeys-HSD(John Tukey, 1915-2000)
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(No Transcript)
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La taille deffet
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Taille de leffet

• La corrélation entre la VI et la VD (r)
• Le pourcentage de la variance de la VD expliqué
  par la VI (r2)
• La différence entre deux moyennes en unités
  décart-type (d)

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Taille deffet eta2 et omega2
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Les tailles
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Puissance

• La probabilité de trouver un effet de taille x
  dans un échantillon de taille N en utilisant un
  test statistique avec un a donné.

Fcrit 2.58
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Les erreurs
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Taille deffet et beta
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Variance et beta
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Calcul de puissance
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Calcul de puissance
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(No Transcript)
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http//members.aol.com/johnp71/javastat.htmlPower