Diapositive 1

1
Chapitre 9
Tests dhypothèse
2
Tests dhypothèse
1. Notion de test

• Tests dajustement

• Tests de conformité

• Tests dégalité

• Tests dindépendance

3
Principe des tests dhypothèse
2. Notion dhypothèse
Deux types dhypothèses

• H0 hypothèse nulle. Cest lhypothèse quon
  veut tester
• Elle postule la non différence et permet de fixer
  les paramètres
• de la distribution de la variable aléatoire
  étudiée

• H1 hypothèse alternative
• Cest lhypothèse quon retient si H0 est rejetée.

4
Principe des tests dhypothèse
3. Notion de statistique
Une statistique est une variable aléatoire S dont
la valeur numérique obtenue pour léchantillon
considéré, Sobs, permet de décider si H0 est
vraie ou fausse
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Principe des tests dhypothèse
4. Notion de règle de décision
Pour décider daccepter ou de rejeter H0, il faut
une règle de décision
On compare Sobs à deux bornes de rejet
S
Sobs
Sobs
Sobs
On acceptera H0 si Sobs est supérieur à Smin et
inférieur à Smax
On rejetera H0 si Sobs est inférieur à Smin ou
supérieur à Smax
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Principe des tests dhypothèse
5. Notion de risque

• Risque de première espèce ?

Distribution de S connue
?
P(SminltSltSmax)1-? et donc ? P(SgtSmax)
P(SltSmin)

• P(rejeter H0/H0 vraie)

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Principe des tests dhypothèse
5. Notion de risque

• Risque de deuxième espèce ß

ß P(accepter H0/H1 vraie)
1-ß est la puissance du test
ß ? 1-?
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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique
Question ? ?th ?
Hypothèse H0 ? ?th
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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 connue

 
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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 connue

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère ?
  ?th
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère ?
  ? ?th

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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 inconnue, n gt 30

12
Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 inconnue, n gt 30

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère ?
  ?th
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère ?
  ? ?th

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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 inconnue, n lt 30, XN

 
14
Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique

• ?2 inconnue, n lt 30, XN

• Règle de décision
• On compare tobs à t? à (n-1) ddl lue dans la
  table de Student
• Si tobs lt t?, on accepte H0 et on considère ?
  ?th
• Si tobs gt t?, on rejette H0 et on considère ?
  ? ?th

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Tests de conformité
1. Comparaison dune moyenne observée et dune
moyenne théorique
 

• ?2 inconnue, n lt 30, Xloi quelconque

Tests non paramétriques !
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Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique
Question p pth ?
Hypothèse H0 p pth
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Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n gt 30 et np gt 5

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Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n gt 30 et np gt 5

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère p
  pth
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère p
  ? pth

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Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n lt 30

On utilise un test non paramétrique
20
Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n lt 30

Modalités Effectifs Succès Echecs Total
Observés (Oi) x n-x n
Théoriques (Ti) npth n(1-pth) n
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Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n lt 30

Les Ti doivent être gt 5
22
Tests de conformité
2. Comparaison dune proportion observée et dune
proportion théorique

• n lt 30

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à 1 ddl lu dans la table
  du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0 et on considère p
  pth
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0 et on considère p
  ? pth

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Tests dégalité
1. Comparaison de deux variances observées
Question ?12 ?22 ?
Hypothèse H0 ?12 ?22
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Tests dégalité
1. Comparaison de deux variances observées
25
Tests dégalité
1. Comparaison de deux variances observées

• Règle de décision
• On compare Fobs à F? à (n1-1) et (n2-1) ddl lu
  dans la table de F
• ou à (n2-1) et (n1-1) ddl lu dans la
  table de F
• Si Fobs lt F?, on accepte H0 et on considère ?12
  ?22
• Si Fobs gt F?, on rejette H0 et on considère ?12
  ? ?22

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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées
Question ?1 ?2 ?
Hypothèse H0 ?1 ?2 ?
27
Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées
Sous lhypothèse H0
28
Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 connues

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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 connues

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère ?1
  ?2
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère ?1
  ? ?2

30
Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 inconnues, n1 et n2 gt 30

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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 inconnues, n1 et n2 gt 30

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère ?1
  ?2
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère ?1
  ? ?2

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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 inconnues, n1 et n2 lt 30, XN

On ne connaît pas ?12 et ?22
Si ?12 et ?22 égales
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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 inconnues, n1 et n2 lt 30, XN

• Règle de décision
• On compare tobs à t? à (n1n2-2) ddl lue dans
  la table de Student
• Si tobs lt t?, on accepte H0 et on considère ?1
  ?2
• Si tobs gt t?, on rejette H0 et on considère ?1
  ? ?2

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Tests dégalité
2. Comparaison de deux moyennes observées

• ?12 et ?22 inconnues, n1 et/ou n2 lt 30, Xloi
  quelconque ou ?12 et ?22 différentes

Tests non paramétriques !
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Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées
Question P1 P2 ?
Hypothèse H0 P1 P2 P
36
Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées
Sous lhypothèse H0
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Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et n2 gt 30

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Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et n2 gt 30

• Règle de décision
• On compare eobs à e? lue dans la table de
  lécart-réduit
• Si eobs lt e?, on accepte H0 et on considère P1
  P2
• Si eobs gt e?, on rejette H0 et on considère P1
  ? P2

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Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et/ou n2 lt 30

Sous lhypothèse H0
On utilise un test non paramétrique
40
Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et/ou n2 lt 30

Tableau des effectifs observés
41
Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et/ou n2 lt 30

Tableau des effectifs théoriques
42
Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et/ou n2 lt 30

Les Ti doivent être gt 5
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Tests dégalité
3. Comparaison de deux proportions observées

• n1 et/ou n2 lt 30

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à 1 ddl lu dans la table
  du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0 et on considère P1
  P2
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0 et on considère P1
  ? P2

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Tests dégalité
4. Extension à la comparaison de q distributions
observées
On considère q échantillons indépendants avec p
modalités Ces échantillons sont extraits de q
populations On désire savoir si les q
distributions sont identiques, cest-à-dire si
les p proportions sont égales dans les q
populations H0 les q distributions sont égales
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Tests dégalité
4. Extension à la comparaison de q distributions
observées
mod1 . modi . modp Total
E1 n11 . ni1 . np1 n.1

Ej n1j . nij . npj n.j

Eq n1q . niq . npq n.q
Total n1. ni. np. n
Effectifs observés
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Tests dégalité
4. Extension à la comparaison de q distributions
observées
mod1 . modi . modp Total
E1 t11 . ti1 . tp1 n.1

Ej t1j . tij . tpj n.j

Eq t1q . tiq . tpq n.q
Total n1. ni. np. n
Effectifs théoriques
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Tests dégalité
4. Extension à la comparaison de q distributions
observées
q et p nb de lignes et colonnes
après regroupement car les Tij doivent être gt 5
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Tests dégalité
4. Extension à la comparaison de q distributions
observées

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à (p-1)(q-1) ddl lu dans
  la table du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0, les q
  distributions sont égales
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0, les q
  distributions sont différentes

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Tests dajustement
1. Ajustement à une loi binomiale
X nombre de filles dans fratries de 5 enfants
Question X B ?
Hypothèse H0 XB (5 0,5)
50
Tests dajustement
1. Ajustement à une loi binomiale
X nombre de filles dans fratries de 5 enfants X
B(5 0,5)
xi 0 1 2 3 4 5(k) T
ni 18 56 110 88 40 8 320(N)
Pi 0.03125 0.15625 0.3125 0.3125 0.15625 0.03125 1
ti 10 50 100 100 50 10 320
51
Tests dajustement
1. Ajustement à une loi binomiale
Les Ti doivent être gt 5
k nb modalités après regroupement
52
Tests dajustement
1. Ajustement à une loi binomiale

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à (k-1-nb par. est.) ddl
  lu dans la table du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0, X suit une loi
  Binomiale B(n p)
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0, X ne suit pas une
  loi binomiale

53
Tests dajustement
2. Ajustement à une loi de Poisson
X nombre de merles à plastron capturés par jour
Question X P ?
Hypothèse H0 XP (?)
54
Tests dajustement
2. Ajustement à une loi de Poisson
X nombre de merles à plastron capturés par jour
XP(0,539)
xi 0 1 2 3 4 5(k) T
ni 56 22 9 1 0 1 89(N)
Pi 0,5833 0,3144 0,0847 0,0152 0,0021 0,0003 1
ti 51,91 27,98 7,54 1,35 0,19 0,03 89
2
11
0,1023
9,11
55
Tests dajustement
2. Ajustement à une loi de Poisson
Les Ti doivent être gt 5
k nb modalités après regroupement. Ici k 3
56
Tests dajustement
2. Ajustement à une loi de Poisson

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à (k-1-nb par. est.) ddl
  lu dans la table du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0, X suit une loi de
  Poisson P(?)
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0, X ne suit pas une
  loi de Poisson

57
Tests dajustement
3. Ajustement à une loi de normale
X longueur de laile en mm
Hypothèse H0 XN (??)
Question X N ?
58
Tests dajustement
3. Ajustement à une loi de normale
xi -?150 150155 155160 160165 165? T
ui -?-1,53 -1,53-0,7 -0,70,13 0,130,96 0,96?
Pi 0,063 0,179 0,3097 0,2798 0,1685 1
ti 3,15 8,95 15,48 13,99 8,43 50
ni 2 9 17 16 6 50
-?155
-?-0,7
0,242
12,0
11
59
Tests dajustement
3. Ajustement à une loi de normale
Les Ti doivent être gt 5
k nb classes après regroupement. Ici k 4
60
Tests dajustement
3. Ajustement à une loi de normale

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à (k-1-nb par. est.) ddl
  lu dans la table du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0, X suit une loi
  Normale N(??)
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0, X ne suit pas une
  loi Normale

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Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères
On extrait dune population un échantillon
aléatoire simple sur lequel on mesure 2
caractères A avec p modalités et B avec q
modalités
Question A et B indépendants ?
H0 A et B indépendants
62
Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères
A1 . Ai . Ap Total
B1 n11 . ni1 . np1 n.1

Bj n1j . nij . npj n.j

Bq n1q . niq . npq n.q
Total n1. ni. np. n
Effectifs observés
63
Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères
64
Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères
A1 . Ai . Ap Total
B1 t11 . ti1 . tp1 n.1

Bj t1j . tij . tpj n.j

Bq t1q . tiq . tpq n.q
Total n1. ni. np. n
Effectifs théoriques
65
Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères
q et p nb de lignes et colonnes
après regroupement car les Tij doivent être gt 5
66
Tests dindépendance
1. Indépendance de deux caractères

• Règle de décision
• On compare ?2obs à ?2? à (p-1)(q-1) ddl lu dans
  la table du ?2
• Si ?2obs lt ?2?, on accepte H0, les caractères
  sont indépendants
• Si ?2obs gt ?2?, on rejette H0, caractères pas
  indépendants