Les Nombres Premiers

1
Les Nombres Premiers

• Yves Aubry
• Cours de I 55 L3 Info
• Université du Sud Toulon-Var
• Septembre 2008

2
Quest-ce quun nombre premier ?

• Cest un entier naturel (élément de
  N0,1,2,3,)
• qui vérifie une propriété de divisibilité.
• Notion de divisibilité à introduire

3
Domaine de la Théorie des Nombres

• Cest la reine des Mathématiques
• A la fois très ancienne et très actuelle

4
Médaille Fields

• De nombreuses  médailles Fields  en théorie des
  nombres par exemple
• Jean-Pierre Serre (1954)
• Alan Baker (1970)
• Laurent Lafforgue (2002)
• Prix spécial à Andrew Wiles (1998)

5
Divisibilité

• a divise b sil existe un entier c tel que
• bac

6
Exemples

• 2 divise 6 car 62 x 3
• 3 ne divise pas 10 car le reste dans la division
  euclidienne de 10 par 3 nest pas nul.

7
Remarques

• Tout entier est divisible par 1.
• En effet, pour tout entier n, on a
• n1 x n

• Tout entier est divisible par lui-même.
• En effet, pour tout entier n, on a
• nn x 1

8
Définition

• Un nombre premier est un entier naturel qui est
  divisible par exactement deux entiers naturels
  1 et lui-même.

9
Exemples

• 1 nest pas premier.
• 2 est premier (cest le seul entier pair qui soit
  premier).
• 3 est premier.
• 4 nest pas premier (42x2).
• 5 est premier.

10
Théorème Fondamental de lArithmétique

• Tout entier non nul peut sécrire (de manière
  unique à lordre des facteurs près) comme produit
  de nombres premiers.

11
Exemples

• 6 2 x 3
• 5 500 22 x 53 x 11
• 1 260 ?
• 1 260 2 x 630 22 x 315 22 x 3 x 105
• 22 x 32 x 35 22 x 32 x 5 x 7.
• 2(25) 1 2 284 842 197 ?

12
Démonstration

• Supposons quil existe un entier qui ne sécrive
  pas comme produit de nbres premiers.
• Soit N le plus petit tel entier.
• Puisque N nest pas premier, il sécrit
• Nnm avec 1ltm,nltN.
• Par définition de N, les entiers m et n sont des
  produits de premiers et donc N(nm) aussi
  contradiction.

13
Combien y a-t-il de nombres premiers ?
14
Théorème

• Il existe une infinité de nombres premiers.

15
Démonstration dEuclide

• Mathématicien grec du IIIe siècle (AV. JC)

16
Démonstration (Euclide)

• Supposons que la liste p_12, p_23,, p_r, des
  nombres premiers soit finie. Considérons alors
  lentier
• Pp_1p_2p_r 1
• Soit p un nombre premier divisant P.
• Il ne peut être égal à lun des p_i car sinon il
  diviserait la différence P-p_1p_2p_r1, ce qui
  est impossible.
• Donc, p est un nombre premier nappartenant pas à
  la liste.

17
Exercice

• Démontrer quil existe une infinité de nombres
  premiers de la forme 4n1.
• Indications
• Commencer par démontrer que si 1 est un carré
  modulo un premier impair p alors p 1 (mod 4) (la
  réciproque est même vraie).
• Considérer un entier n gt1 et p un diviseur
  premier de N(n!)2 1. Montrer que pgtn et que
  p1 mod 4.

18
Reconnaître les nombres premiers
19
Comment reconnaître quun entier N est premier ?

• 1ère méthode on tente de le diviser par les
  entiers 2,3,4 jusquà la partie entière de
• vN (le plus grand entier inférieur ou égal à
  vN).
• Si aucun de ces entiers ne divise N alors il est
  premier.

20
Exemple

• 37 est-il premier ?
• Notons que E(v37)6.
• On regarde si 37 est divisible par les entiers
  2,3,4,5 et 6.
• Ce nest pas le cas on en conclut que 37 est
  premier !

21
Liste des premiers nombres premiers ?

• On peut faire la liste des premiers nombres
  premiers en procédant au crible dEratosthène.

22
Eratosthène

• Mathématicien, astronome et philosophe grec de
  l'école d'Alexandrie (vers 290 AV. J.-C.)

23
La méthode du crible

• On écrit tous les entiers jusquà N.
• On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2.
• A chaque étape, on raye tous les multiples du
  plus petit entier p qui na pas été encore rayé,
  et qui sont supérieurs à p.
• On le fait pour les p tels que p2ltN.
• Ceux qui ne sont pas rayés sont tous les premiers
  ltN.

24
Crible dEratosthène pour N101

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

25
Crible dEratosthène multiples de 2

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

26
Crible dEratosthène multiples de 3

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

27
Crible dEratosthène multiples de 5

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

28
Crible dEratosthène multiples de 7

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

29
Nombres premiers jusquà 101

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101

30
Critères de primalité

• A-ton des caractérisations des nombres premiers
  ?
• Autrement dit, p est premier si et seulement si
  une formule est vérifiée ?

31
Petit théorème de Fermat

• (Pierre de Fermat (1607-1665))
• Si p est premier alors pour tout entier a on a
  que
• p divise ap a.

32
Congruences

• On dit que a est congru à b modulo n
• ab mod n
• si
• n divise a-b.

33
Nouvelle Formulation du petit théorème de Fermat

• Si p est premier alors
• apa mod p
• pour tout entier a.
• En particulier, si p (premier) ne divise pas a
  alors
• ap-11 mod p

34
Démonstration du petit théorème de Fermat

• Si a1 alors 1p1 mod p
• Hypothèse de récurrence on suppose que pour un
  certain agt1, on a apa mod p.
• On a (a1)pap1a1 mod p
• car les coefficients binomiaux C_pk pour
  1ltkltp-1 sont divisibles par p (exercice!).
• Donc, le résultat est vrai pour tout entier a.

35
Condition nécessaire

• On a 284 mod 9 donc 28 not 1 mod 9 donc 9
  nest pas premier.
• La condition est-elle suffisante ?
• Autrement dit, la réciproque du théorème de
  Fermat est-elle vraie ?
• Autrement dit, est-ce une caractérisation des
  nombres premiers ?

36
Nombres de Carmichael

• Il existe des entiers n qui ne sont pas premier
  et qui vérifient pourtant que an-11 mod n
  pour tout entier 1ltaltn premier avec n.
• Par exemple 5613.11.17
• Ils sont appelés nombres de Carmichael.
• Il en existe une infinité (Alford-Granville-Pomera
  nce (1992)).

37
Exercice

• Démontrer le théorème de Wilson qui affirme que
  si p est premier alors
• (p-1)! -1 mod p.
• La réciproque est-elle vraie ?

38
Tests de Primalité

• Il existe de nombreux tests de primalité
  (Miller-Rabin, Solovay-Strassen) basés sur des
  propriétés arithmétiques des entiers.
• Notion de nombres  probablement premiers .

39
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Fermat I

• Considérons les nombres de la forme
• 2m1
• Lemme Si 2m1 est premier alors m est une
  puissance de 2.
• Dém Si m admet un facteur impair r mr.2t,
  alors
• 2m1(22t)r-(-1)r est factorisable.

40
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Fermat II

• On considère les nombres
• F_n22n1
• appelés nombres de Fermat.
• F_03, F_15, F_217, F_3257, F_465 537
• Ils sont tous les cinq premiers !

41
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Fermat III

• Fermat a conjecturé que tous les F_n étaient
  premiers.
• Euler a montré que F_5 641x 6 700 417
• On ne connaît pas dautre nombre de Fermat qui
  soit premier en dehors des cinq premiers !
• Ceux dont on connaît la factorisation complète
  F_5, F_6, F_7, F_8, F_9 et F_11.
• On ne sait pas si F_22 est premier ou non.

42
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Fermat IV

• Problème ouvert existe-t-il une infinité de
  nombres de Fermat premiers ?

43
Intérêt Polygones réguliers

• Théorème (Gauss) Si n est un entier gt2, le
  polygone régulier à n côtés peut être construit à
  la règle et au compas seulement si n2k p_1p_h
• où kgt0, hgt0 et les p_i sont des nombres de
  Fermat premiers et distincts.

44
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Mersenne I

• On considère les nombres de la forme
• am-1

45
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Mersenne II

• Lemme Si am-1 est premier alors a2.
• Dém am-1(a-1)(am-11)
• donc si cet entier est premier alors
  nécessairement a-11, cest-à-dire a2.

46
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Mersenne III

• Lemme Si 2m 1est premier alors m est premier.
• Dém si mpq alors 2m-1(2p)q-1q
• qui se factorise.

47
Primalité pour des nombres particuliers Nombres
de Mersenne IV

• Marin Mersenne (1588-1648)
• Définition Les nombres M_p2p-1 avec p premier
  sont appelés nombres de Mersenne.

48
Record !!

• - Le plus grand nombre de Mersenne premier connu
  est M_24036583
• 224 036 583 - 1
• - Cest un nombre à 7 235 733 chiffres.
• - Cest le 41-ème nombre de Mersenne premier
  trouvé.
• Il a été trouvé le 15 mai 2004.
• Cest le plus grand nombre premier connu.

49
Conjecture des nombres premiers jumeaux

• Des nombres premiers jumeaux sont des couples de
  nombres premiers dont la différence vaut 2 (par
  exemple 11 et 13).
• Conjecture il existe une infinité de nombres
  premiers jumeaux.

50
Problème ouvert
51
Record !!

• Le plus grand couple de premiers jumeaux est
• 33218925 2169690 -1
• Ils possèdent 51 090 chiffres !
• (Brillhart-Lehmer-Selfridge, 2000)

52
Conjecture de Goldbach

• Christian Goldbach (1690-1764)
• Mathématicien prussien
• 422, 633, 835,

53
Conjecture de Goldbach

• Dans une lettre à Euler en 1742, Goldbach
  conjecture que
• (G) tout entier ngt5 est la somme de trois
  nombres premiers.
• Euler lui répond quil est facile de voir que
  lassertion est équivalente à
• (G) tout entier pair 2ngt4 est la somme de deux
  nombres premiers.

54
Exercice

• Montrer léquivalence
• des assertions (G) et (G).

55
Toujours non démontré
56
Factorisation
57
Difficulté ?

• La factorisation de grands entiers est un
  problème difficile.

58
Un vieil exemple

• F_52(25) 1 2 284 842 197 ?
• Tester sa primalité avec des tables suppose que
  lon dispose dune table de nombres premiers
  jusquà 100 000 (pas le cas de Fermat).
• Des années après Fermat, Euler a montré
• 2(25) 1 641 x 6 700 417

59
Un calcul

• Divisions successives jusquà racine de n.
• Daprès Tchebycheff, si pi(x) désigne le nombre
  de nombres premiers inférieurs à x (cf plus
  loin), on a, pour  xgt11
• pi(x)gt(x/ln x)ln(2(1/2)3(1/3)5(1/5)/30(1/30))

60
Un calcul (suite)

• Donc la méthode d'Ératosthène, pour factoriser un
  nombre de 100 chiffres qui serait le produit de
  deux nombres premiers de 50 chiffres,
  nécessiterait plus de
• 10(50)/ln 10(50) x 0,92 divisions.
• A raison de mille divisions par nanoseconde sur
  un super-ordinateur, il faudrait donc la
  bagatelle de
• 2 x 10(28) années

61
ce qui est plus que l'âge de l'univers !!
62
Rivest-Shamir-Adleman
63
R.S.A.

• Le cryptosystème à clef publique R.S.A.
  (Rivest-Shamir-Adleman), proposé en 1976, est
  basé sur cette difficulté.
• Un entier, connu de tous, est utilisé pour
  crypter un message.
• Mais seuls ceux qui connaissent la factorisation
  de cet entier peuvent déchiffrer les messages.

64
Cest la cryptographie à clef publique
65
Utilisations de la cryptographie

• Codes secrets des cartes bancaires
• Transactions financières (transferts de fonds,
  paiements électroniques,)
• Télévision à péage

66
Comment se répartissent les nombres premiers ?
67
Nombres premiers inférieurs à 101

• 2 3 4 5 6 7 8 9
  10
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
• 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
• 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
• 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
• 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
• 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• 101
• Il y en a 26.

68
Théorème des nombres premiers
Hadamard et De La Vallée Poussin, 1896

• Si lon note pi(x) le nombre de premiers ltx, on
  a
• pi(x) équivalent à x/log x
• i.e. lim (x infini) pi(x)/(x/log x) 1

69
Une meilleure approximation

• Une meilleure approximation de pi(x) que x/log x
  est donnée par la fonction intégrale
  logarithmique
• Li(x)int_2 x dt/log t

70
Résultat conjectural

• Sous lHypothèse de Riemann (qui dit quune
  certaine fonction (la fonction zêta de Riemann
  introduite en 1859) na des zéros non triviaux
  que sur une certaine droite (la droite
  Re(s)1/2)), on a
• pi(x) Li(x)O(sqrtx log x)
• (pi(x)-Li(x) est une fonction dominée par
  sqrtxlog x, i.e. quil existe une fonction u
  bornée au voisinage de linfini telle que pi(x)
  Li(x) u(x)sqrtxlog x
• au voisinage de linfini )

Bernhard Riemann
71
Postulat de Bertrand

• Entre tout entier ngt1 et 2n,
• il y a toujours un nombre premier.
• Autrement dit pi(2n)-pi(n)gt1 pour ngt2.
• (démontré par Tschebycheff en 1852)

72
Deux corollaires au théorème des nombres premiers
73
Le n-ième nombre premier

• Si p_n désigne le n-ième nombre premier, le
  théorème des nombres premiers donne
• p_n équivalent à n log n

74
Probabilité de tirer un premier

• Soit n un entier. Puisque n/log n des n entiers
  inférieurs à n sont premiers (théorème des
  nombres premiers), la probabilité que lun
  dentre eux soit premier est donc
• 1/log n
• Par exemple un nombre de 100 chiffres a une
  chance sur
• log 10100 230 dêtre premier.

75
Une formule pour pi(n)

• (Willians, 1964)
• Posons F(j)cos2 pi ((j-1)!1)/j
• Par Wilson, pour jgt1, F(j)1 si j est premier et
  0 sinon (F(1)1).
• Doù pi(n)-1 sum_j1n F(j)

76
Espacements entre nombres premiers consécutifs

• Que peut-on dire de la différence d_np_n1 p_n
  entre deux nombres premiers consécutifs ?
• d_n peut être arbitrairement grand en effet,
  pour tout Ngt1, il existe une succession dau
  moins N entiers consécutifs non premiers
• par exemple (N1)!2, (N1)!3,, (N1)!(N1)

77
Nombres premiers en progression arithmétique

• Dirichlet a démontré en 1837 quil y en a une
  infinité
• (théorème dit de la progression arithmétique)
• Plus précisément

78
Théorème de Dirichlet

• Si dgt2 et a not0 sont premiers entre eux alors
  la progression arithmétique
• a, ad, a2d, a3d,
• contient une infinité de nombres premiers.

79
Curiosité un polynôme ayant une longue série
de valeurs premières
80
Le polynôme dEuler

• Le polynôme
• X2 X 41
• prend des valeurs premières pour les 40 valeurs
• 0, 1, 2, , 39.
• (pour 40, la valeur est 412)

Leonhard Euler 1707-1783
81
Sujet inépuisable
Fin
82
Annexes solutions des exercices
83
Annexe p divise C_pk

• Soit 1ltkltp-1. On a
• p!C_pk k! (p-k)!
• Puisque C_pk est un entier et que p divise p!,
  on en déduit que
• p divise C_pk k! (p-k)!
• Or, p est premier avec k! (p-k)! (car 1ltkltp-1)
  daprès le théorème de Gauss, on en déduit donc
  que p divise C_pk.

84
Annexe Théorème de Wilson

• Soit p premier. Il sagit de démontrer que
• (p-1) ! -1 mod p.
• Daprès le petit Th. de Fermat, 1, 2, , p-1 sont
  racines de Xp-1 1 mod p.
• Ce polynôme ne peut avoir plus de racines modulo
  p (p premier !) que son degré.
• Donc Xp-1 1 (X-1)(X-2)(X-(p-1)) mod p.
• En comparant les termes constants, on obtient
• -1 (-1)p-1 (p-1)! mod p
• (p-1)! mod p (car ou bien p2 ou bien p
  impair).

85
Annexe réciproque Wilson

• Par contraposée.
• Si Ngt1 est non premier alors
• Nnm avec 1ltn,mltN-1.
• Donc m divise N et aussi (N-1)!
• (car (N-1)!1.2.(N-1) et mltN-1).
• Donc (N-1)!not -1 mod N
• car sinon il existerait un entier k tel que
• (N-1)! k N -1
• et m diviserait (N-1)! k N -1.

86
Annexe réciproque Wilson bis

• Une autre façon de démontrer la réciproque
• du Th. De Wilson consiste à remarquer que si
• (n-1)! -1 mod n
• alors 1.(n-1)!1 mod n, que lon peut aussi
  écrire
• (-1)(1)(2)(n-1) 1 mod n.
• Cela montre que tout élément non nul est
  inversible modulo n (donc Z/nZ est un corps) et
  donc que n est premier.

87
Annexe équivalence Goldbach

• (G) Tout entier ngt5 est la somme de trois
  nombres premiers.
• (G) Tout entier pair 2ngt4 est la somme de deux
  nombres premiers.
• (G) implique (G) 2n-2ppoù p et p sont
  premiers. Ainsi 2n2pp et 2n13pp, ce qui
  démontre (G).
• (G) implique (G) si 2ngt4 alors 2n2ppp
  où p,p,p sont premiers. Un de ces premiers est
  alors nécessairement pair, par exemple p2
  donc 2npp, doù (G).

88
Annexe les carrés modulo p premier impair

• Proposition Un élément x est un carré modulo un
  premier p impair ssi x(p-1)/21.
• Dém Il y a au plus (p-1)/2 éléments vérifiant
  cette égalité car ce sont les racines dun
  polynôme de degré (p-1)/2 dans un corps.
• Dautre part, si x est un carré alors il vérifie
  cette équation car si xa2 mod p alors
  x(p-1)/2ap-11 mod p (par Petit Fermat).
  De plus, il y a (p-1)/2 carrés non nuls modulo p
  (car x donne x2, pour x non nul modulo p, a pour
  noyau 1,-1).

89
Annexe -1 carré modulo p

• Proposition 1 est un carré modulo p premier
  impair
• ssi
• p1 mod 4.
• Dém -1 est un carré modulo p ssi
• (-1)(p-1)/21 mod p (propostion précédente)
• ssi (p-1)/2 est pair
• ssi p 1 mod 4.

90
Annexe Premiers p1 mod 4

• Proposition Il existe une infinité de premiers
  de la forme 4m1.
• Dém
• Soit n un entiergt1 et p un diviseur premier de
  N(n!)21.
• Si pltn alors p divise n! donc p divise
  1N-(n!)2 absurde. Donc, pgtn.
• On a -1(n!)2 mod p donc 1 est un carré
  modulo p, donc p1 mod 4 par la proposition
  précédente.
• Conclusion pour n aussi grand que lon veut, on
  peut trouver un premier p plus grand que n et de
  la forme 4m1.
• CQFD.

91
Annexe Liste des nombres premiers inférieurs à
1010
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193
197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337
347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569
571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641
643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881
883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971
977 983 991 997 1009