Ordenamientos ms importantes de rboles

1
Ordenamientos más importantes de árboles

• PROCEDURE Ord_Pre (nÁrbol)
• BEGIN
• Lista n
• FOR cada subarbol c de n, si los hay,
• en orden de izquierda a derecha DO
• Ord_Pre (c)
• END
• END Ord_Pre

2
Ordenamientos más importantes de árboles

• PROCEDURE Ord_Pos (nÁrbol)
• BEGIN
• FOR cada subarbol c de n, si los hay,
• en orden de izquierda a derecha DO
• Ord_Pos (c)
• END
• Lista n
• END Ord_Pre

3
Ordenamientos más importantes de árboles

• PROCEDURE Ord_Sim (nÁrbol)
• BEGIN
• IF n es un árbol compuesto sólo de raíz THEN
• Lista n
• ELSE
• Ord_Sim (hijo más a la izquierda de
  n)
• Lista n
• FOR cada subárbol c de n, excepto el de
  más a la izquierda en orden de izquierda a
  derecha DO
• Ord_Sim(c)
• END
• END
• END

4
TAD ÁRBOL

• NOMBRE
• Arbol (elemento)
• CONJUNTOS
• A conjunto de árboles
• I conjunto de elementos
• B conjunto de booleanos true, false
• M conjunto de mensajes el árbol está
  vacío,no hijo izq,no hermano
  derecho,el elemento no tiene padre

5
TAD ÁRBOL

• SINTAXIS
• crear-árbol A
• creari Ix Ai A
• anular A A U M
• es-vacio-árbol A B
• etiqueta A I U M
• padre A A U M
• hijo-mas-izq A A U M
• hermano-der A AUM

6
TAD ÁRBOL

• SEMANTICA ? e ? I, ? Aj ? A
• hijo-más-izq (crear-árbol) el árbol está
  vacio
• hijo-más-izq (creari(e,A1,.Ai)) si i0 ? no
  hijo izq A1
• hermano-der (crear-árbol) el árbol está
  vacío
• hermano-der (creari (e,A1,..... Ai)) no
  hermano derecho
• hermano-der(hijo-más-izq(creari(e,A1,....Ai)))
  
• si i1 ?no hermano derecho
• hijo-más-izq (creari-1(e,A2,.....Ai))
• anular(crear-árbol) el árbol está vacío
• anular (creari(e,A1,....Ai)) crear-árbol
• es-vacío-árbol (crear-árbol) true
• es-vacío-árbol (creari (e,A1,...Ai)) false

7
TAD ÁRBOL

• etiqueta (crear-árbol) el árbol está vacío
• etiqueta (creari (e,A1,...Ai)) e
• etiqueta (hijo-más-izq(creari(e,A1,...Ai)))
  etiqueta (A1)
• padre (crear-árbol) el árbol está vacío
• padre (creari (e,A1,...Ai)) el elemento no
  tiene padre
• padre (hijo-más-izq(creari (e,A1,...Ai)))
• creari (e,A1,...Ai))
• Aserto invariante siempre que a la entrada haya
  un mensaje , se devolverá como salida el mismo
  mensaje.

8
Operaciones básicas con árboles binarios

• ESTRUCTURA DEL ÁRBOL
• TYPE
• Ptr POINTER TO nodo
• nodo RECORD
• etiqueta INTEGER
• contadorCARDINAL
• izq,der Ptr
• END

9
Operaciones básicas con árboles binarios

• PROCEDURE preorden (tPtr)
• BEGIN
• IF t ltgt NIL THEN
• imprimir (t.etiqueta)
• preorden (t.izq)
• preorden (t.der)
• END
• END preorden

10
Operaciones básicas con árboles binarios

• PROCEDURE inorden (tPtr)
• BEGIN
• IF tltgtNIL THEN
• inorden (t.izq)
• imprimir (t.etiqueta)
• inorden (t.der)
• END
• END inorden

11
Operaciones básicas con árboles binarios

• PROCEDURE postorden (tPtr)
• BEGIN
• IF t ltgt NIL THEN
• postorden (t.izq)
• postorden (t.der)
• imprimir (t.etiqueta)
• END
• END postorden

12
Operaciones básicas con árboles binarios

• PROCEDURE localizar (xINTEGERtPtr)Ptr
• BEGIN
• WHILE (t ltgt NIL) AND (t.etiqueta ltgt x) DO
• IF t.etiqueta lt x THEN tt.der
• ELSE tt.izq
• END
• END
• RETURN(t)
• END localizar

13
Operaciones básicas con árboles binarios

• búsqueda con centinela
• PROCEDURE localizar2 (xINTEGERtPtr)Ptr
• BEGIN (utiliza centinela)
• s.etiquetax (centinela )
• WHILE t.etiqueta ltgt x DO
• IF t.etiqueta lt x THEN
• tt.der
• ELSE
• tt.izq
• END
• END
• RETURN (t)
• END localizar2

14
EJEMPLO DE BÚSQUEDA CON INSERCIÓN

• PROCEDURE Busqueda (xINTEGER VAR pPtr)
• VAR
• qPtr
• BEGIN
• IF pNIL THEN (insertar)
• NEW(q)
• pq
• WITH q DO
• etiquetax
• contador1
• izqNIL
• derNIL
• END

• ELSIF x lt p.etiqueta THEN
• Busqueda(x,p.izq)
• ELSIF x gt p.etiqueta THENBusqueda (x,p.der)
• ELSE
• p.contadorp.contador 1
• END
• END Busqueda

15
EJEMPLO DE BÚSQUEDA CON INSERCIÓN

• busqueda e insercion con centinela
• PROCEDURE Busqueda (xINTEGER VAR pPTR)
• VAR
• qPtr
• BEGIN
• IF x lt p.etiqueta THEN
• Busqueda (x,p.izq)
• ELSIF x gt p.etiqueta THEN
• Busqueda (x,p.der)
• ELSIF pltgts THEN ( s es el puntero al centinela
  )
• p.contadorp.contador 1

16
EJEMPLO DE BÚSQUEDA CON INSERCIÓN

• busqueda e insercion con centinela
• ELSE
• NEW(q)
• pq
• WITH q DO
• etiquetax
• izqs
• ders
• contador1
• END
• END
• END Busqueda

17
ELIMINACION DE UN NODO EN UN ÁRBOL BINARIO

• PROCEDURE Borrar (xINTEGER VAR pPtr)
• VAR
• qPtr
• PROCEDURE Del (VAR rPtr)
• BEGIN
• IF r.der ltgt NIL THEN Del (r.der)
• ELSE
• q.etiquetar.etiqueta
• q.contadorr.contador
• qr
• rr.izq
• END
• END Del

18
ELIMINACION DE UN NODO EN UN ÁRBOL BINARIO

• BEGIN (procedimiento Borrar)
• IF pNIL THEN
• WriteString (El elemento no está en el
  árbol.)
• ELSIF x lt p.etiqueta THEN
• Borrar (x,p.izq)
• ELSIF x gt p.etiqueta THEN
• Borrar (x,p.der)
• ELSE (se borra el elemento p)
• qp
• IF q.derNIL THEN
• pq.izq
• ELSIF q.izqNIL THEN
• pq.der
• ELSE del (q.izq)
• END
• DISPOSE(q)
• END
• END Borrar

19
Árboles binarios Hilvanados o Entrelazados

• Recorrido en orden simétrico del árbol

20
Árboles binarios Hilvanados o Entrelazados

• IBIT IZQ ET DER DBIT

21
Árboles binarios Hilvanados o EntrelazadosRecorr
ido en Orden Simétrico

• ESTRUCTURA DEL ÁRBOL
• TYPE
• Ptr POINTER TO nodo
• nodo RECORD
• etiqueta INTEGER
• izq,der Ptr
• ibit,dbit0..1
• END

22
Árboles binarios Hilvanados o EntrelazadosRecorr
ido en Orden Simétrico

• PROCEDURE Ord_Sim (pPtr)
• VAR
• cabezaPtr
• PROCEDURE Sucesor (xPtr)Ptr
• VAR
• sPtr
• BEGIN
• sx.der
• IF x.dbit1 THEN
• WHILE s.ibit 1 DO
• ss.izq
• END
• END
• END Sucesor
• BEGIN (Ord_Sim)
• cabezap
• LOOP
• pSucesor(p)

23
Árboles binarios Hilvanados o EntrelazadosRecorr
ido en Orden Simétrico

• PROCEDURE Busqueda (xINTEGER VAR pPtr)
• VAR
• qPtr
• BEGIN
• IF xltp.etiqueta THEN
• IF p.ibit1 THEN
• Busqueda(x,p.izq)
• ELSE (inserión a la izquierda)
• p.ibit1
• NEW(q)
• q.ibit0
• q.dbit0
• q.izqp.izq
• q.derp
• p.izqq
• END
• ELSIF xgtp.etiqueta THEN
• IF p.dbit1 THEN

24
Árboles de búsqueda balanceados

• Árboles binarios de búsqueda (ABB).
• Cada nodo tiene cero, uno o dos hijos,
  denominados hijo izquierdo e hijo derecho.
• Los hijos de un nodo x con valores menores que x
  se encuentran en el subárbol izquierdo y los
  mayores en el derecho.

25
Árboles de búsqueda balanceados

• Son útiles para realizar búsqueda e inserción en
  O(log n) y recorrido ordenado en O(n).
• Inconveniente En el peor caso los árboles son
  cadenas y la búsqueda necesita O(n).

26
Árboles de búsqueda balanceados

• Conclusión Es necesario garantizar que el árbol
  está balanceado o equilibrado.
• Condición de balanceo basada en número de nodos
  o en altura de subárboles.

27
Árboles de búsqueda balanceados

• Árbol de búsqueda perfectamente balanceado
• Definición Un AB perfectamente balanceado es un
  ABB en el que, para todo nodo, la cantidad de
  nodos de su subárbol izquierdo difiere como
  máximo en 1 de la cantidad de nodos del subárbol
  derecho.

28
Árboles de búsqueda balanceados
3 3
2 3
1 1
2 0
1 1
0 1
0 1

• Resultado
• La búsqueda es O(log n) en el peor caso.
• Pero mantener la condición de balanceo es muy
  costoso. La inserción puede ser O(n).

29
Árboles de búsqueda balanceados

• Moraleja definir una condición de balanceo, pero
  menos exigente.
• Definición de árbol balanceado o AVL
  (Adelson-Velskii y Landis) un AVL es un ABB em
  el que, para todo nodo, la altura de sus
  subárboles difiere como máximo en 1.

1 1
1 0
-1 0
0 -1
0 0
30
Árboles de búsqueda balanceados

• Operaciones sobre un AVL
• La búsqueda en un AVL es exactamente igual que
  sobre un ABB.
• La inserción y eliminación son también como en un
  ABB, pero después de insertar o eliminar hay que
  comprobar la condición de balanceo.
• Almacenar la altura de cada subárbol.
• Inserción o eliminación normal (procedimiento
  recursivo).
• Al volver de la recursividad, en los nodos por
  los que pasa, comprobar la condición de balanceo.
• Si no se cumple, rebalancear el árbol.

31
Árboles de búsqueda balanceados

• Definición del tipo de datos
• tipo
• ArbolAVLT PunteroNodoAVLT
• NodoAVLT registro
• clave T
• altura entero
• izq, der ArbolAVLT
• finregistro
• operación Altura (A ArbolAVLT) entero
• si A NULO entonces devolver -1
• sino devolver A?altura
• Uso de memoria un puntero más que con una
  lista...

32
Peor caso de AVL

• Cuánto será el tiempo de ejecución de la
  búsqueda en un AVL en el peor caso, para n nodos?
• El tiempo será proporcional a la altura del
  árbol.
• Cuestión Cuál es la máxima altura del árbol
  para n nodos?
• Le damos la vuelta a la pregunta Cuál es el
  mínimo número de nodos para una altura h?

33
Peor caso de AVL

• N(h) Menor número de nodos para altura h.

34
Peor caso de AVL

• Caso general.

h-2
h-1

• N(h) N(h-1) N(h-2) 1
• Sucesión parecida a la de Fibonacci.
• Solución N(h) C1,62h ...

35
Peor caso de AVL

• Mínimo número de nodos para altura h N(h)
  C1,62h ...
• Máxima altura para n nodosh(N) D log1,62 n
  ...
• Conclusión
• En el peor caso, la altura del árbol es O(log n).
• Por lo tanto, la búsqueda es O(log n).
• Inserción y eliminación serán de O(log n) si el
  rebalanceo se puede hacer en O(1).

36
Rotaciones en un AVL

• Los rebalanceos en un AVL hacen uso de
  operaciones conocidas como rotaciones en ABB.
• Rotación cambiando algunos punteros, obtener
  otro árbol que siga siendo un ABB.
• RSD(A). Rotación simple a la derecha de un ABB

B
A
A
B
37
Rotaciones en un AVL

• RSI(A). Rotación simple a la izquierda de un ABB

B
A
A
B

• Programar las operaciones de rotación simple.

38
Rotaciones en un AVL
operación RSI (var A ArbolAVLT) B
A?izq A?izq B?der A?der B A?altura
1max(Altura(A?izq), Altura(A?der)) B?altura
1max(Altura(B?izq), A?altura) A B Cuál es
el tiempo de ejecución de una rotación simple?
39
Rotaciones en un AVL

• RDD(A). Rotación doble a la derecha de un ABB
• Es equivalente a RSI(A?der) RSD(A)

A
C
B
A
B
C
40
Rotaciones en un AVL

• RDI(A). Rotación doble a la izquierda de un ABB
• Es equivalente a RSD(A?izq) RSI(A)

• Todas las rotaciones mantienen la estructura de
  ABB y son O(1).

41
Operación de inserción en un AVL

• Inserción normal como en un ABB.
• En cada nodo A (a la vuelta de la recursividad),
  si la altura del árbol no se modifica, acabar.
• Si la altura se incrementa en 1 entonces
• Si Altura(A?izq) Altura(A?der)gt1 entonces
  rebalancear.
• Ejemplo.Insertar(1)

8
2 0
RSI(13)
13
3
1 0
23
9
0 -1
42
Operación de inserción en un AVL

• Qué rotación aplicar en cada caso de
  desbalanceo?
• Se pueden predefinir 4 situaciones diferentes,
  cada una asociada con un tipo de rotación.

Caso 1. II(C)
Caso 2. ID(C)
x
x
43
Operación de inserción en un AVL

• Qué rotación aplicar en cada caso de
  desbalanceo?
• Se pueden predefinir 4 situaciones diferentes,
  cada una asociada con un tipo de rotación.

Caso 3. DI(C)
Caso 4. DD(C)
x
x
44
Operación de inserción en un AVL
Caso 1. II (C)
Solución. RSI (C)
C
A
h
A
C
h-2
h
h-2
h-1
h-2
h-2
h-2
h-2
h-1
x
x

• El árbol resultante está balanceado.
• Adicionalmente, la altura del árbol no cambia.

45
Operación de inserción en un AVL
Caso 2. ID (C)
Solución. RDI (C)
C
B
h
A
C
A
h-2
h
h-2
h-3
B
h-1
h-2
h-2
h-2
h-3
h-1
x
x
x
x

• La altura final del árbol tampoco cambia.

46
Operación de inserción en un AVL
operación Inserta (var A ArbolAVLT x
T) si A NULO entonces A NUEVO
NodoAVLT A?clave x A?der A?izq
NULO A?altura 0 sino // Subárbol
izquierdo si x lt A?clave entonces ... sino
// Subárbol derecho si x gt A?clave
entonces ... finsi
Inserta (A?izq, x) si Altura(A?izq)
Altura(A?der)gt1 entonces si x lt A?izq?clave
entonces RSI (A) // Caso II(A) sino
RDI (A) // Caso ID(A) finsi sino
A?altura 1max( Altura(A?izq),
Altura(A?der)) finsi
47
Operación de inserción en un AVL

• El procedimiento sigue recursivamente hasta la
  raíz.
• Pero cuando se haga el primer balanceo no será
  necesario hacer otros balanceos. Por qué?
• Ejemplo Dado un árbol nuevo insertar 4, 5, 7, 2,
  1, 3, 6.
• Cuál es el orden de complejidad del algoritmo de
  Inserta?

48
Operación de inserción en un AVL

• TYPE
• Balanceo-1..1
• PtrPOINTER TO nodo
• nodoRECORD
• etiquetaINTEGER
• contadorINTEGER
• izq,der Ptr
• END
• PROCEDURE Busqueda (xINTEGER VAR pPtr
  hBOOLEAN)
• ( h indica si ha aumentado la altura del
  árbol )
• VAR
• q,p1,p2Ptr
• BEGINIF pNIL THEN NEW(q)
• pq
• hTRUE
• WITH pDO
• etiquetax
• contador1

49
Operación de inserción en un AVL

• ELSIF p.etiqueta gt x THEN
• Busqueda (x,p.izq,h)
• IF h THEN CASE p.bal OF
• 1 p.bal0
• hFALSE
• 0 p.bal-1
• -1 (rebalanceo)
• p1p.izq
• IF p1.bal-1 THEN (rotac. LL)
• p.izqp1.der
• p1.derp
• p.bal0
• ELSE (rotación doble LR )
• p2p1.der
• p1.derp2.izq
• p2.izqp1
• p.izqp2.der
• p2.derp
• IF p2.bal-1 THEN

50
Operación de inserción en un AVL

• ELSIF p.etiqueta lt x THEN
• Busqueda(x,p.der,h)
• IF h THEN (la rama derecha creció)
• CASE p.bal OF
• -1 p.bal0
• hFALSE
• 0 p.bal1
• 1 (rebalanceo)
• p1p1.der
• IF p1.bal1 THEN (rotación
  RR) p.derp1.izq
• p1.izqp
• p.bal0
• pp1
• ELSE (rotación doble RL)
• p2p1.izq
• p1.izqp2.der
• p2.derp1
• p.derp2.izq
• p2.izqp

51
Operación de eliminación en un AVL

• La eliminación de un nodo es algo más compleja.
  Hay más casos y puede ser necesario balancear a
  varios niveles.
• Algoritmo de eliminación Eliminación normal en
  ABB comprobación de la condición.
• Eliminación normal en un ABB. Buscar el elemento
  a eliminar en el árbol.
• Si es un nodo hoja se elimina directamente.
• Si el nodo eliminado tiene un solo hijo, conectar
  el padre del nodo eliminado con ese hijo.
• Si el nodo eliminado tiene dos subárboles,
  escoger el nodo más a la derecha del subárbol
  izquierdo (o el más a la izquierda del subárbol
  derecho).

52
Operación de eliminación en un AVL

• Eliminar 20.

• Eliminar 4.

• Eliminar 10.

53
Operación de eliminación en un AVL

• Después de eliminar un nodo, volver a los nodos
  antecesores (recursivamente).
• Comprobar si cumple la condición de balanceo.
• En caso negativo rebalancear.
• Se pueden predefinir 3 casos de eliminación en
  subárbol izquierdo, y los simétricos en subárbol
  derecho.

A
Ojo Los casos de desbalanceo en
subárbol izquierdo de A dependen de las alturas
h1 y h2 en el subárbol derecho.
C
h2
h1
54
Operación de eliminación en un AVL
Caso 1. h1h2
Solución. RSD (A)
C
A
h
A
C
h
h-3
h-2
h-1
h-2
h-2
h-1
h-3
h-2

• El árbol resultante está balanceado.
• La altura del árbol no cambia.

55
Operación de eliminación en un AVL
Caso 2. h1lth2
Solución. RSD (A)
A
C
h
C
A
h-2
h-1
h-3
h-2
h-3
h-2
h-1
h-3
h-3

• En este caso, la altura del árbol disminuye en 1.

56
Operación de eliminación en un AVL
Caso 3. h1gth2
Solución. RDD (A)
A
B
C
C
A
B
h-2

• Comprobar (mediante el cálculo de las alturas)
  que el árbol resultante está balanceado.
• La altura final del árbol disminuye en 1.

57
Operación de eliminación en un AVL

• Ejercicio implementar la operación de
  eliminación en un AVL.
• Cuál es el orden de complejidad?
• Ejemplo Dado el siguiente AVL, eliminar las
  claves 4, 15, 32, 45.

58
Operación de eliminación en un AVL

• Procedure BalanceI(VAR pPtr VAR hBOOLEAN)
• VAR
• p1,p2Ptr
• b1,b2Balanceo
• BEGIN (la rama izquierda ha crecido)
• CASE p.bal OF
• -1 p.bal0
• 0 p.bal1 hFALSE
• 1 p1p.der b1p1.bal
• IF b1 gt0 THEN (rotación
  simple RR)
• p.derp1.izq p1.izqp
• IF b10 THEN
• p.bal1p1.bal-1 hFALSE
• ELSE
• p.bal0 p1.bal0
• END
• pp1
• ELSE (rotación doble RL)
• p2p1.izq b2p2.bal

59
Operación de eliminación en un AVL

• PROCEDURE BalanceD (VAR pPtr VAR hBOOLEAN)
• VAR
• p1,p2Ptr b1,b2Balanceo
• BEGIN (la rama derecha ha encogido)
• CASE p.bal OF
• 1 p.bal0
• 0 p.bal-1 hFALSE
• -1 (rebalanceo)
• p1p.izq b1p1.bal
• IF b1lt0 THEN (rotación simple LL)
• p.izqp1.der p1.derp
• IF b10 THEN
• p.bal-1 p1.bal1 hFALSE
• ELSE
• p.bal0 p1.bal0
• END
• pp1
• ELSE (rotación doble LR )
• p2p1.der b2p2.bal

60
Operación de eliminación en un AVL

• PROCEDURE Borrar (xINTEGER VAR pPtr VAR
  hBOOLEAN)
• VAR
• qPtr
• PROCEDURE del(VAR rPtr VAR hBOOLEAN)
• BEGIN
• IF r.der ltgt NIL THEN
• del(r.der,h)
• IF h THEN BalanceD(r,h) END
• ELSE
• q.etiquetar.etiqueta
• q.contadorr.contador
• qr rr.izq hTRUE
• END
• END del
• BEGIN (Borrar)
• IF pNIL THEN
• WriteString(El elemento no está en el
  árbol.)
• ELSIF p.etiqueta gt x THEN
• Borrar(x,p.izq,h)

61
Árboles de búsqueda balanceados

• Conclusiones
• La idea de los árboles binarios de búsqueda está
  muy bien.
• Pero para que funcionen en todos los casos es
  necesario introducir condiciones de balanceo.
• ABB sin balanceo mal eficiencia en peor caso.
• Balanceo perfecto costoso mantenerlo.
• AVL Todos los casos están en O(log n) y el
  balanceo es poco costoso.