Inteligencia Artificial

1
Inteligencia Artificial

• 2.3 Problemas de Satisfacción de Restricciones

2
Introducción

• Anteriormente se vio que los problemas pueden
  resolverse buscando en un espacio de estados.
• Estos estados pueden evaluarse por heurísticas
  específicas para el dominio y probados para
  verificar si son estados meta.
• Desde el punto de vista del algoritmo de
  búsqueda, cada estado es una caja negra sin
  estructura interna discernible.
• Solo es accesada por las rutinas específicas del
  problema (la función de sucesor, la función
  heurística y la prueba de meta).

3
Introducción

• En los problemas de satisfacción de restricciones
  (PSR), los estados y la prueba de meta siguen a
  una representación estándar, estructurada y muy
  simple.
• Los algoritmos de búsqueda pueden ser definidos
  de tal manera que tomen ventaja de la estructura
  de los estados y usen heurísticas de propósito
  general en vez de específicas del problema, para
  permitir la solución de problemas grandes.

4
Introducción

• Tal vez lo más importante es que la
  representación estándar de la prueba de meta
  revela la estructura del problema mismo.
• Esto lleva a los métodos para descomposición de
  problemas y a un entendimiento de la conexión
  íntima entre la estructura del problema y la
  dificultad para resolverlo.

5
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Un problema de satisfacción de restricciones (o
  PSR) se define por un conjunto de variables, X1,
  X2, , Xn, y un conjunto de restricciones, C1,
  C2, , Cm.
• Cada variable Xi tiene un dominio no vacío Di de
  posibles valores.
• Cada restricción Ci involucra algún subconjunto
  de las variables y especifica las combinaciones
  permisibles de valores de ese subconjunto.

6
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Un estado del problema se define por una
  asignación de valores a alguna o todas las
  variables, Xi vi, Xj vj, .
• Una asignación que no viola ninguna restricción
  es llamada consistente o legal.
• Una asignación completa es una en la cual cada
  variable es mencionada.
• Una solución a un PSR es una asignación completa
  que satisface todas las restricciones.

7
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Problema Colorear el mapa de Australia, usando
  los colores rojo, verde o azul, de tal forma que
  dos regiones vecinas no tengan el mismo color.

Territorio del Norte
Queensland
Australia del Oeste
Australia del Sur
Nueva Gales del Sur
Victoria
Tasmania
8
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Formulación como PSR
• Variables las regiones de Australia
• AO (Australia del Oeste)
• TN (Territorio del Norte)
• Q (Queensland)
• NGS (Nueva Gales del Sur)
• V (Victoria)
• AS (Australia del Sur)
• T (Tasmania)

9
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Formulación como PSR
• Dominios El dominio de cada variable es el
  conjunto rojo, verde, azul.
• Restricciones Las restricciones requieren que
  regiones vecinas tengan distintos colores. Por
  ejemplo, las combinaciones permisibles para AO y
  TN son los pares
• (rojo, verde), (rojo, azul), (verde, rojo),
  (verde, azul), (azul, rojo), (azul, verde)
• Esta restricción puede representarse como AO ? TN.

10
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Formulación como PSR
• Solución Hay muchas soluciones posibles, como
• AO rojo, TN verde, Q rojo, NGS verde, V
  rojo, AS azul, T rojo

11
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Es útil visualizar un PSR como un grafo de
  restricciones.
• Los nodos del grafo corresponden a las variables
  del problema, y los arcos corresponden a las
  restricciones.

TN
Q
AO
AS
NGS
V
T
12
Problemas de Satisfacción de Restricciones
TN

• Es útil visualizar un PSR como un grafo de
  restricciones.
• Los nodos del grafo corresponden a las variables
  del problema, y los arcos corresponden a las
  restricciones.

Q
AO
AS
NGS
V
T
13
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Tratar un problema como un PSR tiene importantes
  beneficios
• La representación de estados en un PSR sigue un
  patrón estándar (un conjunto de variables con
  valores asignados), por lo que la función de
  sucesor y la prueba de meta pueden ser escritos
  de una manera genérica que se aplica a todos los
  PSR.
• Se pueden desarrollar heurísticas efectivas que
  no requieren experiencia adicional específica del
  dominio.
• La estructura del grafo de restricciones puede
  usarse para simplificar el proceso de solución en
  algunos casos, dando una reducción exponencial en
  complejidad.

14
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• A un PSR se le puede hacer una formulación
  incremental como un problema de búsqueda estándar
  de la siguiente manera
• Estado inicial La asignación vacía , en la
  cual todas las variables están sin asignar.
• Función de sucesor Un valor puede ser asignado a
  una variable sin asignar, siempre y cuando no
  entre en conflicto con variables previamente
  asignadas.
• Prueba de meta La asignación actual está
  completa.
• Costo de ruta Un costo constante (por ejemplo,
  1) para cada paso.

15
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Cada solución debe ser una asignación completa y
  por lo tanto tiene una profundidad n si hay n
  variables.
• Por esta razón, los algoritmos de búsqueda
  primero en profundidad son populares para los
  PSR.
• También ocurre que la ruta por la cual se alcanza
  una solución es irrelevante. Por lo tanto,
  también se puede usar una formulación de estado
  completo, en la cual cada estado es una
  asignación completa que puede satisfacer o no las
  restricciones. Los métodos de búsqueda local
  trabajan bien con esta formulación.

16
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• El tipo más simple de PSR involucra variables que
  son discretas y tienen dominios finitos.
• Los problemas de coloreo de mapas son de este
  tipo. Incluso el problema de las 8 reinas puede
  plantearse como PSR
• Variables Q1, , Q8 (Posiciones de cada reina en
  las columnas 1, , 8).
• Dominios Cada variable tiene el dominio 1, 2,
  3, 4, 5, 6, 7, 8.
• Los PSR de dominios finitos incluyen a los PSR
  booleanos, cuyas variables son verdadero o falso.

17
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Las variables discretas pueden también tener
  dominios infinitos, por ejemplo, el conjunto de
  los números enteros, o el conjunto de todas las
  cadenas de caracteres.
• Por ejemplo, cuando se requieren programar
  trabajos de construcción en el calendario, la
  fecha de inicio de cada trabajo es una variable,
  y sus valores posibles es el número de días
  enteros a partir de la fecha actual.
• Con dominios infinitos, ya no es posible
  describir las restricciones enumerando todas las
  combinaciones de valores permisibles.

18
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Con dominios infinitos, se debe usar entonces un
  lenguaje de restricciones.
• Por ejemplo, si Trabajo1 toma 5 días, y debe
  preceder a Trabajo3, entonces necesitaríamos un
  lenguaje de restricciones de desigualdades
  algebraicas tal como
• InicioTrabajo1 5 ? InicioTrabajo3
• Existen algoritmos de solución especiales para
  las restricciones lineales de variables enteras
  (restricciones como la anterior, en la que cada
  variable aparece sólo en forma lineal).

19
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Puede demostrarse que no existe un algoritmo para
  resolver restricciones no lineales generales
  sobre variables enteras.
• En algunos casos, se puede reducir los problemas
  de restricciones enteras a problemas de dominio
  finito simplemente acotando los valores de todas
  las variables. Ejemplo poniendo una cota
  superior igual a la de duración total de todos
  los trabajos a ser programados.

20
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Los PSR con dominios continuos son muy comunes en
  el mundo real y son ampliamente estudiados en el
  campo de la investigación de operaciones. Por
  ejemplo, la programación de experimentos en el
  Telescopio Espacial Hubble, que requiere una
  medición muy precisa del tiempo para las
  observaciones, para el inicio y fin de cada
  observación, y el manejo de variables continuas
  que deben obedecer una variedad de restricciones
  astronómicas, de precedencia y de energía.
• La categoría mejor conocida de PSR de dominio
  continuo es la de los problemas de programación
  lineal, donde las restricciones deben ser
  desigualdades lineales formando una región
  convexa.

21
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Los problemas de programación lineal pueden ser
  resueltos en tiempo polinomial en el número de
  variables. También se han estudiado otros
  problemas con diferentes tipos de restricciones y
  funciones objetivo (programación cuadrática,
  programación cónica de segundo orden, etc.)

22
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Los tipos de restricciones que se pueden tener
  son
• Restricciones unarias restringen el valor de una
  sola variable.
• Ejemplo A la gente de Australia del Sur no le
  gusta el color verde. AS ? verde
• Cada restricción unaria puede eliminarse
  simplemente preprocesando el dominio de la
  variable correspondiente para eliminar cualquier
  valor que viole la restricción.
• Restricciones binarias relacionan dos variables.
• Ejemplo Australia del Sur y Nueva Gales del Sur
  no pueden tener el mismo color. AS ? NGS
• Un PSR binario es uno que tiene sólo
  restricciones binarias, y se puede representar
  con un grafo de restricciones.

23
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Las restricciones de alto orden involucran tres o
  más variables. Un ejemplo familiar de esto lo
  representan los problemas de criptoaritmética.

T W O T W O F O U R
24
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• El hecho de que cada letra representa un dígito
  diferente se puede representar mediante una
  restricción de seis variables TodasDif (F, T, U,
  W, R, O), o puede ser representado por la
  colección de restricciones binarias F ? T, F ?
  U, , R ? O.
• Las restricciones de adición de las cuatro
  columnas también involucran varias variables
• O O R 10 ? X1
• X1 W W U 10 ? X2
• X2 T T O 10 ? X3
• X3 F
• X1, X2 y X3 son variables auxiliares que
  representan el dígito (0 o 1) acarreado a la
  siguiente columna.

25
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Las restricciones de alto orden se pueden
  representar en un hipergrafo de restricciones

F
T
U
W
R
O
X3
X2
X1
26
Problemas de Satisfacción de Restricciones

• Cada restricción de alto orden, con dominio
  finito, puede reducirse a un conjunto de
  restricciones binarias, si se introducen las
  variables auxiliares suficientes. Es por eso que
  se estudian preferentemente problemas sólo con
  restriccines binarias.
• Hasta ahora se han descrito sólo restricciones
  absolutas (cualquier asignación completa que
  viole alguna de ellas, se descarta como
  solución).
• Muchos PSR del mundo real incluyen restricciones
  de preferencia, indicando cuales soluciones son
  preferibles. Estas restricciones pueden ser
  codificadas como costos sobre las asignaciones de
  variables individuales.

27
Búsqueda backtracking para los PSR

• Usando la formulación antes mencionada para PSR,
  cualquier algoritmo de búsqueda visto
  anteriormente puede ser usado para resolverlos.
• Suponiendo que se usa búsqueda primero por
  amplitud, el factor de ramificación en el nivel
  superior es nd, en el siguiente nivel es (n
  1)d, y así sucesivamente para los n niveles. Se
  genera un árbol de n!dn hojas.

28
Búsqueda backtracking para los PSR

• Sin embargo, todos los PSR tienen la propiedad de
  la conmutatividad.
• Un problema es conmutativo si el orden de
  aplicación de cualquier conjunto dado de acciones
  no tiene efecto en la salida.
• Por lo tanto, todos los algoritmos de búsqueda en
  PSR generan sucesores considerando las posibles
  asignaciones para sólo una variable en cada nodo
  del árbol de búsqueda.

29
Búsqueda backtracking para los PSR

• La búsqueda backtracking es una búsqueda primero
  en profundidad que elige valores para una
  variable a la vez y regresa (backtraks)
  cuando a una variable no le quedan valores
  legales para asignarle.

30
Búsqueda backtracking para los PSR
AO rojo
AO verde
AO azul
AO rojo TN verde
AO rojo TN azul
AO rojo TN verde Q rojo
AO rojo TN verde Q rojo
31
Búsqueda backtracking para los PSR

• La búsqueda backtracking simple es un algoritmo
  no informado, asi que no se espera que sea
  efectivo para problemas grandes.

32
Búsqueda backtracking para los PSR
Problema Back- Tracking BTMVR Forward Checking FC MVR Conflictos Min.
USA (gt1,000K) (gt1,000K) 2K 60 64
n-Reinas (gt40,000K) 13,500K (gt40,000K) 817K 4K
Cebra 3,859K 1K 35K 0.5K 2K
Aleatorio 1 415K 3K 26K 2K
Aleatorio 2 942K 27K 77K 15K
K miles de chequeos de consistencia, ( ) no
halló solución
33
Búsqueda backtracking para los PSR

• Los métodos de propósito general se hacen las
  siguientes preguntas
• Qué variable debe asignarse en seguida, y en que
  orden deben intentarse los valores?
• Cuáles son las implicaciones de las asignaciones
  actuales de variables para las otras variables
  sin asignar?
• Cuando una ruta falla (es decir, un estado es
  alcanzado en el cual una variable no tiene
  valores legales) Puede la búsqueda evitar
  repetir esta falla en rutas subsecuentes?

34
Búsqueda backtracking para los PSR

• Orden de las variables y de los valores
• Por default, la siguiente variable a asignar se
  selecciona de una lista estática de variables que
  rara vez produce una búsqueda eficiente.
• La idea intuitiva de elegir la variable que tenga
  el mínimo de valores legales es llamada la
  heurística del mínimo de valores remanentes
  (MVR). También se le llama la de la variable
  más restringida o de falla-primero, porque
  selecciona la variable que probablemente pronto
  causará una falla, podando el árbol de búsqueda.

35
Búsqueda backtracking para los PSR

• Orden de las variables y de los valores
• La heurística MVR no ayuda en absoluto para
  elegir la primera region a colorear del mapa de
  Australia, porque inicialmente cada región tiene
  tres colores legales.
• En este caso, la heurística de grado es
  utilizada. Intenta reducir el factor de
  ramificación para elecciones futuras
  seleccionando la variable que está involucrada en
  el mayor número de restricciones. AS tiene grado
  5, las otras tiene 2 o 3, y T tiene 0.
• La heurística de MVR es una guía más poderosa,
  pero la heurística de grado puede ser muy útil
  para romper empates.

36
Búsqueda backtracking para los PSR

• Orden de las variables y de los valores
• Una vez que una variable ha sido seleccionada, el
  algoritmo debe decidir en qué orden examinar sus
  valores.
• Para esto, la heurística del valor menos
  restrictivo puede ser efectiva en algunos casos.
• Esta heurística prefiere el valor que elimine la
  menor cantidad de valores posibles de las
  variables vecinas en el grafo de restricciones.
• Por ejemplo, si se ha asignado AOrojo, TNverde,
  y se tiene que elegir Q. Si se elige azul, esto
  elimina el último valor legal que podíamos
  asignarle a AS. Por lo tanto, según la heurística
  del valor menos restrictivo, se debe asignar
  Qrojo.
• La idea es contar siempre con la mayor
  flexibilidad posible para las asignaciones de
  variables subsecuentes.

37
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Hasta ahora solo se han considerado las
  restricciones sobre una variable solo cuando la
  variable se elige para asignarle valor.
• Observando algunas restricciones un poco antes
  durante la búsqueda, o incluso antes de que la
  búsqueda comience, se puede reducir drásticamente
  el espacio de búsqueda.

38
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Forward checking
• Cuando una variable X es asignada, el proceso FC
  observa a cada variable sin asignar Y que esté
  conectada a X por una restricción y borra del
  dominio de Y cualquier valor que sea
  inconsistente con el valor elegido para X.

39
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Forward checking

AO TN Q NGS V AS T
Dominios Iniciales RVA RVA RVA RVA RVA RVA RVA
Después que AOrojo R VA RVA RVA RVA VA RVA
Después que Qverde R A V R A RVA A RVA
Después que Vazul R A V R A --- RVA
40
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Propagación de restricciones
• Aunque FC detecta muchas inconsistencias, no las
  detecta todas.
• En la tabla anterior, puede verse que cuando AO
  es rojo y Q es verde, tanto TN como AS son
  forzados a ser azules. Sin embargo, estos dos
  últimos son adyacentes y por lo tanto, no pueden
  tener el mismo color. FC no detecta esto como una
  inconsistencia, porque no mira más allá.
• La propagación de restricciones es el término
  general para propagar las implicaciones de una
  restricción sobre una variable en otras variables.

41
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Propagación de restricciones
• La idea de consistencia de arco proporciona un
  método rápido de propagación de restricciones que
  es sustancialmente más fuerte que FC.
• Arco se refiere al arco dirigido en el grafo de
  restricciones, por ejemplo, el arco que va de AS
  a NGS.
• Dados los dominios actuales de AS y NGS, el arco
  es consistente si, para cada valor x de AS, hay
  algún valor y de NGS que sea consistente con x.
• En el renglón 3 de la tabla, se puede ver que el
  arco de AS a NGS es consistente, pero el arco
  inverso de NGS a AS no lo es. Este arco puede
  hacerse consistente borrando el valor azul del
  dominio de NGS.

42
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Propagación de restricciones
• La verificación de consistencia de arco puede ser
  aplicada tanto como un paso de preprocesamiento
  antes de empezar la búsqueda, o como un paso de
  propagación (como FC) después de cada asignación
  durante la búsqueda.
• En cualquiera de los dos casos, el proceso debe
  ser aplicado repetidamente hasta que no quede
  ninguna inconsistencia, ya que la eliminacion de
  una de ellas puede crear otras nuevas.
• El algoritmo completo para consistencia de arco
  es llamado AC-3.

43
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Propagación de restricciones
• Formas más fuertes de propagación se pueden
  definir usando la notación llamada
  k-consistencia.
• Un PSR es k-consistente si, para cualquier
  conjunto de k-1 variables y para cualquier
  asignación consistente a esas variables, un valor
  consistente puede siempre ser asignado a
  cualquier k-ésima variable.
• Por lo tanto, 1-consistencia significa que cada
  variable individual es consistente por sí misma
  esto es también llamado consistencia de nodo.
  2-consistencia es lo mismo que consistencia de
  arco. 3-consistencia significa que cualquier par
  de variables adyacentes puede siempre ser
  extendida a una tercera variable vecina, lo que
  se llama consistencia de ruta.

44
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Propagación de restricciones
• Un grafo es fuertemente k-consistente si es
  k-consistente y además es también
  (k-1)-consistente, (k-2)-consistente, y así
  hasta llegar a 1-consistente.
• Si se tiene un problema con n nodos, y se hace
  fuertemente n-consistente, entonces el problema
  se puede resolver sin backtracking.
• Sin embargo, cualquier algoritmo para establecer
  la n-consistencia debe tomar tiempo exponencial
  en n en el peor caso.

45
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Manejo de restricciones especiales
• Ejemplo, la restricción TodasDiferentes dice que
  todas las variables involucradas deben tener
  valores diferentes.
• Una forma simple de detectar la inconsistencia de
  esta restricción es si hay m variables
  involucradas en la restricción, y si ellas tienen
  n posibles valores distintos cada una, y m gt n,
  entonces la restricción no puede ser satisfecha.

46
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Manejo de restricciones especiales
• Tal vez la restricción de alto orden más
  importante es la restricción de recursos, algunas
  veces llamada restricción cuandomucho.
• Por ejemplo, sean PA1, , PA4 las cantidades de
  personal asignado a cada una de 4 tareas. La
  restricción de que no se asignen más de 10
  personas en total se escribe como cuandomucho(10,
  PA1, PA2 PA3, PA4).
• Una inconsistencia puede detectarse simplemente
  checando la suma de los valores mínimos de los
  dominios actuales. Por ejemplo, si cada variable
  tiene el dominio 3,4,5,6, la restricción
  cuandomucho no puede ser satisfecha.

47
Búsqueda backtracking para los PSR

• Propagando información a través de las
  restricciones
• Manejo de restricciones especiales
• Para problemas grandes limitados en recursos,
  como problemas de logística involucrando miles de
  personas o cientos de vehículos, usualmente no es
  posible representar el dominio de cada variable
  como un conjunto de enteros y reducirlo
  gradualmente con los métodos de verificación de
  consistencia.
• Lo que se hace en estos casos es representar los
  dominios por medio de límites superiores e
  inferiores, y manejarlos por propagación de
  límites.

48
Búsqueda backtracking para los PSR

• Backtracking inteligente mirando hacia atrás.
• Cuando una rama de la búsqueda falla, el
  algoritmo de BT regresa a la variable precedente
  e intenta un nuevo valor para ella.
• Esto es llamado Backtracking cronológico.
• Qué pasaría si en el problema de Australia se
  hubiera elegido un orden de instanciación fijo Q,
  NGS, V, T, AS, AO, TN? Supón que ya se ha
  generado la asignación Qrojo, NGSverde,
  Vazul, Trojo. Cuando se intenta asignar la
  siguiente variable, AS, todo falla. Regresar y
  cambiar el valor a T no soluciona el problema.

49
Búsqueda backtracking para los PSR

• Backtracking inteligente mirando hacia atrás.
• Un enfoque más inteligente que el BT es regresar
  hasta una de las variables del conjunto que
  causaron la falla. Este conjunto es llamado el
  conjunto conflicto.
• El conjunto conflicto para la variable X es el
  conjunto de variables previamente asignadas que
  están conectadas a X por restricciones.
• El conjunto conflicto para AS es Q,NGS,V.

50
Búsqueda backtracking para los PSR

• Backtracking inteligente mirando hacia atrás.
• El método backjumping regresa a la variable más
  reciente en el conjunto conflicto. En este caso,
  BJ brincaría sobre Tasmania y buscaría un nuevo
  valor para V.
• El algoritmo FC puede crear el conjunto conflicto
  mientras realiza su búsqueda (simplemente
  almacena lo que elimina).
• BJ ocurre cuando cada valor en el dominio está en
  conflicto con la asignación actual FC detecta
  esto antes y previene que la búsqueda llegue a un
  nodo así. Por lo tanto, cada rama podada por BJ
  es también podada por FC, así que son
  redundantes.

51
Búsqueda backtracking para los PSR

• Backtracking inteligente mirando hacia atrás.
• BJ nota la falla cuando el dominio de una
  cariable queda vacío, pero en muchos casos una
  rama está perdida mucho antes de que esto ocurra.
• Ejemplo, cuando se hace la asignación parcial
  AOrojo, NGSrojo. Si se intenta Trojo, y
  luego se asignan TN, Q, V, AS, ninguna asignación
  funciona para estas últimas.
• A dónde hacer backtrack? BJ no puede funcionar,
  porque TN SÍ tiene valores consistentes con las
  variables asignadas precedentes. TN no tiene un
  conjunto conflicto completo.
• Esto lleva a una noción más profunda del conjunto
  conflicto si el conjunto de variables
  precedentes que causaron TN, junto con cualquier
  variable subsecuente, no tienen solución
  consistente.
• A este algoritmo se le llama backjumping dirigido
  por conflictos.

52
Búsqueda local para PSR

• Los algoritmos de búsqueda local son efectivos
  para resolver muchos PSR.
• Usan una formulación de estado completo el
  estado inicial asigna un valor a cada variable, y
  la función sucesor usualmente trabaja cambiando
  el valor de una variable a la vez.
• El problema de las 8 reinas puede plantearse de
  dos formas
• Poner las 8 reinas en las 8 columnas al azar, y
  mover luego cada reina a lo largo de su columna.
• Poner las 8 reinas, una por columna en una
  permutación de las 8 columnas, y luego generar
  sucesores intercambiando dos reinas de columna.

53
Búsqueda local para PSR

• Para elegir un nuevo valor para una variable, la
  heurística más obvia es seleccionar el valor que
  resulte en el número mínimo de conflictos con
  otras variables la heurística de conflictos
  mínimos.

54
La estructura de los problemas

• La única manera en la que podemos esperar tratar
  con el mundo real es, posiblemente,
  descomponiéndolo en muchos subproblemas.
• Por ejemplo, analizando el problema de colorear
  Australia para identificar su estructura, un
  hecho sobresale Tasmania no está conectado al
  continente.
• Intuitivamente, es obvio que colorear Tasmania y
  colorear el continente son subproblemas
  independientes.
• Cualquier solución para el continente, combinada
  con cualquier solución para Tasmania, proporciona
  una solución para el mapa entero.

55
La estructura de los problemas

• La independencia puede ser confirmada simplemente
  observando los componentes conectados del grafo
  de restricciones.
• Los subproblemas completamente independientes son
  muy deseables, pero raros.
• En la mayoría de los casos, los subproblemas de
  un CSP están conectados. El caso más simple es
  cuando el grafo de restricciones forma un árbol
  cualquier par de variables está conectado a lo
  mucho por una ruta.

56
La estructura de los problemas
E
A
D
B
F
C
Grafo de restricciones de un PSR estructurado
como árbol
57
La estructura de los problemas

• Cualquier PSR estructurado como árbol puede ser
  resuelto en un tiempo lineal en el número de
  variables.

58
La estructura de los problemas

• El algoritmo es el siguiente
• PASO 1 Elija cualquier variable como la raíz del
  árbol, y ordene las variables desde la raíz hasta
  las hojas de tal forma que el padre de cada nodo
  en el árbol lo preceda en el ordenamiento.
  Etiquete las variables X1, , Xn en orden. Ahora,
  cada variable, excepto la raíz, tiene exactamente
  una variable padre.

59
La estructura de los problemas
A
B
C
E
D
F
Un ordenamiento lineal de las variables
consistente con el árbol con A como raíz
60
La estructura de los problemas

• PASO 2 Variando los valores de j desde n hasta 2
  (disminuyendo de 1 en 1), aplique verificación de
  consistencia de arco al arco (Xi, Xj), donde Xi
  es el padre de Xj, removiendo valores del
  DOMINIOXi conforme sea necesario.
• PASO 3 Variando los valores de j desde 1 hasta n
  (aumentando de 1 en 1), asigne cualquier valor
  para Xj consistente con el valor asignado para
  Xi, donde Xi es el padre de Xj.

61
La estructura de los problemas

• Ahora que se tiene un algoritmo eficiente para
  árboles, se puede considerar si grafos de
  restricciones más generales pueden reducirse a
  árboles de alguna manera.
• Hay dos maneras principales de hacer esto, una
  basada en remover nodos y otra basada en colapsar
  varios nodos juntos en uno.

62
La estructura de los problemas

• El primer enfoque involucra asignar valores a
  algunas variables de tal manera que las variables
  restantes formen un árbol.
• Considera el grafo de restricciones para
  Australia. Si se pudiera eliminar Australia del
  Sur, el grafo se convertiría en un árbol.

63
La estructura de los problemas
TN
TN
Q
Q
AO
AO
AS
NGS
NGS
V
V
T
T
Grafo de Restricciones Original
Grafo de Restricciones después de quitar AS
64
La estructura de los problemas

• Afortunadamente, esto se puede hacer fijando un
  valor para AS y borrando de los dominios de las
  otras variables cualquier valor que sea
  inconsistente con el valor elegido para AS.
• Ahora, cualquier solución para el PSR después de
  que AS y sus restricciones fueron removidas será
  consistente con el valor elegido para AS.
• El árbol restante puede se resuelto con el
  algoritmo para árboles ya mencionado.

65
La estructura de los problemas

• El segundo enfoque está basado en la construcción
  de una descomposición en árbol del grafo de
  restricciones en un conjunto de subproblemas
  conectados.
• Cada subproblema se resuelve independientemente,
  y las soluciones resultantes son combinada.
• Como cualquier algoritmo del tipo
  divide-y-vencerás, éste trabaja bien si ningún
  subproblema es demasiado grande.

66
La estructura de los problemas
TN
TN
Q
AO
AS
AS
Q
AS
NGS
Una descomposición en árbol del grafo del
restricciones del problema del coloreo de
Australia
AS
NGS
V
T
67
La estructura de los problemas

• Una descomposición en árbol debe satisfacer los
  siguientes tres requerimientos
• Cada variable en el problema original aparece en
  por lo menos uno de los subproblemas.
• Si dos variables están conectadas por una
  restricción en el problema original, deben
  aparecer juntas (con su restricción) en por lo
  menos uno de los subproblemas.
• Si una variable aparece en dos subproblemas en el
  árbol que se está creando, debe aparecer en cada
  subproblema que forme parte de la ruta que
  conecta a los dos primeros subproblemas.

68
La estructura de los problemas

• Los problemas se resuelven independientemente. Si
  cualquiera de los subproblemas no tiene solución,
  entonces sabemos que el problema completo tampoco
  tiene solución.
• Si todos los subproblemas se pueden resolver, se
  intenta construir entonces una solución global al
  problema.