La construction du concept de nombre entier

1
http//dpernoux.com/Fichiers/nombre.pps
I) Activités préalables au travail sur la
numération proprement dit II) Quest-il
important, de faire comprendre aux élèves
concernant le nombre ? III) Quelques remarques
concernant la construction du concept de
nombre IV) Lintroduction de notre système de
numération V) Numération chiffrée et numération
orale VI) Les  grands nombres  VII) Exemples
de problèmes pour chercher dans le domaine
numérique (cycle 2 et cycle 3)
2
I) Activités préalables au travail sur la
numération proprement dit
Dans leur ouvrage  Le nombre et la numération ,
Michelle Bacquet et Bernadette Gueritte-Hess,
consacre un chapitre à présenter des activités
quelles utilisent en rééducation pour préparer
le travail dans le domaine de la numération . Il
semble intéressant de sen inspirer et de mette
en place
- des activités où il sagit dassocier des
mouvements (en particulier avec les membres
supérieurs) à des chants très rythmés (prépare le
dénombrement par comptage qui implique de pouvoir
synchroniser un son et un geste) .
- des activités sur les algorithmes au cours
desquelles il sagit de découvrir des lois et de
poursuivre des suites variées (prépare les
activités sur les suites de nombres)
- des activités concernant des sériations où les
actions vécues précèdent les représentations
(prépare les activités numériques dans lesquelles
on est amené à faire des itérations)
- des activités concernant des ensembles variés
(prépare les activités sur les ensembles de
nombres)
- Travail sur le tout et les parties dun
ensemble
- Travail sur les comparaisons densembles
- Travail sur la notion de partage
Remarque dans cet ouvrage, les auteurs parlent,
comme dautres, de lutilisation des doigts dans
lapprentissage de la numération mais ils
insistent aussi de façon plus générale sur
lintérêt de mettre en place des activités
concernant le toucher.
Sommaire
3
II) Quest-il important de faire comprendre aux
élèves concernant le nombre ?
1) Faire comprendre que les nombres sont utiles
pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour
lélève )

Exemples de niveau cycle 1 (GS) Premier exemple
(inspiré dune proposition de Dominique Valentin)
Salle de jeu
Dortoir
Combien de bébés font encore la sieste dans le
dortoir ?
Combien de bébés ont fini leur sieste et sont
dans la salle de jeux ?
Remarque pour consulter une fiche de
préparation concernant cette activité, vous
pouvez cliquer ICI (document sur le site du GDM
68)
Sommaire
4
Deuxième exemple
17
On est le 17. 1) Combien de jours se sont passés
depuis le 14 ? 2) La maîtresse Aline revient
dans combien de jours ? 3) Combien de jours
jusquà lanniversaire de Pierre ?
Sommaire
5
Exemple de niveau cycle 3 (CM1) Quatre
enfants partagent vingt-neuf bonbons. Combien
en auront-ils chacun ?
(vous pouvez cliquer sur chacune des images pour
plus de précisions)
Sommaire
6
On peut aussi utiliser le matériel proposé par
Brissiaud (PS, MS et GS)
MS-GS
PS
GS
et les ouvrages proposés par les éditions Accès
GS
PS
MS
(cliquer sur les images pour plus de précisions)
Sommaire
7
2) Faire comprendre quun nombre a plusieurs
représentations et quil faut savoir passer dune
représentation à une autre
Sommaire
Source
8
Et si on dépasse la notion dentier
Sommaire
9
Une remarque concernant les écritures à virgule
Si, avec les entiers, on va trop vite vers des
automatismes du genre  quand on multiplie par
100 on ajoute deux 0 ( règle des zéros ), on
renforce, me semble-t-il, le risque quensuite
des élèves écrivent 2,3 100 2,300.
Il me parait donc souhaitable de garder le plus
longtemps possible du sens en écrivant 12 100
12 centaines 1200
Sommaire
10
3) Faire comprendre que les nombres sont  liés
les uns aux autres 
Idées et illustration extraites de louvrage de
Rémi Brissiaud  Premiers pas vers les maths
Les chemins de la réussite à lécole maternelle 
Exemples
(cliquer sur limage pour plus dinformations)
 quatre 
 un 
 un 
 un 
 et un 
Remarque Dans cet ouvrage des idées fort
intéressantes sont développées et des
propositions dactivités concrètes pertinentes
sont proposées mais, comme Charnay, je ne trouve
pas souhaitable de suivre Brissiaud quand il
recommande de ne pas pratiquer en PS et début de
MS de dénombrement par comptage. Cest une
procédure de dénombrement parmi dautres, certes
difficile, mais cest précisément parce que cest
une procédure difficile utilisée systématiquement
en dehors de lécole quil ne me semble pas
souhaitable de la bannir en PS et début de MS.
Ceci étant dit, les activités proposées par
Brissiaud ne manque pas dintérêts.
En utilisant les doigts, on peut aussi montrer
que
 deux 
 et encore un 
 ça fait trois 
Sommaire
11
Remarque
On peut travailler les décompositions à laide
des représentations analogiques (dés, cartes à
points, configurations de doigts, etc.)
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12

• Montrez-moi 4 doigts avec 2 mains
• Montrez-moi 3 doigts avec 1 main, maintenant
  avec 2 mains etc...

Source des photos http//math.maternelle.free.fr
/fiches/32minute_math.html Page dentrée du site
http//math.maternelle.free.fr
Sommaire
13
Remarque sur lutilisation des doigts il semble
souhaitable de ne pas toujours utiliser la même
configuration de doigts pour représenter les
nombres
Sommaire
14
4) La manipulation est, bien évidemment
intéressante pour sapproprier les situations et
les problèmes posés mais il est souhaitable
damener les élèves à anticiper sur le résultat
dune manipulation car cest ainsi quon peut
amener lélève à élaborer des procédures.
On ajoute trois jetons.
On ajoute quatre jetons.
Combien y a-t-il de jetons dans la boîte ? On
peut ensuite vérifier en vidant la boîte. (la
réflexion précède ici la manipulation qui sert à
vérifier si le résultat quon a trouvé est
exact)

Boîte opaque
Sommaire
15
5) Il faut attacher de limportance au choix des
différentes contraintes (ou variables
didactiques) lors de la mise en place de
situations de recherche Exemple (situation de
référence proposée par R. Charnay On dispose
dun nombre donné de bouteilles et de bouchons
(en nombre plus important que le nombre de de
bouteilles) lélève doit préparer juste ce
quil faut de bouchons pour en avoir un pour
chaque bouteille. Première variante le
nombre de bouteilles est assez important mais les
bouchons sont à proximité des
bouteilles (il sagit de sapproprier la
situation et de faire en sorte que la
contrainte  un bouchon pour chaque bouteille 
soit respectée). Deuxième variante il y a 5
à 6 bouteilles (à adapter au niveau) les
bouchons sont proches mais il faut préparer les
bouchons sur un plateau avant de les mettre sur
les bouteilles. Troisième variante il y a
4 bouteilles (à adapter au niveau) les bouchons
sont éloignés lélève doit aller chercher les
bouchons avec un plateau en une seule fois (ou en
plusieurs fois puis en une
seule fois). Quatrième variante il y a
jusquà dix bouteilles (à adapter au niveau)
les bouchons sont éloignés mais dans des paniers
de un, deux ou trois bouchons aller chercher
les bouchons en plusieurs fois puis en une seule
fois.
Sommaire
16
6) Ne pas oublier de travailler aussi laspect
ordinal du nombre
Le nombre entier permet dindiquer une quantité
(aspect cardinal du nombre).
Le nombre entier a aussi un aspect ordinal
lundi est le premier jour de la semaine, mardi le
deuxième, etc.
Exemple dactivité

Boîte contenant un objet
 Comment faire comprendre dans quelle boîte se
trouve lobjet, sans montrer cette boîte ? 
Remarque importante On ne peut pas bien
concevoir la notion de nombre si on nest pas
conscient des liens qui unissent les nombres
Exemples  3 est plus petit que 4   3 et
1 ça fait quatre .
Sommaire
17
1) La présence de bandes numériques collectives
ou individuelles est importante (si la file
numérique commence par 1 et non par 0, on fera
plus facilement le lien entre aspect ordinal et
aspect cardinal du nombre)
2) Il est souhaitable de varier les types de
dénombrement

• dénombrement par comptage on utilise la
  comptine numérique

• dénombrement en utilisant des "collections-témoin
  s organisées" (configurations spatiales diverses,
  configurations digitales, etc.)

Remarque concernant le dénombrement par comptage
Ce qui est difficile cest de faire comprendre
que le dernier mot-nombreprononcé n'est pas un
simple numéro mais représente à lui seul la
quantité de tous les objets.
Pour cela, on peut travailler les décompositions
 Un, un, un et encore un ça fait
quatre   Trois et un ça fait quatre 
On peut aussi procéder ainsi
Sommaire
18
Si les objets sont déplaçables
 trois 
 quatre 
 un 
 deux 
Si les objets ne sont pas déplaçables


 quatre 
 trois 
 deux 
 un 
Remarque pour réussir à dénombrer les éléments
dune collection par comptage lenfant doit -
connaître la comptine numérique- savoir associer
à chaque élément de lensemble un mot-nombre et
un seul de la comptine récitée dans lordre-
comprendre, comme on vient de le dire, que le
dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul
la quantité de tous les objets- comprendre que
la nature des objets à compter na pas
dimportance- comprendre quon peut compter les
objets dans nimporte quel ordre.
Sommaire
19
Remarque supplémentaire concernant le
dénombrement par comptage
Savoir dénombrer par comptage un par un suppose
de savoir énumérer les éléments dune collection
cest-à-dire de savoir passer tous les éléments
en revue sans en oublier et sans en désigner un
deux fois.
Pour des précisions concernant lénumération,
voir, par exemple http//www.uvp5.univ-paris5.fr
/TFM/parcours/AffQpeRep.asp?CleFicheP153-1
Sommaire
20
IV Lintroduction de notre système de numération
Notre système de numération est basé sur les
groupements (on fait des paquets de dix puis de
cent puis) mais ce qui est important cest que
lélève comprenne lintérêt de faire des paquets
de dix (quand on a beaucoup dobjets à dénombrer,
on fait des paquets et ensuite on compte ces
paquets).
Exemples dexercices permettant de voir si un
élève a compris ou pas lintérêt de faire des
paquets
Premier exemple Dans la case blanche écris en
chiffres combien il y a de croix. X X X X X X X
X X XX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X XX X X X
Sommaire
21
Deuxième exemple Dans la case blanche écris en
chiffres combien il y a de doigts.
Sommaire
22
Troisième exemple Dessine dans le grand cadre
blanc le nombre de croix correspondant au nombre
écrit sur létiquette. Attention, on doit tout de
suite voir que cest juste.
Sommaire
23
Pour les CP, il sagira de construire des
stratégies pour dénombrer rapidement et de
manière fiable des collections de 60 à 100 objets
et au CE de plusieurs centaines voire milliers
dobjets. Lévolution du CP au CM2 se fait au
niveau du passage de collections réelles à des
collections représentées sous différentes
formes Par exemple dans ERMEL les situations
les fourmillions (CP), les cahiers (CE1),
les craies (CE2), les trombones (CM1) et
les tickets de cantine (CM2) entrent dans cette
catégorie.
Les  fourmillions 
Source de limage http//lewebpedagogique.com/de
vanssay/2008/01/22/les-fourmillions/
Sommaire
24
V) Numération chiffrée et numération orale
1) Remarques préalables
- Passer du registre des désignations orales au
registre des écritures chiffrées nécessite de
comprendre que certains mots sont traduits par
des chiffres et dautre pas et en plus quil faut
écrire des chiffres  quon nentend pas 
est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire
aussi un 0  quon na pas entendu  3 2 0
3
trois
mille
deux
cent
trois
est traduitpar le chiffre 3
est traduitpar le chiffre 2
nest pas traduit par un chiffre mais indique
que le chiffre 3 doit être mis à une certaine
place 3 _ _ _
nest pas traduit par un chiffre mais indique
que le chiffre 2 doit être mis à une certaine
place 3 2 _ _
- Notre système de numération orale est un
système hybride dans lequel les noms des nombres
sont composés suivant un principe additif
(dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents).
Sommaire
25
- Parmi les différentes manières de représenter
les nombres on peut citer la représentation  en
carte à points  qui permet, en particulier de
travailler les doubles et les compléments à dix.
Pour plus dinformations sur les cartes à points
voir http//jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.f
r/Page208.htm (site de Jean-Luc Brégeon)
Sommaire
26
EN VERT
Sommaire
27
2) Le passage des écritures chiffrées aux
désignations orales et réciproquement
Une grande partie des difficultés rencontrées par
les élèves sont dues aux irrégularités de notre
numération orale car en français, les règles de
lecture des nombres sont complexes et souffrent
de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas
"dix-trois" on dit "soixante-douze" et pas
"septante-deux" on dit "cent" et "mille" mais
"un million", etc.).
a) Les noms des dizaines
40 se dit quarante alors que dans les langues
asiatiques ont dit  quatre-dix , ce qui est
beaucoup plus porteur de sens.
b) Des nombres ayant des noms bizarres 
Stella Baruk les appellent  les cachotiers 
Sommaire
28
Remarques - on peut travailler sur les écritures
chiffrées de ces nombres avant de savoir les
nommer
7 8
Autrefois, certains aimaient bien faire des
paquets de soixante
soixante - dix - huit
Sommaire
29
8 3
9 4
Autrefois, certains comptaient avec les doigts
des mains et des pieds.
quatre-vingt-trois
quatre-vingt-quatorze
- On peut utiliser ce quon entend
Pour soixante treize 60 13 73 Pour
quatre-vingt-deux 20 20 20 20 2
82Pour 93 20 20 20 20 13 93
Sommaire
30
c) Des idées tirées du tome 1 de louvrage de
Stella Baruk  Comptes pour petits et grands 
publié aux éditions Magnard)
Le fil conducteur est de sappuyer sur ce quon
entend.Exemples
(cliquer sur limage)
Sommaire
31
Sommaire
32
Deuxième idée
On peut concevoir des exercices où on passe du
registre de langue belge ou suisse à notre
registre de langue et réciproquement
Sommaire
33
Sommaire
34
Et pour les grands nombres
Sommaire
35
d) Une proposition de Rémi Brissiaud
Voir Le livre du maître du fichier  Japprends
les maths avec Tchou CP  édité chez
Retz). et http//www.reunion.iufm.fr/dep/mathemati
ques/PE2/Cycle2/IntroTchou/introtchou.html
(extraits vidéo)
Rémi Brissiaud propose dutiliser une comptine
régulière (on compte comme Tchou)
4 2
Tchou dit  quatre-dix-et-deux 
On dit  quarante-deux 
Sommaire
36
3) Des situations à reprendre aux différents
niveaux de la scolarité en adaptant le domaine
numérique (daprès des propositions de Denis
Butlen et Pascale Masselottirés du document  le
nombre au cycle 2  mis en ligne sur le site
Eduscol)
(cliquer sur limage)
a) Situations déchange pour travailler les
écritures chiffrées des nombres
Remarque Pour des vidéos concernant le jeu du
banquier au cycle 2, voir http//www.uvp5.univ-p
aris5.fr/TFM/Videos/Videos.asp
- Situations amenant à repenser les groupements
par rapport aux échanges
Il sagit damener les élèves à lire dans
lécriture dun nombre des informations liées aux
échanges ou aux groupements qui ont été
effectués.La situation de référence est par
exemple le problème des timbres les timbres
sont vendus par carnets de dix timbres.Paul a
besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de
carnets ?Corinne a besoin de 500 timbres.
Combien doit-elle acheter de carnets ?
Sommaire
37
Remarques - Comprendre que, dans 623, le
chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de
dizaines vaut 62 est un objectif important mais
il me semble quil faut faire attention à ne pas
aller trop vite avec des élèves en difficulté et
quil est souhaitable de sappuyer sappuyer sur
le matériel de numération utilisé.
6 2 3
Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines
 visibles 
Mais il y a aussi 60 dizaines  cachées dans les
centaines 
Sommaire
38
- Remarque au cycle 3, il sagira de comprendre
que 1 2 4 1 , 7 8 cest
1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité
7 dixièmes 8 centièmes
mais cest aussi, par exemple 12 centaines
41 unités 78 centièmes
b) Situations abordant le point de vue
algorithmique (dans les deux systèmes de
numération)
Activités autour des familles de nombres comme
dans la situation du jeu du château en CP/
CE1 (cf. les ouvrages de léquipe ERMEL publiés
par Hatier)
Sommaire
39
Remarque
 chef de famille 
 Tableau Brissiaud 
 Tableau ERMEL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 88 98 99 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 88 98 99
Permet de travailler le sens des écritures
chiffrées
Permet de travailler sur les désignations orales
des nombres
23 cest 2 paquets de dix et 3 unités
23 appartient à la famille des vingt
Sommaire
40
Activités autour des compteurs (avec des chiffres
ou avec des mots) et des calculatrices
Exemple dactivité
Un premier nombre est affiché sur lécran de la
calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la
calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il
sagit dobtenir laffichage de 1334 en tapant le
minimum de touches.
Remarque pour des activités avec la
calculatrice , voir le document daccompagnement
des programmes 2002 intitulé  Utiliser les
calculatrices en classe (cycle 2 et cycle 3) 
Sommaire
41
c) Situations dexploration des règles de la
numération orale et de mise en relation avec la
numération de position (chiffrée)
Construire un dictionnaire de nombres (CP)Au CP
on peut construire un livret dédié à lécriture
des nombres. Chaque page est consacrée à un
nombre. Lélève y inscrit différentes écritures
ou représentations de ce nombre. Les pages vont
senrichir progressivement.
Mettre en correspondance les deux types
décritures
Lélève dispose de deux jeux de cartes. Le
premier comporte des cartes sur lesquelles il y a
les écritures chiffrées de nombres entiers (par
exemple les n premiers nombres). Le second est un
jeu de cartes avec les mots-nombres
correspondant. La consigne est la suivante Il
faut remettre dans lordre les différents
nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les
nombres du plus petit au plus grand avec des
chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec
des mots.
Sommaire
42
Simuler un compteur manuel permettant
décrire les nombres avec des mots
Combien de chiffres ? Combien de mots ? Un
nombre étant énoncé par lenseignant, lélève
écrit sur son ardoise le nombre de chiffres
nécessaires pour lécrire. Inversement, un nombre
étant écrit au tableau avec des chiffres, lélève
doit écrire sur son ardoise le nombre de mots
nécessaires. Linstitutionnalisation porte sur la
longueur de lécriture dun nombre qui ne dépend
pas systématiquement de sa grandeur le nombre
deux-cent-vingt-trois comporte plus de mots que
le nombre trois-cent .
Sommaire
43
Remarque pour dautres idées dactivités, voir,
par exemple les ouvrages de léquipe ERMEL
On y trouve, par exemple des activités de ce type

Sommaire
44
En complément, voici un exemple faisant
intervenir des nombres plus grands que ceux
fréquentés au cycle 2. Quel est le plus grand
nombre que lon peut écrire avec toutes ces
étiquettes ?
deux
quatre
six
cent(s)
vingt(s)
mille
six-cent-quatre-vingt-deux-mille
Sommaire
45
4) Exemples dactivités utilisant loutil
informatique
- Exercices du site http//pepit.be (animations
flash à exécuter en ligne ou à télécharger)
- Exercices concernant la numération au cycle 2
sur le site  Le Matou matheux  (à exécuter en
ligne) http//matoumatheux.ac-rennes.fr/num/en
tier/CP/ecrireCP.htm

• Logiciel Minimax (  Trop petit ! Trop grand !
  Gagné ! ) de M. Menei http//jeanrostand2.stn
  olff.pagesperso-orange.fr/Marco20Menei.html

- Quizz sur la numération (niveau cycle 2) (Anne
et Dominique Pernoux) http//ddata.over-blog.co
m/0/00/81/54/Nouveau/quiz.swf
Sommaire
46
VI Les grands nombres
1) Extraits des IO concernant le cycle 3
Létude organisée des nombres est poursuivie
jusquau milliard, mais des nombres plus grands
peuvent être rencontrés.
Cours élémentairedeuxième année Cours moyenpremière année Cours moyendeuxième année
Les nombres entiers jusquau million - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau million. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Les nombres entiers jusquau milliard - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau milliard. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Les nombres entiers
Sommaire
47
2) Désignation des grands nombres
trillions trillions trillions trillions trillions trillions billions billions billions billions billions billions milliards milliards milliards millions millions millions
6 5 5 6 7 5 4 6 6 8 5 9 4 4 7 6 6 8 3 3 7 9 5 2
A l'école élémentaire
classe des milliards classe des milliards classe des milliards classe des millions classe des millions classe des millions classe des mille classe des mille classe des mille classe des unités (simples) classe des unités (simples) classe des unités (simples)
c d u c d u c d u c d u
4 4 7 6 6 8 3 3 7 9 5 2
Sommaire
48
3) Exercice extrait des dernières évaluations CM2
Dire aux élèves  Écrivez en chiffres les
nombres que je vais vous dicter je les
répéterai chacun deux fois.  Dans la case
A, écrivez cent-treize-mille (laisser 10
secondes) dans la case B, écrivez
huit-milliards-quatre-cents-millions (laisser
10 secondes) dans Ia case C, écrivez
soixante-mille-soixante-quinze (laisser 10
secondes)
Sommaire
49
4) Des compétences de nature différentes
Remarque préalable Il sagit de prolonger ce
qui est fait au cycle 2 à propos du
fonctionnement de notre système de numération
(signification des écritures chiffrées et
fonctionnement de notre système de numération
orale avec ses nombreuses irrégularités). Il faut
donc dabord faire un retour sur ce qui est vu au
cycle 2 à propos des nombres inférieurs à 1000.
a) Comprendre comment on exprime de grandes
quantités à laide décritures chiffrées (sans
intervention de la numération orale)
Exemple dexercice (à adapter au niveau)

• Dans 345 562 657
• Le chiffre des dizaines de la classe des mille
  est le chiffre
• Le chiffre des centaines de la classe des unités
  (simples) est le chiffre
• 4 est le chiffre des ..

• Le nombre de paquets de un million est égal à
  .
• Le nombre de paquets de mille est égal à .

Réponse 345 562
Sommaire
50
b) Comprendre le lien entre la relation dordre
entre les nombres et le fonctionnement de notre
système décritures chiffrées (sans intervention
de la numération orale)
Exemples dexercice (à adapter au niveau)
- Ecris en chiffres le nombre qui vient juste
après le nombre donné
123 999 999
- Ecris en chiffres le nombre qui vient juste
avant le nombre donné
235 620 000
- Ecris en chiffres le nombre compris entre les
deux nombres donnés
123 349 999 123 350 001
- Complète la phrase suivante par un nombre écrit
en chiffres . se trouve entre 125 499
999 et 125 500 001
Sommaire
51
- Ecris à leur bonne place les nombres 65 345,
618 554 et 114 345 890
56 678 234 567 123 567 345
- Entoure le plus grand des deux nombres 123
000 et 122 998
- Range du plus petit au plus grand les nombres
223 456 000, 223 455 999, 120 999 et 132 000

Sommaire
52
c) Comprendre comment on exprime de grandes
quantités à laide de désignations orales des
nombres (passage des écritures chiffrées aux
désignations orales et réciproquement)

• Exemples dexercices (à adapter au niveau)
• - Lis ces écritures chiffrées
• 123 487 230 000 018 199 516 637 12
  340 079 345 346 000

- Ecris en chiffres les nombres que je vais te
dicter.
d) Comprendre le lien entre la relation dordre
entre les nombres le fonctionnement de notre
système de désignations orales
Exemples dexercices (à adapter au niveau)
- Demander le nombre qui vient juste après
cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-dix-neuf, le
nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois-mill
ions (Lenseignant et lélève utilise des
désignations orales des nombres)
- Demander à lélève décrire avec des chiffres
le nombre qui vient juste après
cent-vingt-trois-mille, le nombre qui vient juste
avant cent-vingt-deux-millions (Lenseignant
utilise des désignations orales lélève produit
des écritures chiffrées)
Sommaire
53
- Demander le nombre compris entre
cent-vingt-deux -mille-quatre-vingt-neuf et
cent-vingt-deux-mille-quatre-vingt-onze
(Lenseignant et lélève utilisent des
désignations orales)
- Demander à lélève décrire en chiffres le
nombre compris entre cent-vint-deux
-mille-quatre-vingt-neuf et cent-vingt-deux-mille-
quatre-vingt-onze (Lenseignant utilise des
désignations orales et lélève produit des
écritures chiffrées)
- Demander un nombre compris entre
cent-vingt-deux -mille et cent-cinquante-mille
(Lenseignant et lélève utilisent des
désignations orales)
- Demander à lélève décrire en chiffres un
nombre compris entre cent-vingt-deux -mille et
cent-cinquante-mille (Lenseignant utilise des
désignations orales et lélève produit des
écritures chiffrées)
Sommaire
54
VII Exemples de  problèmes pour chercher 
(cycle 2 et cycle 3)
Plutôt de niveau cycle 2
Problème 1
On veut fabriquer 66 en utilisant des billets
de 10 , des billets de 5 et des pièces de 1 .
Quelle est la solution qui utilise le moins de
pièces et billets ?
Aide  Commencer en utilisant le plus possible
de gros billets 
10
10
10
1
5
10
10
10
Problème 2
(on peut utiliser deux fois le même chiffre)
Aide cherche dabord tous les nombres possibles
commençant par 1 puis
11 12 13 21 22 23 31 32 33
Sommaire
55
Problème 3
Aide on peut y arriver en faisant tourner deux
dominos.
Sommaire
56
Problème 4
Problème 5
Il y a plusieurs solutions
3
9
2
8
1
6
4
Sommaire
57
Problème 6
Aide colorie toutes les case où il y a un
nombre plus grand que 59
Problème 7
Aide le chiffre 4 peut-être le chiffre des
unités ou le chiffres des dizaines ou les deux en
même temps.
4 14 24 34 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49
On a utilisé 15 fois le chiffre 4.
Sommaire
58
Problème 8
4
1
5
3
2
Aide la somme de la ligne et la somme de la
colonne valent 10.
Il y a plusieurs solutions
Problème 9
Aide le premier chiffre peut valoir 1 ou 2 ou 3
ou
16 25 34 43 52 61 70
Sommaire
59
Problème 10
Combien de mots différents suffisent à un écolier
français pour écrire les cent premiers nombres ?
Aide Vérifie quil y a 23 mots.
Un deux trois quatre cinq six sept
huit neuf dix onze douze treize
quatorze quinze seize vingt et trente
quarante cinquante soixante cent
23 mots
Sommaire
60
Problème 1
Plutôt de niveau cycle 3
Sommaire
61
Solution
2 kg
1 kg
3 kg
1 kg
2 kg
3 kg
1
4 kg
5 kg
4 kg
5 kg
Masse totale à répartir entre les deux plateaux
de la balance 1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg
6 kg 7 kg 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg.
On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau de
droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le
plateau de droite est dajouter 3kg et 5kg. On
ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche
car 1 kg 2 kg 4 kg 7 kg
Sommaire
62
Problème 2
Nombre de poules Nombre de lapins Nombre de pattes de poule Nombre de pattes de lapins Nombre de pattes




18
36
18
72
108
19 17
38 68
106
20 16
40 64
104
21 15
42 60
102
Sommaire
63
Problème 3
6

Armoire A Armoire B Armoire C
36 en tout
Dans larmoire C, il y a 30 5 balais soit 6
balais. Dans larmoire B, il y a 12 balais. Dans
larmoire A, il y a 18 balais.
Sommaire
64
Problème 5
Petites voitures Voitures moyennes Grosses voitures Total
Françaises
Etrangères
Total
3
6
0
3
6
0
4
2
4
5
3
Sommaire
65
Problème 5
Aide la réponse se situe entre VINGT et TRENTE
VINGT-HUIT
Problème 6
Chameaux Chattes Chatons
Nombre danimaux
Nombre de pattes
3
27 3 81
3 3 3 27
4 27 108
4 3 12
4 81 324
Total 444 pattes
Sommaire
66
Problème 7
Sophie Pierre Eve
Jane
John
Tony
Sommaire
67
Problème 8
Eau et aquarium 108 kg
57 kg
Masse deau bue par le dragon 108 kg - 57 kg
51 kg
Masse deau au départ 2 51 kg 102 kg
Laquarium vide pèse donc 108 kg - 102 kg soit 6
kg.
Sommaire
68
Problème 9
8
9
6
1
2
4
3
7
5
Sommaire
69
Problème 10
Depuis que le directeur a mis les pendules à
lheure la différence entre les heures indiquées
par les deux horloges a atteint . Or cette
différence valait 0 quand le directeur a mis les
pendules à lheure et a augmenté ensuite de
minutes toutes les heures Depuis que le
directeur a mis les pendules à lheure, il sest
donc écoulé On peut maintenant trouver lheure
quil est de deux manières La pendule qui
avance a pris 24 4 soit 96 minutes davance
cest-à-dire 1h 36 minutes davance. Il nest
donc pas 17h 36min comme lindique la pendule qui
avance mais17h 36min 1h 36min soit 16h. ou La
pendule qui retarde a pris 24 1 minutes soit 24
minutes de retard. Il nest donc pas 15h 36min
comme lindique la pendule qui retarde mais 15h
36 min 24 min soit 16h.
2 heures soit 120 minutes.
5
(car une des horloges avance de quatre minutes
toutes les heures alors que lautre retarde dune
minute toutes les heures).
120 5 heures soit 24 heures.
Sommaire
70
Un problème  pour chercher et un jeu plus
difficiles
Activité  atteindre un nombre 
On dispose dune calculatrice qui na que que
deux touches une touche  ajouter 9  et une
touche enlever 6 .
On part du nombre 5.
- Essayer datteindre 17 en utilisant la
calculatrice.
Exemple de solution
5 9 9 6 17
- Essayer datteindre 18 en utilisant la
calculatrice.
Le problème na pas de solution.
Sommaire
71
Complément Recherche des nombres quon peut
atteindre
35
32
29
26
23
20
14
17
23
11
5
8
14
2
5
On peut atteindre les nombres 2, 5, 8, 11, 14,
17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc.
Sommaire
72
Jeu à deux  atteindre 15 
Le but du jeu est de fabriquer le premier le
nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre
1 et 9.
On dispose de neuf jetons sur lesquels sont
inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire
au sort le joueur qui commence le
premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour
de rôle parmi les jetons qui nont pas encore été
choisis.
Première version du jeu chaque joueur ne tire
pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit
quil obtient 15 en tirant son troisième jeton,
il a gagné. Sinon, cest match nul).
9
8
7
6
4
5
2
3
1
Joueur 2
Joueur 1
9
2
4
8
3
Le joueur 1 a gagné.
Sommaire
73
Deuxième version du jeu On joue comme dans la
première version mais si aucun joueur nobtient
15 en tirant son troisième jeton, les joueurs
continuent de choisir un jeton l'un après
l'autre. Mais la règle ne change pas il faut
toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un
joueur voit quil peut réaliser la somme 15 avec
TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa
possession, il a gagné.
1
7
9
2
8
6
3
5
4
Joueur 2
Joueur 1
2
4
7
8
8
1
6
1
6
3
Le joueur 1 a gagné.
Remarques

• si un joueur ne voit pas quil a obtenu 15, le
  jeu continue.

• si aucun joueur narrive à obtenir 15, il y a
  match nul.

Sommaire
74
Complément concernant le jeu  Atteindre 15 
Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui
commence ?
- Recherche de toutes les décompositions
additives de 15 utilisant trois nombres
inférieurs à 10
15 1 5 9
15 2 4 9
15 3 4 8
15 4 5 6
15 2 5 8
15 3 5 7
15 1 6 8
15 2 6 7
- Recherche du nombre de fois où apparaît chacun
des nombres de 1 à 9 dans les décompositions
précédentes
Nombre
Nombre d'apparitions
4
2
3
5
6
7
8
9
1
2
2
3
3
4
3
2
2
3
- Remarque réalisation d'un carré magique avec
les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de
chaque ligne de chaque colonne et de chaque
diagonale doit valoir 15)
2
4
Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les
décompositions de 15 doit être au centre. Dans
chaque coin, il doit y avoir un nombre qui
apparaît 3 fois dans les décompositions de 15.

5

9
Exemple
7
3
8
6
1
D. Pernoux http//pernoux.perso.orange.fr
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