Title: CHAPITRE 3 OPTIMISATION
1CHAPITRE 3OPTIMISATION
- Concepts de base recherche opérationnelle
- Programmation linéaire
- Programmation en nombre entier
- Logiciel LINDO
2CONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- Définitions
- Origines
- Applications
- Méthodes
- Modèles
3RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- DÉFINITIONS
- Application de méthodes, techniques, instruments
scientifiques pour modéliser et résoudre les
problèmes dans tous les domaines - Application de la méthode scientifique pour
modeler et résoudre les problèmes dans tous les
domaines - Art de donner des mauvaises réponses à des
problèmes auxquels autrement de pires réponses
seraient données
4RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- ORIGINES
- Développement durant la seconde guerre mondiale
- applications aux opérations militaires
- répartition des troupes, du matériel, des
ressources - approvisionnement en vivres, en pièces, en
armement - Scientifiques et ingénieurs applications civiles
- programmation linéaire (1ère publication en 1939)
- développement du simplexe par G. Dantzig (1947)
- développement des techniques classiques en
programmation linéaire, non-linéaire, dynamique,
théorie des files dattente, etc. - ralentissement des recherches généré par le
manque doutils de calcul
5RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- APPLICATIONS
- Applications aux problèmes réels de grande
envergure - arrivée des processeurs rapides
- développement des bases de données
- techniques d optimisation appliquées à de
nombreux domaines - Domaines dutilisation
- militaire
- transport
- aéroport
- route, trajet, livraison
- horaire
- contrôle des réseaux
- infrastructures, distribution
- etc.
6RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- 2 importants centres de recherche à Montréal
- CRT Centre de Recherche sur les Transports
- GÉRAD Groupe dÉtude et de Recherche en Analyse
des Décisions
7RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- CONCEPT DE SYSTÈME
- Système
- Agrégat ou assemblage dobjets joints par des
interactions ou interdépendances régulières - Activité
- Processus qui crée un changement de létat du
système - Entité
- Objet dintérêt dans un système
- Attribut
- Propriétés relatives à une entité
8RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- EXEMPLE DE SYSTÈME
- SYSTÈME ACTIVITÉ ENTITÉ ATTRIBUT
- circulation mouvements véhicules vitesse
- trajets routes distances
- banque dépôts clients état de crédit
- communications transmission message priorité
9RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- MÉTHODES
- Techniques mathématiques
- Techniques statistiques
- Modèles de gestion des stocks
- Modèles daffectation
- Modèles de programmation dynamique
- Modèles de files dattente
- Modèles séquentiels
- Modèles de remplacement
- Modèles de compétition
- Techniques de simulation
- Méthodes heuristiques
10RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- MODÈLE
- Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée
pour représenter les propriétés fondamentales
dun certain phénomène - Problèmes de gestion souvent complexes
- Nécessité fréquente dignorer certains paramètres
pour tirer une version idéale, épurée cest un
modèle
11RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- CLASSIFICATION DES MODÈLES
- Modèles physiques
- Modèles iconiques
- Pour visualiser une solution pratique
- Modèles réduits, maquettes
- Modèles analogiques
- Phénomène quon étudie pour représenter un autre
- Analogie électrique en hydraulique
- Modèles symboliques
- Modèles mathématiques
- Déterministiques
- Probabilistes ou stochastiques
- Modèles verbaux
12RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- Modèles mathématiques
- Modèles déterministiques
- Incertitude négligeable
- Résultats du phénomène prévu avec certitude
- Modèles probabilistes ou stochastiques
- Incertitude considérée comme facteur important du
phénomène ou système analysé - Classe de modèles déterministiques
- Modèles de programmation linéaire
- Équations ou inéquations du premier degré
représentant les contraintes du problème - Fonction économique qui traduit lobjectif de
lentreprise
13RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- Méthode scientifique
- Expériences vécues
- Critères qui permettent de juger si le problème
est résolu - Principaux aspects de la réalité
- Paramètres du modèle
- Méthodes appropriées
- Conclusions obtenues versus opinions des
personnes - Implantation de la décision
14RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
- Formulation du modèle mathématique
- Définir le problème
- Quelle est la nature exacte du problème?
- Quel est lobjectif recherché?
- Quelles sont les conditions dopération?
- Quels sont les paramètres à considérer? Quelle
influence? - Quel est le degré de précision requis?
15PROGRAMME LINÉAIRE
- PL
- problème doptimisation consistant à
- maximiser (ou minimiser) une fonction objectif
linéaire - de n variables de décision
- soumises à un ensemble de contraintes exprimées
sous forme déquations ou dinéquations linéaires - La terminologie est due à George B. Dantzig,
inventeur de lalgorithme du simplexe (1947)
16PROGRAMMATION LINÉAIRE
- Hypothèses
- La linéarité des contraintes et de la fonction
objectif - La proportionnalité des gains/coûts et des
consommation de ressources - La divisibilité des variables
- Le déterminisme des données
- Lors de la modélisation d'un problème réel,
l'impact de ces hypothèses sur la validité du
modèle mathématique doit être étudié - Cette analyse peut mener à choisir un modèle
différent (non linéaire, stochastique, ...) et
est essentielle pour la phase d'interprétation
des résultats fournis par le modèle
17MISE EN FORME MATHÉMATIQUE
- Définir les variables de décision
- ensemble des variables qui régissent la situation
à modéliser - variables réelles, entières, binaires
- Préciser la fonction objectif
- fonction mathématique composée des variables de
décision qui représente le modèle physique
modélisé - fonction linéaire, non-linéaire
- Préciser les contraintes du problème
- ensemble des paramètres qui limitent le modèle
réalisable - équations ou inéquations composées des variables
de décision - Préciser les paramètres du modèle
- constantes associées aux contraintes et à la
fonction objective
18PROGRAMMATION LINÉAIRE
- Validation du modèle et des résultats
- Sassurer
- que le modèle développé est conforme à la réalité
- que les résultats sont valides dans toutes les
conditions - Conception du système dapplication
- Possibilité dutiliser des logiciels spécialisés
- Implantation
19FORMULATION MATHÉMATIQUE DUN PROGRAMME LINÉAIRE
- FONCTION OBJECTIF
- Maximiser ou minimiser
- z c1x1 c2x2 c3x3 cnxn
- Contraintes
- a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn (?, , ?) b1
- a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn (?, , ?) b2
- am1x1 am2x2 am3x3 amnxn (?, , ?) bm
- Contraintes de non-négativité
- xj ? 0 j 1, 2, 3, n
- avec
- xj variables de décision (inconnues)
- aij, bi, cj paramètres du programme linéaire
20TERMINOLOGIE DU MODÈLE
- Activités
- Ensemble des actes et opérations à effectuer
- j 1,n activités
- Ressources
- Moyens disponibles pour effectuer les activités
- bi, i 1,m ressources
- Quantité requise de ressource
- Quantité unitaire de ressources consommées pour
chaque activité aij - Niveau activation
- Quantité de ressources affectée à une activité
- xj niveau dactivation de lactivité j
- Coût ou profit
- Mesure de performance de lallocation des
ressources aux activités cj
21TERMINOLOGIE DE LA SOLUTION
- Solution réalisable
- Solution où toutes les contraintes du modèle sont
satisfaites - Zone de solution
- Ensemble de toutes les solutions réalisables
- Solution optimale
- Solution réalisable où la fonction objectif
atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum - Plusieurs solutions optimales possibles
22EXEMPLE PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES
- Vous disposez de
- 8 kg de pommes
- 2,5 kg de pâte
- 6 plaques
- pour confectionner des chaussons et des tartes
- Pour faire un chausson, il vous faut
- 150 g de pommes
- et 75 g de pâte
- Chaque chausson est vendu 3
- Pour faire une tarte, il vous faut
- 1 kg de pommes
- 200 g de pâte
- et 1 plaque
- Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues
chacune 2 - Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre
d'affaires de la vente ?
23PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES
- Définissons 2 variables de décision
- x1 le nombre de chaussons confectionnés
- x2 le nombre de tartes confectionnées
- Le chiffre daffaires associé à une production
(x1 x2) est - z 3x1 (6 x 2)x2 3x1 12x2
- Il ne faut pas utiliser plus de ressources que
disponibles - 150x1 1000x2 ? 8000 (pommes)
- 75x1 200x2 ? 2500 (pâte)
- x2 ? 6 (plaques)
- On ne peut pas cuisiner des quantités négatives
- x1 et x2 ? 0
24MODÈLE PROBLÈMED'ALLOCATION DE RESSOURCES
- Pour maximiser le chiffre daffaires de la vente,
il faut déterminer les nombres x1 et x2 de
chaussons et de tartes a cuisiner, solution du
problème - Max z 3x1 12x2
- Sujet à
- 150x1 1000x2 ? 8000
- 75x1 200x2 ? 2500
- x2 ? 6
- x1 x2 ? 0
- En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2
de ne prendre que des valeurs entières
25EXEMPLE PROBLÈME DE RECOUVREMENT
- DONNÉES Les demandes journalières en chauffeurs
dans une entreprise de transport - Lu Ma Me Je Ve Sa Di
- 13 18 21 16 12 25 9
- Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée (et
peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de
congé n'importe quand dans la semaine) - OBJECTIFS Déterminer les effectifs formant les
7 équipes possibles de chauffeurs de manière à - couvrir tous les besoins
- engager un nombre minimum de chauffeurs
26PROBLÈME DE RECOUVREMENTMODÉLISATION
- Variables de décision On associe une variable
de décision à chacune des 7 équipes possibles - x1 nombre de chauffeurs dans léquipe du lundi
(repos le samedi et le dimanche), - x2 nombre de chauffeurs dans léquipe du mardi,
... - x7 nombre de chauffeurs dans léquipe du
dimanche. - Fonction objectif On veut minimiser le nombre
total de chauffeurs engagés - z x1 x7
27PROBLÈME DE RECOUVREMENTCONTRAINTES
- Contraintes Le nombre de chauffeurs présents
chaque jour doit être suffisant - x1 x4 x5 x6 x7 ? 13 (lundi)
- x1 x2 x5 x6 x7 ? 18 (mardi)
-
- x3 x4 x5 x6 x7 ? 9
(dimanche) - Contraintes de bornes Le nombre de chauffeurs
dans chaque équipe doit non seulement être non
négatif mais également entier - xi ? 0 et entier i 1 7
28PROBLÈME DE RECOUVREMENT FORMULATION
- Min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
- Sujet à
- x1 x4 x5 x6 x7 ? 13
- x1 x2 x5 x6 x7 ? 18
- x1 x2 x3 x6 x7 ? 21
- x1 x2 x3 x4 x7 ? 16
- x1 x2 x3 x4 x5 ?
12 - x2 x3 x4 x5 x6 ? 25
- x3 x4 x5 x6 x7 ? 9
- x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ? 0 entiers
- Ce problème n'est pas un PL mais un programme
linéaire en nombres entiers (PLNE)
29MODÉLISATION
- Exemple production de portes et fenêtres
- 3 usines
- 1 cadres d aluminium
- 2 cadres de bois
- 3 vitres et assemblages des produits
- 2 produits
- A portes vitrées avec cadrage d aluminium
- B fenêtres avec cadrage en bois
- demande illimitée pour les produits
- profits par lot A 3000 B 5000
- temps de production pour chaque lot produit par
heure - 1 A 1 B 0
- 2 A 0 B 2
- 3 A 3 B 2
- temps de production disponible par semaine
- 1 4 2 12 3 18
30FORMULATION DU PROBLÈME
- PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES
- Temps de production
- Usine 1 2 Temps disponible par semaine
- 1 1 0 4
- 2 0 2 12
- 3 3 2 18
- Profit 3000 5000
31FORMULATION DU PROBLÈME
- Objectif
- Maximiser les profits
- Variables de décision
- x1 quantité du produit A fabriquée
- x2 quantité du produit B fabriquée
- Fonction objectif
- MAXIMISER z 3x1 5x2
- Contraintes
- usine 1 1x1 0x2 ? 4
- usine 2 0x1 2x2 ? 12
- usine 3 3x1 2x2 ? 18
- Contraintes de non-négativité
- x1 ? 0
- x2 ? 0
32PROGRAMMATION LINÉAIRE
- Résolution selon les techniques appropriées
- Exemple
- MAXIMISER z 3x1 5x2
- SUJET À
- x1 ? 4
- 2x2 ? 12
- 3x1 2x2 ? 18
- x1 ? 0 x2 ? 0
- Solutions optimales
- programmation linéaire simplexe
- programmation en nombre entier branch-and-bound
- programmation dynamique
- Solutions sous-optimales heuristiques
33ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE
- Zone limitée par lensemble des équations de
contraintes du problème et par les limites des
variables de décision
x2
8
6
4
2
x1
0
2
4
6
8
10
34FONCTION OBJECTIVE
- Déplacement de la fonction objective à
lintérieur de la zone de solution réalisable
pour atteindre un extremum
x2
8
Solution x1 2 x2 6 z 36
(2,6)
6
4
2
x1
0
2
4
6
8
10
35PROGRAMMATION LINÉAIRE
- PHASES DUNE ÉTUDE DE R.O.
- Formulation du problème
- Construction du modèle mathématique
- Identification des variables associées au
problème - Formulation des contraintes qui délimitent les
valeurs que peuvent prendre les variables - Formulation de la mesure defficacité associée
aux variables (fonction linéaire dite fonction
objectif) - Obtention dune solution optimale à partir du
modèle - Vérification du modèle et de la solution
- Établissement de contrôles sur la solution
- Mise en œuvre de la solution
36RÉSULTAT DUNEOPTIMISATION LINÉAIRE
- Le domaine admissible dun PL peut être
- vide dans un tel cas, le problème est sans
solution admissible (pas de solution optimale) - borné (et non vide) le problème possède
toujours au moins une solution optimale - non borné dans ce cas, selon la fonction
objectif - le problème peut posséder des solutions optimales
- il peut exister des solutions admissibles de
valeur arbitrairement grande (ou petite) - dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution
optimale finie et est dit non borné
37FORMULATION DU PROBLÈME
- PROGRAMMATION LINÉAIRE
- Ressources par activité
- Activités
- Ressources 1 2 n Ressource disponible
- 1 a11 a12 a1n b1
- 2 a21 a22 a2n b2
- . .
- m am1 am2 amn bm
- Contribution c1 c2 cn
38PROBLÈME DE MAXIMISATION
- Maximiser
- Z x1 2x2
- Sujet à
- 2x1 x2 ? 4
- x1 x2 ? 8
- -x1 x2 ? 4
- x1 ? 5
- x1 ? 0, x2 ? 0
39PROBLÈME DE MAXIMISATION
x2
X1 2 X2 6 Z 14
-x1 x2 4
8
6
x1 5
4
x1 x2 8
2
2x1 x2 4
x1
0
2
4
6
8
10
40PROBLÈME DE MINIMISATION
- Minimiser
- Z x1 - x2
- Sujet à
- ½x1 x2 ? 8
- -x1 8x2 ? 40
- x1 ? 8
- x2 ? 8
- x1 ? 0, x2 ? 0
41PROBLÈME DE MINIMISATION
X1 8 X2 6 Z 2
x2
x2 8
8
6
-x1 8x2 40
4
x1 8
2
½x1 x2 8
0
2
4
6
8
10
x1
12
14
16
18
20
42MÉTHODE DU SIMPLEXE
- INTRODUCTION
- développée initialement par George Dantzig en
1947 - seule méthode exacte pour solutionner des
problèmes linéaires de grande taille - méthode itérative algébrique où lon circule
séquentiellement sur les sommets à lintérieur de
la zone de solution jusquà lobtention de la
solution optimale
43PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE
- Zone de solution du problème linéaire toujours
convexe - une surface est convexe si elle est située toute
entière du même coté d un plan tangent - Sil existe une seule solution optimale au
problème linéaire, elle est obligatoirement
localisée sur un sommet de la zone de solution - Sil existe de multiples solutions optimales, au
moins deux dentre elles doivent être localisées
sur des sommets adjacents - Le nombre de sommets de la zone de solution est
fini - Si la solution réalisable localisée à un sommet
donné na pas de voisin adjacent dont la solution
est supérieure, ce sommet est la solution optimale
44ALGORITHME DU SIMPLEXE
- Déterminer une solution de base réalisable
- Vérifier si la solution actuelle est optimale
- Déterminer la variable hors base qui va devenir
variable de base - Déterminer la variable de base qui sortira de la
solution - Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon
la technique de Gauss-Jordan
45ALGORITHME DU SIMPLEXE
46MÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONS
- Systèmes déquations équivalents
- Systèmes qui possèdent le même ensemble de
solutions - Variable de base
- Variable qui a un coefficient unitaire positif
dans une des équations du système et un
coefficient nul partout ailleurs - Opérations pivot
- Opération de Gauss-Jordan pour transformer un
système déquations équivalent dans lequel une
variable devient de base - Système canonique
- Système déquations où il y a une variable de
base par équation - Solution de base
- Système déquations où les variables hors base
sont fixées à zéro résolu pour les variables de
base
47FORME CANONIQUE
- PROBLÈME DE MAXIMISATION
- PROBLÈME DE MINIMISATION
48FORME NORMALISÉE
- PROBLÈME DE MAXIMISATION
- PROBLÈME DE MINIMISATION
49MÉTHODE DU SIMPLEXE
- FORME CANONIQUE
- Max Z 3 x1 5 x2
- sujet à
- x1 ? 4
- 2 x2 ? 12
- 3 x1 2 x2 ?18
- et
- x1 ? 0, x2 ? 0
50MÉTHODE DU SIMPLEXE
- FORME NORMALISÉE
- Max Z
- Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
- x1 x3 4 (1)
- 2 x2 x4 12 (2)
- 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
- avec
- xj ? 0, pour j 1, 2, 3, 4, 5
51MÉTHODE DU SIMPLEXE
- ÉTAPE DINITIALISATION
- Déterminer une solution de base réalisable
- Porter les variables hors base à zéro
- Solutionner les variables de base
- Exemple
- z, x3, x4 et x5 sont les variables de base
- x1 et x2 sont les variables hors base
- On obtient
- x1 0 et x2 0
- x3 4, x4 12 et x5 18
- z 0
52MÉTHODE DU SIMPLEXE
- VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE
- Variable hors base entrant dans la base
- Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur
de la fonction objective le plus rapidement
possible - Variable ayant le plus grand coefficient négatif
(cas de maximisation)de léquation (0) - Exemple
- X2 devient variable de base
53MÉTHODE DU SIMPLEXE
- VARIABLE SORTANT DE LA BASE
- Variable qui limitera le plus rapidement la
progression de la nouvelle variable de base - Exemple
- si x2 entre dans la base
- équation (2)
- 2 x2 x4 12
- x2 max 6
- équation (3)
- 3 x1 2 x2 x5 18
- x2 max 9
- limite maximale de x2 égale 6 sinon x4 devient
négatif
54MÉTHODE DU SIMPLEXE
- OPÉRATIONS PIVOT
- Système déquations original (variables de base
en gras) - Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
- x1 x3 4 (1)
- 2 x2 x4 12 (2)
- 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
- Pour revenir à la forme canonique, il faut que
les variables de base aient un coefficient
unitaire dans une équation et nul dans les autres - Équation (2) multipliée par ½
- 2 x2/2 x4/2 12 /2 (2)
- x2 ½ x4 6 (2)
- Il faut éliminer les termes x2 des autres
équations
55MÉTHODE DU SIMPLEXE
- OPÉRATIONS PIVOT (suite)
- Équation (0) ancienne (0) 5 équation (2)
- Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
- 5 x2 5/2 x4 30 (2)
- Z - 3 x1 5/2 x4 30 (0)
- Équation (3) ancienne (3) 2 équation (2)
- 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
- - 2 x2 - x4 -12 (2)
- 3 x1 - x4 x5 6 (3)
56MÉTHODE DU SIMPLEXE
- OPÉRATIONS PIVOT (suite)
- Nouveau système équivalent déquations
- Z - 3 x1 - 5/2 x4 30 (0)
- x1 x3 4 (1)
- x2 ½ x4 6 (2)
- 3 x1 - x4 x5 6 (3)
57MÉTHODE DU SIMPLEXE
- CRITÈRE DOPTIMALITÉ
- Optimalité assurée lorsquil est impossible de
faire augmenter (cas de maximisation) la valeur
de z - Exemple
- x1 peut faire augmenter z
- Variable entrante x1
- Variable sortante x5
- équation (1)
- x1 x3 4
- x1 max 4
- équation (3)
- 3 x1 x4 x5 6
- x1 max 2
58MÉTHODE DU SIMPLEXE
- SOLUTION OPTIMALE
- Système équivalent déquations
- Z 3/2 x4 x5 36 (0)
- x3 1/3 x4 - 1/3 x5 2 (1)
- x2 ½ x4 6 (2)
- x1 - 1/3 x4 1/3 x5 2 (3)
- Variables hors base
- x4 0, x5 0
- Variables de base
- x1 2, x2 6, x3 2
- Fonction objective
- z 36
59SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
- Méthode essentiellement identique
- Informations
- Coefficients des variables
- Constantes des équations
- Variables de base de chaque équation
60SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
- Initialisation
- Critère doptimalité
- Coefficients de léquation (0) non négatifs ?
- Itération 1
- Variable entrante x2
- Entourer la colonne pivot
- Variable sortante x4
- Entourer la ligne pivot
- Point pivot à lintersection
- Transformation de Gauss-Jordan
61SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
- Itération 1 (suite)
- Diviser la ligne pivot par le nombre pivot
62SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
- Itération 1 (suite)
- Appliquer les transformations
- Nouvelle solution
- z 30
- Solution (0, 6, 4, 0, 6)
63SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
- Itération 2
- Solution
- (2, 6, 2, 0, 0)
- z 36
64SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
65SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
66SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
67SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
68SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
- Itération 0
- X2 entre
- X4 sort
69SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
- Itération 1
- X1 entre
- X5 sort
70SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE
71RÉSOLUTION AVECMICROSOFT EXCEL
72RÉSOLUTION AVEC LINDO
73MÉTHODE DU SIMPLEXE
- SITUATIONS PARTICULIÈRES
- Égalité des profits relatifs
- Choix aléatoire de la variable
- Égalité des ratios
- Choix aléatoire
- Situation de dégénérescence remonter à létape
des ratios identiques - Solution non bornée
- En pratique, une contrainte est absente
- Solutions multiples
- Variables hors base avec des coefficients nuls
dans la fonction objective
74MÉTHODE DU SIMPLEXE
- VARIABLES ARTIFICIELLES
- Cas ?
- ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn ? bi
- Ajout dune variable décart
- ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn xm bi
- Coefficient de la variable décart négatif ne
peut servir comme variable de base - Ajout dune variable artificielle
- ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn xm xa
bi
75MÉTHODE DU SIMPLEXE
- VARIABLES ARTIFICIELLES
- Cas
- Lajout dune variable artificielle permet
linsertion dune variable de base dans la
solution de départ - Les variables artificielles sont éliminées de la
solution en leur assignant une pénalité
importante dans la fonction objective - RÉSOLUTION
- Méthode du grand M
- Méthode des deux phases
76DUALITÉ
- PROBLÈME PRIMAL PROBLÈME DUAL
77EXEMPLE DE DUALITÉ
- Le problème dual du programme
- Max z x1 4x2
- Sujet à
- x1 x2 ? 2
- 2x1 x2 ? 5
- x2 ? 3
- x1, x2 ? 0
- est Min w 2y1 5y2 3y3
- Sujet à
- y1 2y2 ? 1
- -y1 y2 y3 ? 4
- y1, y2 , y3 ? 0
78DUALITÉ
79EXERCICE
- Utiliser la méthode du simplexe
- Max Z 4 x1 3 x2 6 x3
- Sujet à
- 3 x1 x2 3 x3 ? 30
- 2 x1 2 x2 3 x3 ? 40
- et
- x1 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0
80PROBLÈME DE TRANSPORT
- EXEMPLE
- Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4
parcs - Capacité de production des serres C1, C2 et C3
- Demande hebdomadaire D1, D2 et D3
- Coût unitaire de transport Cij
81PROBLÈME DE TRANSPORT
82EXERCICE
- 3 serres
- S1 3
- S2 7
- S3 5
- 4 parcs
- P1 4
- P2 3
- P3 4
- P4 4
- Coûts dexpédition
83EXERCICE
- 4 usines et 3 centres de distribution
Distribution Usines M1 M2 M3 Disponibilité
W1 4 3 7 140
W2 5 2 10 100
W3 13 8 17 60
W4 9 3 11 40
Demande 120 20 200
84PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
- Max Z 10 x1 50 x2
- Sujet à
- -x1 2 x2 ? 5
- x1 2 x2 ? 14
- x1 ? 8
- et
- x1 ? 0, x2 ? 0
- x1, x2 entiers
85PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
86PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
87PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
- Méthode de séparation et dévaluation progressive
(Branch-and-Bound Technique) - Choix de la variable de séparation
- Critère de la variable la plus distante
- Critère du meilleur cj
88Critère de la variable la plus distante Séparation
selon x1
89Critère de la variable la plus distante Séparation
à partir de P2
90Critère de la variable la plus distante Séparation
à partir de P1
91Critère du meilleur cj
92PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
93(No Transcript)