NUMERATION au CYCLE II : quelques questions d

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NUMERATION au CYCLE II quelques questions
denseignement.

• Quelle  construction  du nombre à deux moments
  charnières de la scolarité ?
• Articulation GS ? CP le nombre au service de la
  résolution de problèmes (dimension OUTIL).
• Articulation cycle II ? cycle III, et plus idem
  ci-dessus ET dimension OBJET pour construction de
  nouvelles connaissances.
• Quelques précisions du côté des mathématiciens.
• Paradoxalement, les mathématiciens ne définissent
  pas le concept de nombre en toute généralité.
•  Notion fondamentale des mathématiques qui
  permet de dénombrer, de classer les objets ou de
  mesurer les grandeurs MAIS qui ne peut pas faire
  lobjet dune définition stricte . Larousse
  (Dictionnaire Encyclopédique).
• Par contre, les mathématiciens définissent avec
  rigueur et précision les nombres entiers
  naturels, les nombres décimaux, , les nombres
  réels, les nombres complexes,

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• Les situations où interviennent les nombres
  (dans une dialectique OUTIL pour agir sur le
   monde  et OBJET détude pour lui-même).
• La désignation, le rangement, la quantification
  et le calcul.
• La désignation ou le  codage . On utilise le
  nombre comme une étiquette ou comme un nom.
  Exemple  le TGV 2718 relie Paris à Vendôme (en
  42 minutes !) . Ce  nombre , quon lit comme
  on veut, ne désigne aucune quantité.
• Le rangement. Dans une activité de rangement, le
  nombre permet de repérer les objets désignés les
  uns par rapport aux autres. Exemple en GS, un
  enfant apprend que le 12 avril précède le 15
  avril (Vacances !) grâce aux  routines du
  matin  en plus du fait que ces activités
  rituelles participent à la structuration du temps
  (hier, aujourdhui, demain) et participent à un
   travail  sur lordre des nombres.

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• La quantification. Cela consiste à répondre à la
  question  COMBIEN ?. De façon plus formelle,
  les mathématiciens distinguent le dénombrement de
  la mesure suivant que les éléments dune
  collection à  évaluer  se comptent  un à un 
  ou pas. Exemple si on veut compter le nombre
  de marches qui amènent en haut de la Tour Eiffel,
  on fait du dénombrement. Par contre, si on veut
  connaître la hauteur de cette tour, avec une
  unité de longueur, les nombres entiers ne
  suffisent plus il sagit ici dune mesure.
  Cependant, on travaille dès la maternelle une
  propriété fondamentale du nombre qui  lie 
  quantification et rangement le 12è jour du mois
  davril est aussi le jour où 12 jours du mois
  davril se sont écoulés (à la fin de ce 12è jour
  !). De fait, on ne confond pas  12 jours  et
   12 avril . La tâche où lenseignant apprend à
  lélève quune collection contient n objets si le
  dernier nombre prononcé est n est une tâche
  emblématique de la maternelle.

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• Le CALCUL et les OPERATIONS. Il sagit ici de
  comparer deux grandeurs, dévaluer la variation
  dune grandeur, de déterminer le  bilan  dune
  composition de plusieurs grandeurs ou de
  plusieurs variations.
• (Voir les travaux de G. Vergnaud).
• Qui dit  CALCUL  dit  calcul posé, calcul
  mental et calcul instrumenté .

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• Une fois quon a un système de numération
   sûr , quelles questions se poser ? (Un axiome
  penser lapprentissage sur le long terme).
• Trois aspects sont incontournables pour donner du
  sens à la construction du nombre en tant quOBJET
  dans les situations denseignement-apprentissage,
  à tous les niveaux de classe
• Aspect  algorithmique .
• Aspect  groupements  ou  paquets .
• Aspect  échanges .

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• Aspect  algorithmique .
• Du côté des textes officiels, quelques extraits.
•  Rien ne justifie une étude des nombres un par
  un .
•  Les premières situations doivent demblée se
  situer dans un domaine relativement étendu .
•  On acceptera donc de travailler avec des
  nombres que lenfant ne sait pas encore lire .
• Type de tâches à explorer et compétences à
  construire
• Produire des suites orales ou écrites.
• Comparer des nombres, ranger des nombres.
• Ecrire des encadrements.
• Situer des nombres sur un axe gradué (précisément
  ou approximativement).

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• Aspect  groupements  ou  paquets .
•  Type de tâches et compétences à développer
• Donner du sens aux notions de  chiffre de  et
   nombre de .
• Faciliter laccès aux décompositions variées par
  rapport à la base 10.
• Donner diverses décompositions dun nombre en
  utilisant 10, 100, 1000.
• Retrouver rapidement lécriture chiffrée dun
  nombre à partir de sa décomposition canonique,
  mais aussi à partir de toute autre décomposition
  (indépendamment du  mode  décriture).

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• Aspect  échanges .
• Type de tâches et compétences à développer.
• Etablir, voire  démontrer , quune unité de
  rang n vaut dix unités de rang (n ? 1).
• Donner du sens au rôle de chaque chiffre dans le
  nombre (écrit).
• Dissocier  valeur  et  quantité .
• Réinvestir la règle de léchange du  dix contre
  un  dans les techniques opératoires et dans la
  conceptualisation de nouveaux nombres (Nombres
  décimaux, en particulier).

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• Nombre et Numération à larticulation GS ? CP.
• Une question comment et pourquoi introduire
  lécrit ?
• Les compétences acquises par lenfant en entrant
  au CP sont essentiellement orales elles sont
  activées au cycle I, puis développées et exercées
  au cycle II, avec lidée de donner du sens à
  lécrit.
• Une réponse sappuyer sur les différentes
  fonctions de lécrit et encore une fois,
  sinscrire dans un rapport dialectique  oral ?
  écrit .
• Lécrit mémoire pour soi et mémoire pour les
  autres.
• Lécrit nouveau vecteur de la communication.
• Lécrit support du raisonnement.

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• NUMERATION ORALE
• Système de numération hybride qui garde la trace
  de lHistoire.
• Quelques principes
• Pas uniquement des  paquets de dix . Présence
  de multiples ET de puissances de dix.
• Juxtaposition de  mots-nombres  pour former des
  noms de nombre.
• Cette juxtaposition des  mots-nombres  possède
  en plus une valeur opératoire.
• Le problème du  zéro  qui nest pas dit
  lorsquon énonce certains nombres.
• NUMERATION ECRITE
• En particulier, à lécrit, le système est
   parfait .

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• ANALYSE des liens ORAL ? ECRIT.
• A priori, ces deux systèmes vivent
  indépendamment, presque comme deux  langues
  vivantes .
• On a donc affaire à une situation de  thème  ou
  de  version  si on veut  passer  dun système
  à un autre. On cherche alors à traduire. En
  particulier, les tâches liées à cette traduction
  ne relève pas dune simple  lecture / dictée 
  ou inversement.
• Le décalage  ORAL ? ECRIT  est donc important
  et il a tendance à sinverser au cours du cycle
  II.
• Exemples
• En début de cycle II, la suite orale est mieux
  connue que la suite chiffrée (on  va  jusquà
  30 à loral, et beaucoup moins à lécrit, 10 ?).
• En fin de CP, la suite chiffrée est plutôt bien
  connue jusquà 100, alors que la comptine orale
  est délicate au dessus de 69.
• En fin de cycle II,  omniprésence  de lécrit
  par rapport à loral. Point faible de
  lenseignement. (Document daccompagnement
  LIRE, PARLER, ECRIRE en MATHEMATIQUES).