Apresenta

1
Pós
GRADUAÇÃO
MÉTODOS QUANTITATIVOS submódulo 2 - ESTATÍSTICA
Gestão inovadora da empresa gráfica
2
Programa
Aula 1 26 de agosto recordação de
probabilidade e estatística básica conceitos
gerais de amostragem Aula 2 2 de setembro
amostragem aleatória simples (AAS) e amostragem
estratificada (AE) Aula 3 16 de setembro
Estimadores do tipo razão e do tipo
regressão Aula 4 interpretação da norma NBR5426
planos de amostragem e procedimentos na
inspeção por atributos Aula 5 exercícios
práticos com aplicação da NBR5426 na empresa
gráfica
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA GRÁFICA PÓS
GRADUAÇÃO GESTÃO INOVADORA DA EMPRESA GRÁFICA
SENAI - SP
3
Exercícios de probabilidade

• 1. Jogando-se três dados, calcular a
  probabilidade de que a soma dos pontos obtidos
  seja superior a 14.

4
Solução

• Número de resultados do espaço amostral Sn 6
  3 216
• Cada um dos 216 resultados de S tem a mesma
  probabilidade 1/216.
• Resultados favoráveis ao evento E (m)m20
• P(E) m/n 20/2160,0926

5
Exercícios de probabilidade

• 2. Seja um baralho comum de 52 cartas.
• Qual é a probabilidade de uma carta ser de
  ouros ou de copas?

6
Solução

• E sair carta de ouros
• F sair carta de copas
• P(E ? F) P(E) P(F) ¼ ¼ 1/2

7
Exercícios de probabilidade

• 3. Seja um baralho comum de 52 cartas.
• Qual é a probabilidade da primeira carta ser de
  ouros e a segunda ser de copas, com reposição?

8
Solução

• E sair primeira carta de ouros
• F sair segunda carta de copas
• P(E n F) P(E) P(F) ¼ ¼ 1/16

9
Exercícios de probabilidade

• 4. Seja um baralho comum de 52 cartas.
• Qual é a probabilidade da primeira carta ser de
  ouros e a segunda ser de copas, sem reposição?

10
Solução

• E sair primeira carta de ouros
• F sair segunda carta de copas
• P(E n F) P(E) P(FE) ¼ 13/51 13/204

11
Exercícios de probabilidade

• 5. Seja um baralho comum de 52 cartas.
• Qual é a probabilidade da primeira carta ser de
  ouros ou a segunda ser de copas, com reposição?

12
Solução

• E sair primeira carta de ouros
• F sair segunda carta de copas
• P(E ? F) P(E) P(F) P(E n F) 7/16
• Solução alternativa pelo evento complementar P(E
  ? F) 1 P(E n F) 1 9/16

13
Exercícios de probabilidade

• 6. Seja uma urna com 7 bolas com as letras A A
  A C C R R. Extraindo-se as bolas uma por uma,
  calcular a probabilidade de obter a palavra
  CARCARÁ.

14
Solução

• Evento desejado F, intersecção dos 7 eventos
• E1 primeira bola com C
• E2 segunda bola com A
• E3 terceira bola com R
• E4 quarta bola com C
• E5 quinta bola com A
• E6 sexta bola com R
• E7 sétima bola com A

15

• P(F) P(E1) P(E2E1) P(E3E1E2) ...
• 2/7 3/6 2/5 ¼ 2/3 ½ 1 1/210

16
Exercícios de probabilidade

• 7. Seja uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas
  pretas. Extrái-se simultaneamente 3 bolas.
  Calcular a probabilidade de a) pelo menos duas
  sejam brancas.
• E saírem 3 bolas brancas
• F saírem 2 bolas brancas e uma preta.
• P(EUF) P(E) P(F)
• P(E) 3/7 . 2/6 . 1/5 1/35
• P(F) 3 (1 1/7 . 2/6 . 4/5) 12/35
• P(EUF) 1/35 12/35 13/35

17
Exercícios de probabilidade

• 7. Seja uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas
  pretas. Extrái-se simultaneamente 3 bolas.
  Calcular a probabilidade de b) pelo menos uma
  seja preta.
• G pelo menos uma ser preta.
• G nenhuma ser preta saírem 3 bolas brancas
  E
• P(G) 1 - P(G) 1 1/35 34/35

18
Exercícios de probabilidade

• 8. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a Ás. Qual é
  a probabilidade de tirar no poquer uma quadra de
  mão?

19
Exercícios de probabilidade

• 9. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a Ás. Qual é
  a probabilidade de tirar no poquer um flush
  (todas do mesmo naipe) de mão?

20
Exercícios de probabilidade

• 10. Seja um baralho de 32 cartas de 7 a Ás. Qual
  é a probabilidade de tirar no poquer um par de
  mão?

21
Aula 2 - AMOSTRAGEM

• Noções Básicas
• Procedimentos amostrais
• Objetivo obter informações sobre o todo,
  baseando-se no resultado de uma amostra
• Perigo viés de interpretação do resultado
• Adequações e inadequações de alguns protocolos de
  obtenção de amostras
• Inferência estatística obter resultados para o
  todo, baseando-se em resultados da amostra

22
Vocabulário Técnico

• Ver apêndice A (Bolfarine)
• Amostra subconjunto de uma população
• Amostragem por quotas processo de amostragem em
  que a seleção das unidades amostrais é feita em
  campo, até o número especificado em projeto para
  ser coletado em cada estrato.
• Característica de interesse (variável)
  propriedade dos elementos da população que se
  pretende conhecer.

23
Vocabulário Técnico

• Censo resultado do levantamento estatístico que
  visa a conhecer a totalidade das características
  individuais de uma população.
• População ou universo conjunto de elementos,
  cujas propriedades e investigam por meio de
  subconjuntos que lhes pertencem.
• Viés ou vício (de um estimador de um parâmetro)
  é a diferença entre o seu valor esperado e o
  valor do parâmetro.
• Sistema de referência lista ou descrição das
  unidades amostrais da população, por meio da qual
  é possível selecionar a amostra.

24
Tópicos para um levantamento amostral

• Apêndice B
• Identificação dos objetivos e populações
• Coleta das informações
• Planejamento e seleção da amostra
• Processo de coleta dos dados (em campo)
• Processamento dos dados
• Análise dos resultados (modelos estatísticos)
• Apresentação dos resultados
• Disponibilização dos dados

25
O que é uma boa amostra?

• É aquela que permite a generalização de seus
  resultados dentro dos limites aceitáveis de
  dúvidas.
• É aquela que possui um custo mínimo de
  planejamento e execução e ainda atenda ao
  objetivo no. 1

26
O tamanho da amostra e o erro do estimador

• O erro padrão do estimador decresce à medida que
  aumenta o tamanho da amostra.
• Exemplo seja um levantamento amostral cujo
  objetivo é prever qual dentre os dois únicos
  possíveis partidos terá maior porcentagem de
  votos válidos. Um dos partidos obteve 56 dos
  votos.
• Caso tenha sido usada uma amostra de 100
  eleitores intervalo de 95 de confiança
  indicaria um número entre 46 e 66
  (inconclusivo).

27
O tamanho da amostra e o erro do estimador

• Um dos partidos obteve 56 dos votos.
• Caso tenha sido usada uma amostra de 400
  eleitores intervalo de 95 de confiança
  indicaria um número entre 51 e 61 (conclusivo e
  suficiente).
• Caso tenha sido usada uma amostra de 1600
  eleitores intervalo de 95 de confiança
  indicaria um número entre 53,5 e 58,5
  (conclusivo e exagerado).

28
Viés e desvio padrão

• Seja uma população ou universo o conjunto
• u 1,2,...,N de todas as unidades elementares
  de interesse. N é o tamanho fixo da população, às
  vezes desconhecido.
• Elemento populacional é qualquer elemento
• i pertencente a u, do qual se deseja conhecer Yi

29
Parâmetro populacional

• É o vetor de todos os valores de uma variável de
  interesse que se denota por D ( Y1,...,YN)

30
Função paramétrica populacional

• É uma característica numérica qualquer da
  população, que condensa funcionalmente os Yi.
  Tal função será denotada por ?(D)

31
Exemplo 2.1 (pag. 38)
Variável Notação
Unidade 1 2 3 i
Nome do chefe Ada Beto Ema Ai
Sexo 0 1 0 Xi
Idade 20 30 40 Yi
Fumante 0 1 1 Gi
Renda bruta familiar 12 30 18 Fi
No. de trabalhadores 1 3 2 Ti
32
Funções paramétricas populacionais

• Idade média?(Y) (203040)/3 30
• Renda média do trabalhador ?(D)
  (123018)/(132) 10

33
Funções paramétricas populacionais mais usadas

• Média populacional?(Y) µ (Y1 Y2...YN)/N
• Variância populacional ?(Y) s2 S(Yi
  µ)2/N
• Desvio padrão s

34
Exercício

• Determinar a média e o desvio padrão das idades
  dos habitantes de um determinado bairro. Os
  valores estão apresentados à direita

45 54 23 35 46 67 37
19 66 43 22 76 44 19
33 41 60 81 47 39 47
56 20 29 31 40 19 22
24 33 80 76 34 67 70
39 79 21 32 33 55 50
29 40 38 44 22 78 22
35
Amostras

• Uma seqüência qualquer de n unidade de u é
  denominada uma amostra ordenada de u.
• Exemplo
• u 1,2,3
• s1 (1,2) s2 (2,1) s3 (1,1,3)

36
Planejamento amostral

• Se cada amostra tem associada a si uma
  probabilidade de ser sorteada e a soma de todas
  as probabilidades for igual a 1, então tem-se um
  planejamento amostral ordenado.
• Exemplo u 1,2,3
• Plano A P(11) P(12) P(13) 1/9
• P(21) P(22) P(23) 1/9
• P(31) P(32) P(33) 1/9
• P(s) 0, para as demais s pertencentes ao
  conjunto de todas as amostras possíveis S.

37
Planejamento amostral

• Plano B P(12) P(13) P(21) P(23) P(31)
  P(32) 1/6 P(s) 0, para as demais s
  pertencentes ao conjunto de todas as amostras
  possíveis S.
• Diferença entre o plano A e o plano B
• Plano A com reposição
• Plano B sem reposição

38
Planejamento amostral

• Plano C
• P(2) 1/3
• P(12) P(32) 1/9
• P(112) P(132) P(332) P(312) 1/27
• P(111) P(113) P(131) P(311) 1/27
• P(133) P(313) P(331) P(333) 1/27
• P(s) 0, para as demais s pertencentes ao
  conjunto de todas as amostras possíveis S.

39
Descrição textual do Plano C

• Plano C
• Sorteie uma unidade após a outra, repondo a
  unidade sorteada antes de sortear a seguinte, até
  o surgimento da unidade 2 (i2) ou até que 3
  unidades tenham sido sorteadas.

40
Planos equiprobabilísticos

• São os planos em que todas as amostras têm a
  mesma probabilidade de ser escolhida.

41
Amostragem Aleatória Simples (AAS)

• Seleciona-se seqüencialmente cada unidade
  amostral com igual probabilidade, de tal forma
  que cada amostra tenha a mesma chance de ser
  escolhida. A seleção pode ser feita com ou sem
  reposição.

42
Estimadores

• O objetivo principal da amostragem é produzir
  estimadores para parâmetros populacionais
  desconhecidos.
• Quando se associa uma estatística com a expressão
  que irá estimar o parâmetro populacional, ele
  recebe o nome de estimador. O valor numérico do
  estimador, para cada amostra, chama-se estimativa.

43
Viés ou vício do estimador

• BA?e EA?e ?
• B de bias (viés em inglês)

44
Variância de uma estatística H

• Var AH S h(ds) EAH2 PA(s) para todas as
  amostras do plano A.

45
Distribuição binomial

• Seja p a probabilidade de um evento acontecer em
  uma tentativa única (probabilidade de sucesso)
• q 1 p é a probabilidade insucesso
• A probabilidade do evento ocorrer X vezes, em N
  tentativas, é
• p(X) NCXpXqN-X N!/X!(N-X)! pXqN-X
• Exemplo Qual é a probabilidade de obter
  exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda
  não-viciada?

46
Distribuição binomial

• Esta distribuição discreta de probabilidade é
  denominada distribuição binomial, visto que a X
  0, 1, 2, ..., N correspondem os termos sucessivos
  da fórmula binomial ou do desenvolvimento
  binomial
• (pq)n qN NC1qN-1p1 NC2qN-2p2 ...pN
• em que 1, NC1, NC2,... são os coeficientes
  binomiais

47
Propriedades da distribuição binomial
Média µ N p
Variância s2 N p q
Desvio padrão s raiz (N p q)
48
Distribuição de Poisson

• p(X) ?X e-?/X!
• em que e 2,71828...
• e ? é uma constante dada
• Média µ ?
• Variância s2 ?

49
Relação entre as distribuições binomial e de
Poisson

• Se N for grande e p for pequeno, o evento é raro.
  Na prática
• N50 e Nplt5, então o evento é raro.
• Neste caso, a distribuição binomial é muito
  aproximada da de Poisson, com ? Np

50
Exercício

• Dez por cento das revistas produzidas por um
  certo processo revelaram-se defeituosos.
  Determinar a probabilidade de em uma amostra de
  10 ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente
  duas serem defeituosas, mediante o emprego
• da distribuição binomial
• da aproximação de Poisson para essa distribuição

51
Exercício - resolução

• Probabilidade de uma revista ser defeituosa
• p 0,1
• Pr2 revistas defeituosas em 10 10C2p2q8
  10!/(2!8!) (0,1)2 (0,9)8 0,1937
• ? Np 10 (0,1) 1 Pr2 revistas defeituosas
  em 10 ?2e- ?/2! 0,1839

52
Distribuição normal (ou de Gauss)
na qual µ é a média, sé o desvio
padrão, p3,14159..., e 2,712828...
53
Distribuição normal (ou de Gauss)
Usando a unidade reduzida z (X µ)/s
54
Distribuição normal (ou de Gauss)
68,27
95,45 (-2 a 2)
99,73
55
Relação entre as distribuições binomial e normal

• Se N for grande e nem p nem q forem próximos de
  zero, a distribuição binomial é muito aproximada
  da de uma normal. Quanto maior o N, melhor será a
  aproximação.

56
Exercício

• Determinar a probabilidade de, em 120 lances de
  uma moeda honesta, ocorrerem caras
• entre 40 e 60
• em 5/8 ou mais desses lances.

57
Solução

1. caras entre 40 e 6040 de 120 4860 de 120
   72probabilidade do evento cara p
   ½probabilidade do evento coroa q 1 p
   ½Número de caras é uma variável discretaEm uma
   distribuição normal, verifica-se a
   probabibilidade do número de caras estar situado
   entre 47,5 e 72,5

58
Solução (cont.)

1. µ número esperado de caras Np 60s2 120
   (1/2) (1/2) 30s 5,4847,5 em unidades
   reduzidas(47,5-60)/5,48 z1 -2,2872,5 em
   unidades reduzidas(72,5-60)/5,48 z2
   2,28Probabilidade área (sob a curva normal
   entre z1 -2,28 e z22,28) 0,9774

59
Solução (cont.)

1. 5/8 ou mais dos lances serem carasnúmero de
   caras gt 120 x 5/8 75 carasnúmero de caras
   entre 74,5 e 12074,5 em unidades reduzidas z1
   (74,5 60)/5,48 2,65120 em unidades
   reduzidasz2 (120 60)/5,48 10,95Prob
   0,50 0,4960 0,004

60
Exercício

• Cada pessoa de um grupo de 500, lança uma moeda
  honesta 120 vezes. Quantas pessoas seria de
  esperar que relatassem ter obtido caras
• entre 40 e 60 dos seus lances
• em 5/8 ou mais desses lances.Resposta a) 489
  pessoas b) 2 pessoas.

61
Exercício

• Verificou-se que 2 das revistas produzidas por
  uma certa impressora são defeituosas. Qual é a
  probabilidade de, em uma remessa de 400 dessas
  revistas, revelarem-se defeituosas (a) 3 ou
  mais (b) 2 ou menos?

62
Solução

• a) 3 ou mais(3 de 400) 12 revistas
  defeituosas. Baseado na continuidade, 12 ou mais
  revistas significam 11,5 ou mais.X (2 de 400)
  8s2 N p q (400) x (0,02) x (0,98) 7,84s
  2,811,5 em unidades reduzidas z (11,5
  8)/2,8 z 1,25Prob 0,5 0,3944 0,1056
  10,56

63
Solução (cont.)

• b) 2 ou menos(2 de 400) 8 revistas8
  revistas ou menos significa 8,5 ou menos8,5 em
  unidades reduzidasz (8,5 8)/2,8 0,18Prob
  (0,5 0,0714) 0,5714 57,14

64
Exercício

• Uma pesquisa amostral foi conduzida com o
  objetivo de se estudar o índice de ausência ao
  trabalho em um determinado tipo de indústria. Uma
  AAS sem reposição de mil operários de um total de
  36 mil é observada com relação ao número de
  faltas não justificadas em um período de 6 meses.
  Os resultados obtidos foram
• Faltas 0 1 2 3 4 5 6 7 8
• Operários 451 162 187 112 49 21 5 11 2
• Qual é a estimativa de µ dada por essa amostra?
• Qual é o erro aceitável dentro de um intervalo de
  confiança de 95?

65
Distribuição amostral das médias

• Todas as amostras possíveis de tamanho N são
  retiradas, sem reposição, de uma população finita
  de tamanho Np gt N. Se a media e o desvio padrão
  da distribuição amostral das médias foram
  designados por e e os
  valores correspondentes da população o forem por
  µ e s, então

66
Para ter 95 de certeza intervalo entre µ
-1,96sX e µ1,96sX isto é, (1,201,39)
67
Exercício

• Em uma população de 60 milhões de eleitores, foi
  feita uma pesquisa com 2500 eleitores de acordo
  com um plano de amostragem aleátoria simples, sem
  reposição. Um determinado candidato obteve 51
  dos votos.
• Qual é a estimativa de número total de votos
  desse candidato na população total, a partir da
  estatística amostral?
• Qual é o erro aceitável dentro de um intervalo de
  confiança de 95?

68
Distribuição amostral das proporções
69
Exercício

• Em uma tiragem de 3000 livros, foi analisada uma
  amostra de 100 livros de acordo com um plano de
  amostragem aleátoria simples, sem reposição.
  Foram encontrados um certo número de livros
  defeituosos.
• Qual é a estimativa de número total de livros
  defeituosos na tiragem?
• Qual é o erro aceitável dentro de um intervalo de
  confiança de 95?

70
Intervalos de confiança
n, em ns
68,27 1
95 1,96
95,45 2
99 2,58
99,73 3
71
NBR 5426

• Planos de amostragem e procedimentos na inspeção
  por atributos

72
(No Transcript)
73
(No Transcript)
74
(No Transcript)
75
(No Transcript)