RACUNARSKA%20LOGIKA

1
RACUNARSKA LOGIKA

• Booleova (logicka, prekidacka) algebra

2
George Boole (1815-1864).

• sin obucara
• prekinuo školovanje nakon treceg razreda
• postao je briljantan naucnik - predavao latinski
  i grcki jezik
• poznati matematicar po doprinosima u oblasti
  diferencijalnih jednacina i u algebri
• pokušao da izvede matematicku analizu mišljenja
  (logike) - uspostvio je "logicku algebru" 1854

3
Claude E. Shanon

• 1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u
  (Massachusetts Institute of Technology - Boston),
  opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada
  elektromehanickih) prekidaca, skupom matematickih
  izraza na bazi Booleove algebre.
• Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu
  prekidackih kola
• prednosti matematskog opisivanja rada logickih
  sklopova - lakše je projektovati pomocu
  algebarskih izraza koji opisuju prekidacka kola,
  nego pomocu šema ili logickih dijagrama

4
Booleova algebra

• Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz
  skupa 0,1
• skup operacija nad varijablama , ?, ?
• logicko sabiranje - XYZ se može citati
• "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z
• logicko množenje - X?YZ se može citati
• "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z
• Invertovanje X/Y X jednako ne-Y

5
Logicka kola
6
NI kolo (invertor)
7
NILI kolo
8
NI kolo
9
XOR/XNOR
10
Sve logicke operacije!
11
Pravila Booleove algebre
12
Važi i ovo!
X'' X X X'Y X Y na osnovu zakona
distribucije I-forme za ZX'
13
Što ne važi u klasicnoj algebri...
(X Y)(X Z) XX XZ XY YZ X(1 Y)
XZ YZ X XZ YZ X(1 Z) YZ X YZ
14
Pojednostavljivanje izraza
(X Y)(X Y')(X' Z)   Prva dva umnoška se
mogu pojednostaviti   (X Y)(X Y') XX XY'
XY YY' X XY' XY 0 X 0   a zatim
se citav izraz pojednostavi   X(X' Z) XZ
15
Drugi primjer
XYZ XY'Z XYZ' X(YZY'ZYZ') XY(ZZ)YZ
X(Y Y'Z) X(Y Z) XY XZ
16
De Morgan
Pomocu De Morganovih pravila može se naci
komplement bilo kojeg Booleovog izraza ili
njegovog dijela (XYZ)' X' (YZ)' X'(Y'
Z')   (W'XYZ')' (W'X)'(YZ')' (W X')(Y'
Z) na osnovu XXY X može se tvrditi X(XY)
X
17
IZVOÐENJE BOOLEOVIH JEDNACINA

• standardni logicki proizvodi
• (engl. minterms) m0 , m1 itd.
• standardne logicke sume
• (engl. maksterms). M0, M1 itd.
• I i II kanonska forma funkcija

18
Prvo se mora znati

• koja su moguca stanja na ulazima, i
• željeni odziv na svako stanje na ulazu
• Na osnovu tih podataka se formira
• tabela istine

19
Primjer tabele istine
20
prva kanonska forma date funkcije   X'Y' XY'
XY Z   što se može pojednostaviti kako
slijedi   X'Y' XY' XY Z X'Y' X(Y' Y)
Z X'Y' X Z X Y' Z
21
i sa 3 ulazne varijable
22
SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME

• logicki proizvod (engl. product term) je
  varijabla ili logicki proizvod više varijabli
  (koplementiranih ili ne)
• Logicka suma (engl. sum term) je varijabla ili
  logicka suma više varijabli (koplementiranih ili
  ne)

23
Suma proizvoda
- je logicki proizvod ili više logickih
proizvoda, logicki sabranih.   X XY Z X'Y'
X'Y'Z' X Y
24
Proizvod suma
- je logicka suma, ili više njih medusobno
logicki pomnoženih.   (X Y)(X Y')(X' Y') (X
Y Z)(X Y')(X' Y') (X' Z) X' (X Y)X
25
pisanje izraza
26
Prva forma se može pojednostaviti ovako   X'YZ'
X'YZ XYZ' X'(YZ'YZ)XYZ' ("ILI" forma
zakona distribucije ) X'YXYZ' ("ILI" forma
zakona inverzije) Y(X'XZ') ("ILI" forma
zakona distribucije ) X'YYZ' ("I" forma zakona
distribucije)   a druga ovako   (XYZ)(XYZ')(X
'YZ)(X'YZ')(X'Y'Z') (XY)(X'Y)(X'Z')
/ jer je (XYZ)(XYZ') (XY) itd./ Y(X'Z')
što je isto!
27
I i II kanonska forma logicke jednacine izgledaju
ovako   A S(m0, m2 , m4 , m6 ) A P(M1 , M3 ,
M5 , M7 )   Jednacina izlaza A je A X'Y'Z'
X'YZ' XY'Z' XYZ'   a može biti
pojednostavljena kako slijedi   A X'(Y'Z'
YZ') X(Y'Z' YZ') (X' X)(Z'(Y Y')) Z'
28
Konture
X
  pa se sabiranjem jednacina te dvije konture
dobije   Z X Y'
29
0
1
  pa je zbir te dvije konture A X'Y YZ'
30
KARNAUGHOVE MAPE