Maturski rad iz modelovanja u fizici: Generatori pseudo

1
Maturski rad iz modelovanja u fiziciGeneratori
pseudo slucajnih brojeva

• Mentor
• Jugoslav Karamarkovic Strahinja Bonic

2
Slucajne promenljive

• Slucajna promenljiva je velicina koja na
  numericki nacin opisuje ishod nekog eksperimenta
  (ogleda) sa slucajnim ishodom.
• Slucajne promenljive se dele na diskretne i
  kontinualne. Ako je skup ishoda ogleda konacan
  ili prebrojivo beskonacan onda je u pitanju
  diskretna, a ako je neprebrojivo beskonacan u
  pitanju je kontinualna slucajna promenljiva.

3
Slucajne promenljive

• Posmatrajmo kontinualnu slucajnu promenljivu x
  koja može da uzme bilo koju vrednost iz intervala
  (x1,x2).
• Ako postoji funkcija g(x) definisana na intervalu
  (x1,x2) takva da g(x1)dx predstavlja verovatnocu
  da slucajna promenljiva uzme vrednost u
  interva-lu (x1, x1dx) onda se funkcija g(x)
  naziva funkcija gustine raspodele.

4
Slucajni brojevi

• Definicija Slucajna promenljiva Z sa uniformnom
  raspodelom na intervalu (0,1) naziva se slucajan
  broj.
• funkcija gustine f(z) 0 zlt0
• 1 0ltzlt1
• 0 zgt0

5
Slucajni brojevi

• Uopšteno govoreci, postoje tri nacina za
  generisanje slucajnih brojeva
• 1) tablice - mana tablica je ogranicena dužina i
  glomaznost
• 2) slucajni procesi u prirodi (poput šuma u
  elektronskoj spravi)
• 3) kompjuterski generisani "pseudo-slucajni"
  brojevi

6
Pseudoslucajni brojevi

• Pseudoslucajni brojevi su oni koji se dobijaju po
  nekoj formuli ili algoritmu i koji imitiraju
  vrednosti slucajne promen-ljive Z sa uniformnom
  raspodelom na intervalu (0,1) u smislu da
  zadovoljavaju niz testova koje zadovoljavaju i
  slucajni brojevi.

7
Pseudoslucajni brojevi

• Da bi se ubrzao proces generisanja, napisani su
  kompjuterski softveri za dobijanje nizova
  slucajnih brojeva. Medutim, kako je kompjuter
  deterministicka mašina, sam koncept "slucajnog"
  na njega je neprimenljiv.

8
Pseudoslucajni brojevi

• Ovi softveri zapravo samo simuliraju nizove
  slucajnih brojeva, obzirom da je niz koji se
  dobija potpuno odreden relativno malim brojem
  zadatih pocetnih vrednosti i nakon nekog broja
  elemenata pocinje periodicno da se ponavlja.

9
Pseudoslucajni brojevi

• Na osnovu metoda koji koriste, ovi softveri mogu
  se podeliti na
• Linear congruential generator - linearni
  generator slucajnih brojeva
• Lagged Fibonacci generator koristi se formula
  slicna onoj za dobijanje Fibonacijevog niza
• Linear shift register generator - brojevi se ne
  dobijaju aritmetickim vec logickim operacijama.

10
Pseudoslucajni brojevi

• Mnogo kvalitetniji nizovi se dobijaju kada na
  racunaru postoji neki modul koji daje slucajne
  brojeve prikupljene iz istinski stohastickih
  dogadaja koji se dogadaju na mikronivou. Neka od
  mogucih rešenja su data ispod
• 1) hardverske mogucnosti
• sistemski sat
• korišcenje audio ulaza na zvucnoj kartici
• merenje vremena izmedu klikova mišem ili pracenje
  kretanja kursora
• 2) upotreba privremenih podataka

11
Pseudoslucajni brojevi

• Primena generatora slucajnih brojeva može se
  podeliti na dve grupe
• kriptografija (šifrovanje)
• racunarska simulacija (opisivanje realnog
  dogadaja uz pomoc brojeva)

12
Pseudoslucajni brojeviMetod sredina kvadrata
(Nojman)

• Zk0,w1,w2,...w2m
• Zk20, u1,u2,...u4m
• Zk10, um1,um2,...u3m

(0.3762)2 0.1415264 0.1526
13
Pseudoslucajni brojeviDecimale broja p

• p/100.314159...
• Primer k0.0003 (10000k3 (od trece znacajne
  cifre broja p/10))
• 0.314159265358 979323846264338327950288...
• Z00,w1,w2,...w100.4159265358
• Z10,w11,w12,...w200.9793238462
• Z20,w21,w22,...w300.6433832795

14
Pseudoslucajni brojeviGenerator ,,Wolfram
Mathematica

• Programski paket ,,Wolfram Mathematica, kao i
  mnogi drugi programi danas, koriste generator
  ,,Mersenne twister koji su 1997. godine
  isprogramirali Makoto Matsumoto i Takuji
  Nishimura. Generator se bazira na matricnoj
  linearnoj rekurenciji nad binarnim poljem.

15
Testovi (pseudo)slucajnih brojeva

• Test uniformnosti (bin test)
• Test korelacije (test dupleta, tripleta,
  kvadripleta,...)
• Test srednjih vrednosti kvadrata, kubova...

16
Testovi (pseudo)slucajnih brojeva

• Za razlicite ulazne podatke generisana su po 3
  niza za svaki od prethodno navedenih generatora
• Vrši se uporedivanje sva 3 generatora pomocu 3
  razlicita testa. Testovi se rade za svaki od 3
  niza navedenih generatora
• Za test dupleta i test uniformnosti generisani su
  nizovi od po 10000 brojeva, a za test srednjih
  vrenosti kvadrata po 1000 brojeva

17
Test dupleta

• Zamislimo kvadrat stranice a1 i podelimo ga na
  npr. P 20x20400 jednakih delova (celija).
• Uocimo jednu celiju. Verovatnoca da se generacija
  slucajnog para (z1,z2) poklopi sa tom celijom
  jednaka je 1/P. Ako se opit ponavlja NkP puta,
  verovatnoca da ce celija ostati nepogodena
  jednaka je
• p(1-1/P)kPexp(-k)

18
Test dupleta

• a ocekivani broj nepogodenih celija je
• Pexp(-k)
• Test prati broj nepogodenih celija i uporeduje ga
  sa teorijskom vrednošcu.

19
Test dupleta

• Loš genrator tipa 1
• Teži da što pre popuni sva polja pa se može
  pretpostaviti da u sledecem koraku par nece
  popuniti neko od vec popunjenih polja
• Loš generator tipa 2
• Vrlo sporo popunjava prazna polja jer se parovi
  grupisu oko odredenih polja (koordinata) pa se u
  sledecem koraku može predvideti par u nekom od
  tih polja

20
Test dupleta
21
Test dupleta
22
Test dupleta
23
Test dupleta
24
Test dupleta

• Što se tice metoda sredina kvadrata, on daje
  dobre vrednosti samo u pocetku i to samo za neke
  ulazne vrednosti. U naredna tri grafika vidi se
  da ovaj metod daje dobre rezultate za prvih 50
  parova, dok za vise od 500 parova pokazuje velika
  odstupanja. Ostala dva generatora daju jako dobre
  rezultate.

25
Test srednje vrednosti kvadrata

• Izracunava se srednja vrednost kvadrata za prvih
  10 clanova (Xsr10 (Z1... Z10
• )/10), pa zatim za 20 (Xsr20), pa za 30...
• Pokazuje se da kod beskonaco dugih nizova
  slucajnih brojeva (sa uniformnom raspodelom)
  važi
• Xsr 81/30.333

26
Test srednje vrednosti kvadrata
27
Test srednje vrednosti kvadrata
28
Test srednje vrednosti kvadrata
29
Test srednje vrednosti kvadrata

• Sa prethodnih grafika se vidi da sva tri
  generatora daju dobre rezultate, s tim što metod
  sredina kvadrata pokazuje izvesna odstupanja od
  teorijske vrednosti.

30
Test uniformnosti

• Test uniformnosti (bin test) Interval (0,1) se
  podeli na m jednakih podintervala i pro-verava da
  li je verovatnoca pojavljivanja slucajnog broja u
  svakom podintervalu 1/m.
• U našem slucaju je m10

31
Test uniformnosti
32
Test uniformnosti
33
Test uniformnosti
34
Test uniformnosti

• Sa prethodnih grafika se vidi da p-generator i
  Mathematica daju dobre rezultate, dok metod
  sredina kvadrata pokazuje izvesna odstupanja.

35
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva

• Jednodimenzionalna slucajna šetnja
• Cestica se nalazi u koordinatnom pocetku x-ose.
  Ona može da se krece jedinicnim koracima levo
  (xi-1) i desno (xi1). Pre svakog koraka
  verovatnoca kretanja u desno je p, a verovatnoca
  kretanja u levo q (q1-p). Slucajna promenljiva X
  definiše se kao položaj cestice nakon n koraka
• Xx1x2...xn

36
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva

• Pretpostavimo sada da je pq0.5. Intuitivno je
  jasno da je E(X)0. Potražimo D(X)
• Onda je sn(1/2)

37
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva

• Kako shvatiti ovaj rezultat?
• Ako posmatramo m cestica, svaka od cestica ce se
  posle definisanog broja koraka (n) naci u nekoj
  tacki xi koja ne mora biti nula ngtxigt-n
  (i1,m). Medutim, ako izvršimo usrednjavanje po
  svim cesticama, imacemo

38
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
39
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva

• Modelovanje jednodimenzionalne slucajne šetnje
  pomocu generatora se vrši na sledeci nacin
• 1) Ako se slucajni broj Zi nalazi u intervalu
  (0.0,0.5) cestici se dodeljuje korak xi -1
• 2) Ako se slucajni broj Zi nalazi u intervalu
  (0.5,1.0) cestici se dodeljuje korak xi 1

40
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva

• Za modelovanje je korišcen generator programskog
  paketa ,,Wolfram Mathematica i p-generator. Na
  graficima su prikazani rezultati matematickog
  ocekivanja i disperzije za slucaj od
  m10,20,50,100 cestica u n100 koraka, prvo za
  Mathematicu, a onda za p-generator, naizmenicno

41
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
42
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
43
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
44
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
45
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
46
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
47
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
48
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
49
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
50
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
51
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
52
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
53
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
54
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
55
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
56
Provera generatora pseudo-slucajnih brojeva
57
Zakljucak

• Na osnovu rezultata svih prethodnih testova, kao
  i modelovanja jednodimenzionalne slucajne šetnje
  možemo reci da je generator programskog paketa
  ,,Wolfram Mathematica opravdao svoja ocekivanja.
  Von Neumann-ov generator je pokazao svoje
  slabosti, ali ipak ostaje neuporedivo brži i
  jednostavniji od ostala dva.

58
Zakljucak

• Jako dobre rezultate je pokazao i p-generator,
  što je još jedan dokaz da decimale broja p ne
  pokazuju skoro nikakvu pravilnost, tj. broj p je
  iracionalan. Ipak, bez obzira na sva
  istraživanja, otvoreno pitanje o ovom broju koje
  najviše pritiska jeste da li je p ,,normalan broj.

59
Zakljucak

• Definicija ,,normalnog broja bi bila sledeca
• Broj je ,,normalan u osnovi b ako za svaki
  prirodan broj m i za svaki niz cifara s dužine m
  važi
• gde N(n,s) predstavlja broj pojavljivanja niza
  cifara s u prvih n cifara datog broja (u osnovi
  b). Broj je apsolutno normalan (ili samo
  normalan) ako je normalan u svim prirodnim
  osnovama.

60
Zakljucak

• Dakle, danas ovo predstavlja otvoren problem i
  jedan od najistraživanijih (ako ne i
  najistraživaniji) vezanih za broj p, tj. da li je
  p normalan broj (ili, specijalan slucaj, da li je
  normalan u bazi 10). Dokle su matematicari stigli
  sa ovim pitanjem? Pa, ne baš daleko - još uvek
  nije poznato cak ni to da li se sve cifre
  javljaju beskonacan broj puta!