Soluci

1
Solución de sistemas de ecuaciones

• Método gráfico
• Método por sustitución
• Método por eliminación

2

• Hay varios métodos para resolver los sistemas de
  ecuación lineal. Estudiaremos tres que usamos
  para hallar la solución de forma algebraica
• solución por el método gráfico, solución por
  sustitución y solución por eliminación.

3
Método gráfico

• Se grafican ambas ecuaciones en el mismo
  sistema de coordenadas. Así, las
  coordenadas del punto común en ambas gráficas
  será la solución del sistema, ya que satisfacen
  ambas ecuaciones.

4
Método gráfico

• Un sistema de ecuación lineal de los que hemos
  trabajado consta de dos ecuaciones y, por lo
  tanto, se tendrán dos rectas.
• Dos rectas en un plano pueden existir en una
  de tres situaciones 1) se intersecan en un
  punto 2) son paralelas ó
  3) coinciden.

Dependiente, Consistente infinitas
soluciones misma recta
Independiente, Consistente una solución
un punto
Independiente Inconsistente sin solución
rectas paralelas
5
Método gráfico

• Procedimiento para resolver un sistema de
  ecuaciones por el método gráfico
• Se elabora una tabla de valores para ambas
  ecuaciones
• Se grafican los pares ordenados
• Se unen los puntos mediante una recta.

Las rectas coinciden Dependiente, Consistente
(infinita soluciones)
Ejemplo x y 2
2x 2y 4
x y 2
2x 2y 4
x y
-1 3
0 2
1 1
2 0
x y
-1 3
0 2
1 1
2 0
5
5
-5 0 5
-5
6
Método Gráfico
Ejemplo 2 -x y 2 -x y -2
y x 2 y x - 2
y x 2
y x 2
y x - 2
5
x y
-1 1
0 2
1 3
2 4
x y
-1 -3
0 -2
1 -1
2 0
Y x - 2
-10 -5 0 5
Rectas paralelas, no hay solución Independiente In
consistente
-5
7
Método por sustitución

• El método de sustitución consiste en resolver
  cualquier ecuación del sistema por una de las
  variables y luego sustituir el valor de esa
  variable en la otra ecuación.

8
Método por sustitución

• Procedimiento para resolver un sistema
  
  por el método de sustitución
• 1. Se despeja una incógnita en una de las
  ecuaciones
• x -4y 6
  3. El valor de y se
  sustituye
• 2. Se sustituye el valor de x en la otra ecuación
  en cualquiera de las
  x 2y 18
  dos ecuaciones
  originales..
• -4y 6 2y 18
  x 4y 6
• -6y -6 18
  x 4 (-2) 6
• -6y 12
  x (-8) 6
• y -2
  x 8 6
• 
  x
  14

Ejemplo x 4y 6 x 2y 18
Independiente, Consistente La solución es el par
ordenado (14, -2)
9
Método por eliminación

• El objetivo de este procedimiento es obtener dos
  ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una
  sola variable.
• Este método requiere que los coeficientes de la
  misma variable estén organizados en forma
  vertical uno debajo del otro.

10
Método por eliminación
Ejemplo 2 x y 6 -x y 2
Se suman o se restan las ecuaciones para obtener
una ecuación en una variable. x y 6 -x y
2 0 8 Ninguna solución ocurre
cuando al sumar se eliminan las variables y
tenemos una proposición falsa (independiente,
inconsistente)
11
Método eliminación
Ejemplo 2 3x 6y 12 6y -3x 12
3x 6y 12 3x 6y 12
Multiplicamos por -1 cualquiera de las dos
ecuaciones para poder eliminar una de las
variables. -1 (3x 6y 12)
-3x 6y -12
3x 6y 12
0 0
Soluciones infinitas dependiente, consistente (0
0)
12
Método por eliminación
Ejemplo 2x y 1 4x 2y -18

• Se utiliza la propiedad multiplicativa
  de la igualdad para lograr que los coeficientes
  de y tengan el mismo valor
• (2x y 1)
  4x 2y 2
• 4x - 2y -18
  4x 2y -18
• 
  8x
  -16
• 
  
  8x -16
• 
  
  8 8
• 
  
  x -2

Se multiplica por 2 cada término
Se sustituye en alguna ecuación original el valor
de x 2x y 1 2(-2) y 1 -4 y 1 y 5

La solución es el par ordenado (-2, 5)
Independiente, consistente una solución (valor
para x y para y)
13
Resumen de posibles situaciones
Relación de las rectas Número de soluciones Clasificación
Se intersecan 1 Independiente Consistente
Paralelas 0 Independiente Inconsistente
Coinciden infinitas Dependiente Consistente