Cauchy und der Cours d

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Cauchy und der Cours dAnalyse nach J. Lützen

• Referentin Julia Klapper
• Quelle Geschichte der Analysis Texte zur
  Didaktik der
• Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans
  Niels,
• Heidelberg 1999 (Spektrum
  Akademischer Verlag)

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Biographie

• Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
• Studium zum Ingenieur
• École Polytechnique
• École des Ponts et Chaussés (Paris)
• lehrt 1815 an der École Polytechnique Analysis
• Mitglied der Akademie der Wissenschaft
• 1830 nach Turin und Prag ins Exil
• unterrichtete den Sohn von Karl X.
• 1838 Rückkehr nach Paris
• 1848 Lehrstuhl an der Faculté des Sciences

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Biographie

• ist nach Euler der produktivste Mathematiker
• Beiträge zu den Grundlagen der Analysis ergeben
  sich aus seiner 15jährigen Lehrtätigkeit an der
  École Polytechnique
• 1821 Veröffentlichung von
• Cours dAnalyse de lÉcole Royale Polytechnique.
  Première partie. Analyse algébrique
• 1822 durch Lehrplanänderungen gestrichen

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Zu Cauchy

• es wird kritsiert, dass er zu lange die
  grundlegenden Details behandele
• Cauchys Analysis unterscheidet sich in ihrem
  gesamten Aufbau als in den Einzelelementen von
  ihren Vorläufern

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Jesper Lützens Vorgehen

• Erörtert zuerst die zentralen Begriffe
• Will feststellen wie
• neu sie waren
• wo ihr Ursprung liegt
• Wie sie in die Gesamtstruktur seiner Analysis
  passen

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Variablen

• Man nennt eine Zahlengröße, von der man
  voraussetzt, dass ihr nacheinander mehrere von
  einander verschiedene Werte beigelegt werden
  dürfen, eine veränderliche Zahlgröße
• Im Gegensatz hierzu versteht man unter einer
  constanten Zahlgröße jede Zahlgröße, welcher
  nur ein gegebener bestimmter Wert beigelegt
  wird.
• Quelle Geschichte der Analysis Texte zur
  Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans
  Niels,
• Heidelberg 1999 (Spektrum
  Akademischer Verlag), S.195

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Variablen

• Bei Euler
• Ist eine Variable eine unbestimmte oder eine
  allgemeine Zahlgröße, welche alle bestimmten
  Werte ohne Ausnahme begreift
• Element einer Menge
• Bei Cauchy
• Können Variablen verschiedene Werte annehmen,
  aber nicht unbedingt alle
• dynamisch oder
• Heute für

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Grenzwert

• Wenn die einer Veränderlichen nach und nach
  beigelegten Werte sich einem gegebenen Werte
  immer mehr und mehr nähern, so dass in jener
  Reihe schließlich Werte existieren, die von jenem
  gegebenen Werte so wenig, wie man will,
  verschieden sind, so nennt man den gegebenen Wert
  die Grenze jener übrigen Werte
• Quelle Geschichte der Analysis Texte zur
  Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans
  Niels,
• Heidelberg 1999 (Spektrum
  Akademischer Verlag), S.196

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Grenzwert

• Cauchy präzisierte die früheren Ideen von
  dAlembert und Newton und veränderte sie
• Unterschied zu heuteEr gestattet bisweilen einer
  Variablen (oder Folge) mehr als einen Grenzwert
  zu haben

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Unendlich kleine Zahlgrößen

• Wenn die ein und derselben Veränderlichen nach
  und nach beigelegten numerischen Werte beliebig
  so abnehmen, dass sie kleiner als jede gegebene
  Zahl werden, so sagt man, diese Veränderliche
  wird unendlich klein oder sie wird eine
  unendlich kleine Zahlgröße. Eine derartige
  Veränderliche hat die Grenze Null.
• Quelle Geschichte der Analysis Texte zur
  Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans
  Niels,
• Heidelberg 1999 (Spektrum
  Akademischer Verlag), S.196

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Unendlich kleine Zahlgrößen

• Eine gegen 0 gehende Variable ist eine unendlich
  kleine Größe
• Grenzwertbegriff ist zentral
• Unendlich kleine Größen sind eine Abkürzung für
  Variablen mit dem Grenzwert 0

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Unendlich kleine Zahlgrößen

• Übliche Standardleseart bei Cauchy
• Non-Standardleseart bei
• Laugwitz und Robinson 1967
• Non-Standard-Analysis neuere Theorie der
  Infinitesimalen. Hier sind unendlich kleine
  Größen die grundlegenden Begriffe
• Mathematikhistoriker haben die modernen Ideen
  nach Weierstraß unbewusst in Cauchys Arbeit
  hineingelesen

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Ableitung

• Cauchy entschied sich für Lagranges Begriff und
  seiner Schreibweise f, verwirft aber seine auf
  Potenzreihen beruhende Definition
• Orientiert sich an Lacroix und definiert die
  Ableitung als den Grenzwert des
  Differenzenquotienten
• die Bedeutung des Differentials entlehnte
  er mit einer leichten Abweichung von Lacroix
• Er bewies dann, dass ist
• Annahme f ist stetig

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Integral

• Stetige Funktion zwischen den Grenzen
  x und xX und mit werden
  neue Werte von x bezeichnet, die zwischen diesen
  Grenzen liegen
• Anschließend wird die Differenz in die
  Elemente
  unterteilt
• Nun kann jedes Element mit dem Wert von
  multipliziert werden
• ist die Summe der so erhaltenen Produkte

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Integral

• wenn man die Zahlenwerte dieser Elemente
  unbeschränkt klein macht, indem man deren Anzahl
  erhöht, wird der Wert von S schließlich merklich
  konstant, oder, in anderen Worten, gleich einem
  gewissen Grenzwert, der allein von der Form der
  Funktion und von den der Variablen x
  zugeschriebenen Endwerte und X abhängt. Diese
  Grenze ist das, was man als bestimmtes Integral
  bezeichnet.
• Quelle Geschichte der Analysis Texte zur
  Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans
  Niels,
• Heidelberg 1999 (Spektrum
  Akademischer Verlag), S.198

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Integral

• Bei Leibnitz Summe von Infinitesimalen
• Seit Bernoulli Umkehrung des Differenzierens
• Fourier konzentriert sich auf das bestimmte
  Integral
• und beschreibt es als die Fläche
  zwischen der Kurve und der Achse
• Cauchy greift Fouriers Idee auf, aber definiert
  ein bestimmtes Integral als den Grenzwert einer
  Links-Summe
• Dies gestatte ihm zu beweisen, dass das Integral
  für jede stetige Funktion existiert