Presentaci

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TEMA 4 TRIANGULACIONES
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• Triangulaciones de nubes de puntos (modelado de
  terrenos)
• Triangulaciones de polígonos

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Modelado de terrenos
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(No Transcript)
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QUÉ ES UN S.I.G.? (Sistema de Información
Geográfica)
DATOS

• Recolección

• Análisis

• Transformación

• Visualización de la información
• geográfica, numérica, estadística, etc.

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QUÉ ES UN S.I.G.? (Sistema de Información
Geográfica)
DATOS

• Recolección

• Análisis

• Transformación

• Visualización de la información
• geográfica, numérica, estadística, etc.

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Pp1,p2,...,pn conjunto de puntos en el
plano T triangulación de P con m triángulos

• Vector de ángulos de T
• V(T)a1,a2,...,a3m con a1 a2 ... a3m

• T es la triangulación Equilátera de
  Pp1,p2,...,pn si
• V(T) ³ V(T), para toda triangulación T de P.

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Triangulación de Delaunay (dual de Voronoi)
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Objetivo Probar que la triangulación de Delaunay
es la equilátera.
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p3
p3
p1
p1
b3
a2
a1
b4
a3
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a6
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p2
p2
a4
b1
b6
a5
p4
p4
amin ai bmin
bj
p1p2 es legal si a ³ b
Triangulación legal todas sus aristas internas
son legales
Equilátera implica legal
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Triangulaciones legales
Flip diagonal
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Flip diagonal
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Caracterización de las triangulaciones legales
Criterio del Circunciclo
p4
p1
p3
p2
p1p2 es legal Û p4 Ï C(p1,p2,p3)
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Caracterización de las triangulaciones legales
Criterio del Circunciclo
p4
p1
p3
p2
p1p2 es legal Û p3 Ï C(p1,p2,p4)
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Teorema del Arco Capaz (Thales)
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(No Transcript)
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a a1 gt b5 ³ b
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Algoritmo para encontrar triangulaciones legales

• Partir de cualquier triangulación

• En cada arista interior

• comprobar si es legal por el criterio del
  circunciclo

• si no lo es, realizar un flip

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Dado un punto q llamaremos círculo máximo vacío
al mayor círculo centrado en q que no contiene a
ningún generador del diagrama en su interior.
La bisectriz entre dos generadores define un
borde de Vor(P) si y sólo si existe un punto q
sobre dicha bisectriz tal que el círculo máximo
vacío centrado en q contiene solamente a estos
dos generadores en su frontera.
Un punto q es vértice de Vor(P) si y sólo si el
círculo máximo vacío centrado en q contiene tres
o (en el caso de tratarse de un diagrama
degenerado) más generadores en su frontera
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Proposición 2. Pp1,p2,...,pn puntos en el
plano. pipj es una arista de Delaunay si y sólo
si existe un círculo a través de pipj que no
contiene a ningún punto de P en su interior.
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Proposición 2. Pp1,p2,...,pn puntos en el
plano. pipj es una arista de Delaunay si y sólo
si existe un círculo a través de pipj que no
contiene a ningún punto de P en su interior.
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Teorema 1. P p1,p2,...,pn puntos en el
plano. T triangulación de P. T es legal si y
sólo si T es la triangulación de Delaunay de P.
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Algoritmo para encontrar la triangulación de
Delaunay

• Partir de cualquier triangulación

• En cada arista interior

• comprobar si es legal por el criterio del
  circunciclo

• si no lo es, realizar un flip

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• Algoritmo de flips (Sibson, 1978) O(n2)
• Transforma una triangulación arbitraria en la
  de Delaunay
• realizando flips en triángulos adyacentes y
  decidiendo por
• el criterio del circunciclo.

• Divide y vencerás (Guibas y Stolfi, 1985) O(nlog
  n)

• Algoritmo del barrido plano (Fortune, 1987)
  O(nlog n)

• Algoritmo incremental de inserción aleatoria
• (Guibas, Knuth y Sharir, 1992) O(nlog n)
• Comienza con un triángulo ficticio e inserta
  aleatoriamente
• los puntos en la triangulación. Se generaliza
  a R3.

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El algoritmo incremental
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El algoritmo incremental
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Las aristas creadas por la inserción de un nuevo
punto son aristas de Delaunay
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Las aristas ilegales se transforman en aristas de
Delaunay tras un único flip.
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• Tras el proceso
• No quedan aristas ilegales
• No se produce un bucle infinito

Obtenemos la triangulación de Delaunay
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Qué hacer con las líneas de rotura?
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Construimos la triangulación de Delaunay
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El problema de las líneas de rotura
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El problema de las líneas de rotura
p y q son visibles si el segmento pq no corta a
la restricción.
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El problema de las líneas de rotura
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El problema de las líneas de rotura
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El problema de las líneas de rotura
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Bibliografía
Computational Geometry an introduction. F. P.
Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag,
1985. Computational Geometry in C. J. ORourke.
Cambridge University Press, 1998.
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Applets

• Triangulación de Delaunay
• http//wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/Vo
  roGlide/
• http//www.cs.cornell.edu/Info/People/chew/Delaun
  ay.html
• Modelado de terrenos
• http//www.cs.ubc.ca/spider/snoeyink/terrain/Demo
  .html
• http//www.fhi-berlin.mpg.de/grz/pub/preusser/jav
  a1.1/
• TrivialApplet.html

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Triangulaciones de polígonos
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Problema de la Galería de Arte
El primer paso de su demostración era triangular
el polígono.
 En 1973, Víctor Klee planteó el problema de
determinar el mínimo número de guardias
suficientes para cubrir el interior de una
galería de arte con un número n de paredes. C
 En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha
pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.
Es todo polígono triangulable?
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Lema 4.1 Todo polígono tiene al menos un vértice
convexo.
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Lema 4.2 Todo polígono con más de cuatro
vértices admite una diagonal.
Teorema 4.2 Todo polígono admite una
triangulación.
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Lema 4.3 Toda triangulación de un n-polígono
tiene n-2 triángulos y utiliza n-3 diagonales.
Lema 4.4 La suma de los ángulos internos de un
n-polígono es (n-2)p.
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Proposición 4.1 El dual de una triangulación es
un árbol de valencia máxima tres.
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• Ejercicios
• Cuál es la suma de los ángulos exteriores de un
  polígono?
• Probar o dar un contraejemplo todo árbol binario
  es el dual de la triangulación de un polígono.
• Cuántas triangulaciones tiene el siguiente
  polígono
•                                      
• Probar que toda triangulación de un polígono
  tiene al menos dos orejas, donde una oreja es un
  triángulo que sólo comparte una arista con otro
  triángulo. Ocurre lo mismo con triangulaciones
  de nubes de puntos?