vwo a/c deel 1

1
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 4
2
Kansdefinitie van Laplace
aantal gunstige uitkomstenaantal mogelijke
uitkomsten
P(gebeurtenis) je mag deze regel alleen
gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk
zijn bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten
rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk,
want het verkeerslicht staat langer op rood dan
op oranje dus P(oranje) is niet gelijk aan ? bij
het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6
uitkomsten even waarschijnlijk dus P(meer dan 4
ogen) 2/6 ? hierbij zijn 5 en 6 ogen
gunstig hiermee is de kans exact berekend, bij
een exact antwoord mag je niet benaderen
4.1
3
Kansschaal
4.1
4
Samengestelde kansexperimenten

• Het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld
  van een
• kansexperiment.
• Kenmerkend voor een kansexperiment is dat de
  uitkomst niet van
• te voren vastligt.
• voorbeelden zijn
• het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk
• het gooien met 2 dobbelstenen
• het gooien met 3 geldstukken
• het kopen van 3 loten in een loterij.
• Het aantal gunstige uitkomsten bij een
  samengesteld
• kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken
  krijg je bij
• 2 kansexperimenten met een rooster
• 3 of meer experimenten met systematisch noteren
  en/of
• handig tellen.

4.1
5
Samengestelde kansexperimenten

• Heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan
  bereken je
• kansen als volgt
• bereken het aantal mogelijke uitkomsten
• tel het aantal gunstige uitkomsten door deze
  systematisch te noteren en/of handig te tellen
• deel het aantal gunstige door het aantal
  mogelijke uitkomsten
• Zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de
  gebeurtenis
• som van de ogen is 15
• aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 216
• aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk
• 555
• 663 , 636 , 366
• 654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465
• dus P(som is 15)

1 3 6
10
5


216
216
108
4.1
6
Empirische en theoretische kansen

• Wet van de grote aantallen
• Door een kansexperiment heel vaak uit te voeren,
  komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis
  steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te
  liggen.
• 1 Empirische kansen
• v.b. P(meisje bij geboorte) en P(punaise met
  punt omhoog)
• empirisch betekent op ervaring gegrond
• Empirische kansen krijg je door een groot aantal
  waarnemingen te gebruiken.
• Empirische kansen bereken je door relatieve
  frequenties te gebruiken.
• 2 Theoretische kansen
• Bij veel kansexperimenten kun je van te voren
  zeggen wat de kans op een gebeurtenis is.
• v.b. P(6 ogen) bij een worp van een
  dobbelsteen is 1/6
• Je gebruikt de kansdefinitie van Laplace.
• 3 Subjectieve kans
• Hoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller
  loopt dan 9 seconden over de 100m. ? ? onmogelijk

4.2
7
Simuleren

• Door een kansexperiment voortdurend te herhalen
  kun je kansen schatten.
• Dat is echter een tijdrovend karwei.
• b.v. de kans dat bij een vliegtuig de
  automatische piloot uitvalt
• Dit soort kansexperimenten gaat men simuleren
  (nabootsen) met de computer.
• Door vervolgens relatieve frequenties te
  berekenen, schat je kansen.
• De grafische rekenmachine heeft opties om
  toevalsgetallen te genereren.

4.2
8
Simuleren met de GR
TI
MATH-PRB-menu ? randInt met randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6
Casio
OPTN-NUM-menu ? Intg en OPTN-PROB-menu ? Ran met Intg(4Ran 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4
4.2
9

• Voorwaardelijke kans
• Bij een voorwaardelijke kans beperk je je tot
  een deelgroep
• je moet dan delen door de frequentie van die
  deelgroep.
• afspraak bereken de kans op ? rond je af
  op 3 decimalen
• Kruistabellen
• Heb je bij onderzoeksresultaten te maken met 2
  kenmerken, dan is het verstandig de gegevens in
  een kruistabel te verwerken.
• vervolgens zijn allerlei kansberekeningen
  eenvoudig te maken
• Onafhankelijke gebeurtenissen
• De gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als
• P(A onder voorwaarde B) P(A)
• gebeurtenis B heeft geen invloed op gebeurtenis
  A ? onafhankelijk
• gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn ?
  afhankelijk

4.3
10
Combinaties
is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de
volgorde niet van belang, dan spreken we van het
aantal combinaties van 4 uit 7 het aantal
combinaties van 4 uit 7 noteren we als spreek
uit 7 boven 4 het aantal combinaties van 4 uit
7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen
uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is
7 4
7 4
4.4
11
Kansen en combinaties
Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb
je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b)
? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die
kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het
aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15
knikkers te pakken. Dat kan op
manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het
aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en
1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w,
2b)
0,168
aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke
uitkomsten
P(G)
15 5
8 2
4 2
3 1
.
.
manieren
2215
8 2
4 2
3 1
84315
.
.
15 5
4.4
12
Het vaasmodel
bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het
kansexperiment om te zetten in het pakken van
knikkers uit een geschikt samengestelde vaas ?
vaasmodel
4.4
13
De somregel
Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke
uitkomsten hebben, dus als de gebeurtenissen
elkaar uitsluiten. Hebben twee gebeurtenissen wel
gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de
somregel niet. Zo is P(som is 4 of product is 4)
niet gelijk aan, P(som is 4) P(product is 4)
want de gebeurtenissen som is 4 en product
is 4 hebben de uitkomst ?? gemeenschappelijk Voo
r elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2
geldt de somregel P(G1 of G2)
P(G1) P(G2)
4.5
14
De complementregel
P(minder dan 8 witte) P(0 w) P(1 w) P(2 w)
P(3 w) P(4 w) P(5 w) P(6 w) P(7 w) 1
P(8 witte)
P(gebeurtenis P(complement-gebeurtenis)
1 P(gebeurtenis) 1 P(complement-gebeurtenis)
4.5