Filtri analogici

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Filtri analogici
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Generalità

• I filtri lineari analogici sono esprimibili con
  la seguente espressione (con M N)
• Le specifiche sono fornite solitamente in termini
  di
• banda passante Op (e relativo ripple d1)
• banda interdetta Os (e relativo ripple d2)
• e conseguente banda di transizione (Op - Os)
• Spesso ripple ed attenuazione sono definiti come

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Generalità

• Dove Op ed Os le specifiche da rispettare
• Oc ed Ot sono le reali pulsazioni di banda
  passante e di banda attenuata

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Generalità

• Filtri di tipo passa-alto, passa-banda,
  elimina-banda vengono ottenuti dal
  passa-basso tramite opportune trasformazioni

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Filtri di Butterworth (1)

• Sono filtri a massima piattezza nellorigine ed
  allinfinito
• ossia le prime (2N-1) derivate di
  si annullano per O0 e per Oinf.
• Sebbene la scelta di Op , Os , d1 , d2 può
  essere arbitraria, di solito si definisce come Op
  la frequenza alla quale il guadagno è diminuito
  di 3 dB (Op O-3dB)
• ossia
• Per garantire le specifiche

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Filtri di Butterworth (2)
In base allattenuazione A desiderata ad una
certa frequenza Os si puo calcolare lordine
minimo del filtro
Nel caso del filtro prototipo con e1 (O-3dB 1)
Nel caso generale si puo dimostrare
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Filtri di Butterworth (3)

• Se le specifiche sono del tutto generiche
• Ci sono 2 gradi di liberta
• Ordine n
• Frequenza di taglio a -3dB
• Ordine si usa il minimo consentito
• O-3dB Esiste tutta una famiglia di filtri che
  possono soddisfare le specifiche

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Posizione di poli e zeri

• Nota la risposta in frequenza desiderata 2
• Generalizzando jO ? s
• Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino
  opportunamente a H(s) ed H(-s)

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Posizione di poli e zeri (Butterworth)

• Nel filtro di Butterworth
• I poli complessivi si trovano risolvendo
• per N pari
• per N dispari

Es n2
Es n3
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Posizione di poli e zeri (Butterworth)

• Successivamente si assume, per garantire la
  stabilità, che i poli a parte reale negativa
  appartengano ad H(s), mentre gli altri
  (simmetrici) ad H(-s) !

H(s)
H(-s)
H(s)
H(-s)
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Filtri di Chebyshev del 1o tipo (1)

• Prototipo normalizzato

Ove
Formula ricorsiva
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Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

• Caso Generale
• ove Oc (frequenza di transizione) è la frequenza
  estrema della banda passante (NOTA non e la
  frequenza a -3dB)
• Il filtro di Chebyshev del 1o tipo è un filtro
  ottimo tra il filtri all-poles, ovvero, a
  parità di ordine, non esiste alcun filtro
  composto da soli poli che possa avere
  caratteristiche superiori al filtro CHEBY1 tanto
  in banda passante che in banda attenuata

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Filtri di Chebyshev del 1o tipo (3)

• Calcolo dellordine minimo del filtro (in base
  allattenazione desiderata in Os
• Gradi di libertà nella scelta di Oc

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Filtri di Chebyshev del 1o tipo (4)

• Si può sfruttare il grado di libertà anche per
  modificare e

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Posizione di poli e zeri (Cheby1)

• Nel filtro di Chebyshev 1
• Si trovino le soluzioni del polinomio a
  denominatore (in x) e sucessivamente
• si moltiplichino per Oc
• si ruotino di 90o
• Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale
  negativa

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Filtri di Chebyshev del 2o tipo (1)

• Prototipo normalizzato (rispetto Ot)
• Caso generale
• Imponendo che per OOt? H1/A
• Il lfiltro CHEBY2 presenta le stesse
  caratteristiche di CHEBY1

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Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

• Calcolo dellordine minimo del filtro (in base
  alle desiderato in Oc)
• Gradi di libertà nella scelta di Ot

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Posizione di poli e zeri (Cheby2)

• Nel filtro di Chebyshev 2
• Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore
  (x)
• queste soluzioni in x vanno
• invertite (reciproco)
• moltiplicate per Ot
• ruotate di -90o
• Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2
  coincidenti

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Analogie tra Cheby1 e Cheby2

• Una volta definito lordine del filtro dei 4
  parametri Ot, Oc, e, A, solamente due sono
  indipendenti.
• Es. in Cheby1 si scelgono solitamente Oc ed e
  e ne consegue Af(Ot).
• Si potrebbe pero anche operare allinverso
  scelti A e Ot si puo trovare una famiglia di
  filtri che al variare di e modificano Oc (o
  viceversa)

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Analogie tra Cheby1 e Cheby2

• In modo del tutto analogo anche per Cheby2 i 4
  parametri Ot, Oc, e, A, risultano tra loro legati
  e non indipendenti.
• Si potrebbe scegliere scelti e e Oc ma ci si
  ritrova con una famiglia di filtri che al variare
  di A modificano Ot (o viceversa).
• Solitamente per questi filtri I parametri
  indipendenti da usare sono Ot ed A

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Filtri di Cauer (elittici)
Dove Rn(O,L) e detta funzione razionale di
Chebyschev Sono Filtri-equiripple in banda
passante ed in banda interdetta
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Posizione di poli e zeri

• Nota la risposta in frequenza desiderata 2
• Generalizzando jO ? s
• Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino
  opportunamente a H(s) ed H(-s)

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Posizione di poli e zeri (Butterworth)

• Nel filtro di Butterworth
• I poli complessivi si trovano risolvendo
• per N pari
• per N dispari

Es n2
Es n3
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Posizione di poli e zeri (Butterworth)

• Successivamente si assume, per garantire la
  stabilità, che i poli a parte reale negativa
  appartengano ad H(s), mentre gli altri
  (simmetrici) ad H(-s) !

H(s)
H(-s)
H(s)
H(-s)
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Posizione di poli e zeri (Cheby1)

• Nel filtro di Chebyshev 1
• Si trovino le soluzioni del polinomio a
  denominatore (in x) e sucessivamente
• si moltiplichino per Oc
• si ruotino di 90o
• Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale
  negativa

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Posizione di poli e zeri (Cheby2)

• Nel filtro di Chebyshev 2
• Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore
  (x)
• queste soluzioni in x vanno
• invertite (reciproco)
• moltiplicate per Ot
• ruotate di -90o
• Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2
  coincidenti

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Trasformazioni in frequenza (1)

• Si può modificare un filtro LP prototipo in
  qualunque altro modello applicando opportune
  trasformate

LP ? LP
LP ? HP
LP ? BP
LP ? SP
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Trasformazioni in frequenza (2)

• Metodologia di progetto
• date le specifiche del filtro
• si convertano le specifiche in quelle di un
  prototipo LP (applicando lopportuna trasformata)
• in caso di specifiche ridondanti si usino quelle
  piu stringenti
• si progetti il prototipo LP
• si applichi la trasformata opportuna alla f.d.t
  del prototipo