Presentaci

1

El Azar un recorrido desde la Antigüedad a la
Época Actual Servet Martínez CMM-DIM- U. de
CHILE Núcleo Milenio Información y
Aleatoriedad http//www.dim.uchile.cl/random/ P
reparación Mª Inés Rivera Conferencia ICM Gran
Público Fundación Telefónica 24/09/03
2

• PREHISTORIA
• Los Juegos de azar pueden haber sido una de las
  primeras invenciones del ser humano viviendo en
  sociedad.
• Se especula que desde los tiempos del neolítico
  habrían huesos tallados que permiten obtener
  resultados equilibrados (como en los dados), y
  que no serían herramientas útiles, solo
  servirían para jugar (adivinación?).
• HISTORIA
• En tiempo de los egipcios ya se producen dados
  muy bien pulidos y equilibrados.

3
UNA HISTORIA Una historia sorprendente aparece
en el gran relato épico indio Mahábharata es la
historia de Nala. Kali, un semidiós se enfurece
cuando Nala gana en un juego de dados la mano de
una princesa, y en castigo Kali toma posesión del
cuerpo y alma de Nala y en una apuesta Nala
pierde su reino y vaga demente por años.
Posteriormente trabaja para un potentado,
Rtuparna, quien queda admirado de que Nala sepa
estimar el número de hojas y frutos de un árbol,
tan sólo examinando una pequeña parte. El lo
ayuda a recuperar su reino, lo que consigue Nala
en un nuevo juego de dados. El relacionar
las apuestas con la estimación no se haría en
Europa sino a partir del siglo XVII. Ian
Hacking, The Emergence of Probability, Cambridge
U.P. 1975
4
PARADOJAS Dilema del Prisionero
O
A
B
Uno de los tres prisioneros será condenado a
muerte y los otros dos serán liberados.
5
0 A B Caso 1 M L L Caso 2 L M
L Caso 3 L L M
Probabilidad (0 Muere)1/3
Información Un guardia le dice a 0 que B se
salva.
Cual es la Probabilidad que 0 muera?
6
La selección del guardia, que llamaremos Y se
hace así YB si A muere YA si B muere Si
A y B se salvan se tira una moneda y se elige A
ó B con probabilidad 1/2. Luego Probabilidad
YB1/2 Prob 0 muere, YB Prob 0 muere
Prob YB / 0 muera Prob 0 muere
ProbYB Deducción Probabilidad 0 muera /
YB Probabilidad 0 muera1/3 Probabilidad A
muera / YB 2/3 Luego a 0 no le conviene
intercambiar su suerte con A.
7
Paradoja del Tiempo de Espera DIVISIÓN DE UN ARO
0
El casino elige un punto. Se divide el aro en
dos partes, el casino se queda con la parte que
contiene el 0.
8

A
A
0
0
B
B
Pierde Casino
Gana Casino
9
EXPLICACION GEOMÉTRICA
A
A
0
0
B
A
A
B
0
0
B
Gana Casino
Pierde Casino
10
EXPLICACIÓN PROBABILISTA
Como esto no depende de la posición de 0, podemos
seleccionar 0 aleatoriamente después de
seleccionar A y B, por lo que 0 tendrá mayor
probabilidad de permanecer a intervalo más largo.
A
A
O
O
B
B
11
Paradoja de San Peterburgo
El Casino paga 2n si sale cara por primera vez
en la n-ésima tirada.
Cuánto esta dispuesto a pagar el jugador por
entrar al juego?
Sea X la ganancia. Su valor esperado, o media
teórica, es
(pues la probabilidad de que salga cara por
primera vez en la n-ésima tirada es 1/2n )
Sin embargo el jugador esta en general dispuesto
a pagar una cantidad modesta, que depende de su
propensión al riesgo.
12
CALCULOS PREVIOS Antes de Pascal habían
problemas para evaluar combinatorias simples de
dados. Por ejemplo en juegos a 3 dados se
discutía la frecuencia del 10 y el 12. 12 6
5 1 6 4 2 6 3 3 5 5 2 5 4 3 4 4 4 5
Combinaciones 6 6 3
3 6 1 24
Permutaciones 10 6 3 1 6 2 2 5 4 1
5 3 2 4 4 2 4 3 3 5
Combinaciones 6 3 6
6 3 3 27
Permutaciones Citemos como anécdota que
Galileo dio respuesta correcta a éste y otros
juegos, confirmando lo que ya era
experiencia.
Galileo Galilei 1564-1642
13
SIGLOS XVII, XVIII GRANDES NÚMEROS Apuestas
sobre duración de vida de grandes
personajes. Resolución de problemas prácticos
ligadas a tablas de mortalidad. Esperanza de
vida seguros. En general si Xn son variables
independientes con igual ley se cumple la ley de
grandes números
E(X)Esperanza de X o media Teórica.
14
TEOREMA DE LOS GRANDES NÚMEROS Xn
independientes Xn 1 con proba p Xn 0 con proba
1-p
Jacques Bernoulli 1654 - 1705
Jacques Bernoulli (capítulo 5, Parte IV del Ars
conjectandi ).
15
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL ERRORES
Xn independientes Xn 1 con proba p Xn 0 con
proba 1-p
Pierre-Simon Laplace 1749 -1827
Johann Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855
16
CAMPANA DE GAUSS
f(x)
 
x
Área
17
NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES
Hay dos jugadores. El total de lo apostado es
ganado por el jugador que gana por primera vez N
juegos. Supongamos que el primer jugador ha
ganado k juegos y el segundo j juegos y se
interrumpe la partida Cómo debe dividirse el
total entre ambos jugadores?
Blaise Pascal 1623 - 1662
18
PASEO ALEATORIO
S
t
t
St

Xi -1 probabilidad 1/2
Xi1 probabilidad 1/2
paseo aleatorio
St
19
SOLUCIÓN DE PASCAL
x
2N
k-j
t
kj
2N
-2N
Proba (ganar)
Proba (perder)1-Proba (ganar)
20
MOVIMIENTO BROWNIANO
(normalización del paseo aleatorio en tiempo y
espacio)

Norbert Wiener 1894-1964
Trayectorias continuas
21
Movimiento Browniano en el Plano evitando un
obstáculo acotado K
y
K
Pierre Collet Ecole Polytechnique
x
A modo de ejemplo de investigaciones nuestras
(P. C., S. M., J. S. M)
Núcleo del Calor en el Dominio
22
ORIGEN DEL AZAR Las probabilidades son la
ciencia de la incertidumbre, cuyo origen se
encuentra en Equilibrio inestable (Dado)
Sensibilidad a las condiciones iniciales (Dado,
Ruleta)
23
Complejidad de las causas mezcla (de cartas por
ejemplo).
Mezcla café y leche
Al abrirse compuerta el gas tiende a repartirse
al azar en todo el receptáculo.
24
TEOREMA DE BOLTZMANN
Densidad de moléculas velocidad v en tiempo t
Debido a choques de moléculas entre sí es 0
si f (v (t) ) es constante. Gracias a que las
moléculas de gas chocan aleatoriamente se
pueden formular leyes simples. Si éstas están
organizadas las leyes son más difíciles de
obtener.
Ludwig Boltzmann 1844 - 1906
25
Lema Recurrencia Poincaré
si medida A gt0.
HIPOTESIS ERGÓDICA
Henri Poincaré 1854-1912
Media Temporal
Media Espacial
Teorema de Von Neumann-Birkhoff la hipotesis
ergódica se verifica si no hay conjuntos
invariantes.
John von Neumann
1903-1957
26
INFORMACIÓN Y ENTROPÍA
Cinta
Es 0 ó 1
Información depende de las unidades de bits. Si
el mensaje es elegido de entre n mensajes
equiprobables, la información será I(n). Si
tengo dos mensajes independientes, uno elegido de
entre n mensajes y otro de entre m mensajes, la
información es I(n)I(m). Si I(n) crece con n se
deduce I(n) log2 n. Luego la información es el
número de bits con que se escribe un mensaje (2
mensajes caben en 1 bit 0 ó 1). Así I(2n)n.
27
Luego la entropía, que es la media de información
de un experimento será log2 n pues todos tienen
igual información. En general si se elige un
mensaje, siendo que el mensaje i tiene
probabilidad pi, la información es log 1/ pi y
la entropía es
Es fácil ver que H(p) log2 n, luego la
entropía se maximiza si las probabilidades son
iguales pi 1/n, i1,...n.
28
Izquierda
Empate
Derecha
9 monedas 8 son de peso igual, 1 de peso
distinto. Determinar en una balanza cual es la
moneda distinta y si es de peso mayor o menor
que el resto. Hay 18 permutaciones, luego
información
Cada pesada da información promedio
2 pesadas
, luego no se puede determinar. 3 pesadas
y efectivamente se
puede determinar cual es la moneda y si es más o
menos pesada.
Gordon Raisbeck. Théorie de l Information,
Masson, 1964.
29
SISTEMAS DE BERNOULLI (RULETAS)
1
1
F(x)
x
1
0
2 vueltas de ruleta
0
1
p1
p1
p2

Entropía
Ruleta generalizada
Entropía (K-S)
30
ENTROPIA EN TEORIA ERGODICA
Entropía es invariante de Sistemas dinámicos
abstractos corresponde a la información media
asintótica dada por el sistema en una unidad de
tiempo.
Para sistemas de Bernoulli se verifica que la
entropía es invariante completo
Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1903 - 1987
(D. Ornstein)
31
TEORIA DE PERCOLACIÓN
Harry Kesten Professor Emeritus of Mathematics
Cornell University
no hay cluster infinito
hay cluster infinito
Cuál es el valor de pc?
Qué ocurre en p pc?
32
REDES DE TELECOMUNICACIONES (Loss Networks)
R Conjunto de rutas
j3
r ruta determinada por enlaces que usa
j1
j2
La ruta r usa Ajr circuitos del enlace j. Por
ejemplo Cj número total de circuitos del
enlace j (capacidad). Si llega una llamada para
usar la ruta r, ésta se efectúa si hay al menos
Ajr circuitos disponibles del enlace j, si no
la llamada se pierde.
33
Punto fijo de Erlang
Si las llamadas que usan la ruta r llegan
aleatoriamente a tasa (esto es según un
proceso de Poisson). nr número de llamadas
que están usando la ruta r,
el vector de llamadas de las diferentes rutas.
Se verifica Probabilidad n
La distribución de equilibrio del sistema es
34
GENOMICA (Laboratorio de Bioinformática y
Matemáticas del Genoma)
Zonas codificantes y zonas no-codificantes tiene
distintas estructuras de memoria
35
Distribución Granulométrica Cantera
Sesgo en Estimación por Efecto Frontera
Las fotografías son analizadas con un marco,
hay dos granulometrías estudiadas por J. B. y S.
M. Una subestima y la otra subestima la
granulometría real (análogo Paradoja Tiempo de
Espera).
36
NUMEROS NORMALES
Casi todos los números
son normales, esto es
son variables independientes uniformes en
los dígitos 0, 1,..., 9
Es
3.14159..... un número normal?
PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS
Cuál es la probabilidad para que entre n
personas, haya al menos dos de ellas que cumplan
años el mismo día?
Sean
independientes uniformes en 1, 2,..., 365
Sea N el más pequeño tal que
Se dispone Applet Problema de Coleccionista de
Albúm.
37
PROBLEMAS QUE NO HEMOS TRATADO Probabilidades en
Ciencias Sociales Probabilidades
Subjetivas. Ejemplo Apuestas en Carreras de
Caballos.
Por una cabeza De un noble potrillo Que justo en
la raya Afloja al llegar.
Y que al regresar Parece decir No olvides,
hermano, Vos sabes no hay que jugar.
Basta de carrera Se acabo la timba, Un final
reñido Yo no vuelvo a ver.
Carlos Gardel. 1890 - 1935
Pero si algún pingo Llega a ser fija el
domingo Yo me juego entero que le voy a hacer
Extracto de Por una Cabeza (Tango de C.
Gardel y A. Lepera)