Simulaci

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Simulación Dr. Ignacio Ponzoni

• Clase IV Distribuciones Probabilísticas
• Departamento de Ciencias e Ingeniería de la
  Computación
• Universidad Nacional del Sur
• Año 2006

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Probabilidad y Estadística en Simulación

• El modelado de problemas reales requiere
  usualmente contemplar situaciones donde las
  acciones de algunos elementos del sistema NO se
  pueden predecir con total exactitud.
• En estos casos, la probabilidad y la estadística
  juegan un rol fundamental para construir buenos
  modelos.
• Principales usos en Simulación
• Modelar distribuciones probabilísticas de las
  variables aleatorias.
• Analizar los resultados de los experimentos de
  simulación.

3
Variables Aleatorias

• Sea S un espacio muestral sobre el que se
  encuentra definida una función de probabilidad.
• Y sea X una función de valor real definida sobre
  S, de manera que transforme los resultados de S
  en puntos sobre la recta de los reales.
• Se dice que X es una VARIABLE ALEATORIA.
• Una variable aleatoria se dice discreta cuando el
  conjunto de valores que puede tomar la variable
  es finito o infinito contable.
• Una variable aleatoria se dice continua cuando el
  conjunto de valores que puede tomar la variable
  es un intervalo o conjunto de intervalos formado
  por infinitos números.

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Distribuciones Probabilísticas

• Un aspecto clave en los problemas de simulación
  no determinísticos es contar con un buen
  conocimiento de las distribuciones
  probabilísticas que modelan las variables
  aleatorias.
• Existen dos tipos de distribuciones
• Continuas son definidas por su función de
  densidad de probabilidad.
• Discretas son definidas por su función másica de
  probabilidad.

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Función Másica de Probabilidadde una Variable
Aleatoria Discreta

• Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamará
  a p(x) ? P(X x) función de probabilidad de la
  variable aleatoria X, si satisface las siguientes
  propiedades
• 1. p(x) ? 0 para todos los valores x de X
• 2. ? x p(x) 1.
• La colección de pares (xi , p(xi ))
  correspondientes a los valores xi de X conforman
  la denominada función másica de probabilidad de
  la variable aleatoria X.

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Función de Probabilidad Acumulativade una
Variable Aleatoria Discreta

• La función de distribución acumulativa de una
  variable aleatoria discreta X es la probabilidad
  de que X sea menor o igual a un valor específico
  x y está dada por
• F(x) ? P(X ? x) ? x ? x p(xi )

i
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Función de Densidad de Probabilidad de una
Variable Aleatoria Continua
Si existe una función f(x) tal que para
cualesquiera a y b, entonces f(x) es la función
de densidad de probabilidad de la variable
aleatoria X.
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Función de Probabilidad Acumulativade una
Variable Aleatoria Continua
Sea X una variable aleatoria continua y sea f(x)
su función de densidad de probabilidad, la
función de probabilidad acumulativa de X es
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Esperanza de una Variable Aleatoria

• El valor esperado (o esperanza) de una variable
  aleatoria es un concepto muy importante en el
  estudio de las distribuciones probabilísticas.
• La esperanza de una variable aleatoria tiene sus
  orígenes en los juegos de azar, debido a que los
  apostadores deseaban saber cuál era su esperanza
  de ganar repetidamente un juego.
• En este contexto, el valor esperado representa la
  cantidad de dinero que el jugador está dispuesto
  a ganar o perder después de un número muy grande
  de apuestas.

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Ejemplo

• Suponga que un juego de azar consiste en lanzar
  una moneda tratando de obtener una cara, y
  asuma que se dispone de hasta tres intentos.
• El juego termina cuando
• se obtiene una cara en un lanzamiento, o
• se agotan los tres tiros,
• lo que suceda primero.
• Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento el
  jugador obtiene una cara, este gana 2, 4, 8
  respectivamente. Si no logra obtener una cara
  en ninguno de los lanzamientos, el jugador pierde
  20.

11
Ejemplo

• Si analizamos la probabilidad de cada resultado
  tenemos
• P(X 2) 1/2.
• P(X 4) 1/4.
• P(X 8) 1/8.
• P(X -20) 1/8.
• Luego, la esperanza es
• 2(1/2)4(1/4)8(1/8)-20(1/8) 0.50

12
Definición de Esperanza
En definitiva, el valor esperado o media de una
variable aleatoria X es el promedio o valor medio
de X y está dado por La media E(X) también
se denota con el símbolo ? .
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Otras Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Existen otras medidas descriptivas que también
  permiten obtener una mejor caracterización de una
  variable aleatoria y su distribución de
  probabilidad.
• Las medidas más empleadas
• Mediana
• Moda
• Varianza
• Desvío estándar

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Mediana y Moda

• La mediana es el valor x de X tal que la
  distribución probabilística acumulada en x es
  igual a 0,5.
• La moda es el valor que se presenta con mayor
  frecuencia dentro de una distribución
  probabilística o de una muestra.

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Medidas de Variación

• Cantidades que expresan el grado de variación de
  una variable aleatoria.
• Propiedades de una distribución de probabilidades
  o cálculo de muestras.
• Medidas de variación más empleadas
• Varianza
• Desviación

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Varianza y Desviación Estándar

• La varianza de una variable aleatoria es la media
  del cuadrado de la diferencia entre los valores
  de una variable aleatoria y su media, y se denota
  ?2 o V(X).
• Es de importancia fundamental en estudios
  estadísticos, brinda una medida de la dispersión
  de los datos.
• La varianza de una distribución discreta es
• La varianza de una distribución continua es
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la
  varianza, y se denota como ?.

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Parámetros de Distribuciones Probabilísticas

• Las funciones de densidad y de masa de
  probabilidades dependen de uno o más parámetros.
• Tipos de parámetros
• Parámetro de forma controla la forma básica de
  una distribución. Para ciertas distribuciones,
  cambios en el valor de este parámetro producen
  modificaciones significativas en la forma de la
  distribución.
• Parámetro de escala controla la unidad de medida
  dentro del rango de la distribución. Cambiando
  este parámetro la distribución se expande o
  contrae a lo largo del eje x.
• Parámetro de posición especifica la posición de
  la distribución relativa a cero sobre el eje x.
  Este parámetro puede representar el punto medio o
  el extremo inferior del rango de la distribución.

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Distribuciones ContinuasDistribución Uniforme

• Esta distribución caracteriza a las variables
  aleatorias en donde todos los posibles valores de
  la variables poseen igual probabilidad.
• Para una distribución uniforme con valor mínimo a
  y valor máximo b, la función de densidad de
  probabilidad es

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Distribuciones ContinuasDistribución Uniforme

• La función de probabilidad acumulativa es
• La media de la distribución uniforme es (ab)/2 y
  su varianza es (b-a)2/12.
• Parámetros
• De posición a
• De escala b-a
• De forma no posee.

20
Distribuciones ContinuasDistribución Uniforme

• Las funciones de generación de números aleatorios
  provistas por lenguajes de programación siguen
  generalmente una distribución uniforme donde a
  0 y b 1.
• Este tipo de distribución es frecuentemente
  elegida cuando hay poco conocimiento disponible
  sobre la variable aleatoria que se desea modelar.
  

21
Distribuciones ContinuasDistribución Uniforme

• Problema
• Un autobus arriba cada 20 minutos a una parada
  específica de su recorrido, el cual comienza a
  las 640 am y termina a las 840 am.
• Un pasajero que no conoce los horarios del
  autobus, arriba a una parada en forma aleatoria
  (siguiendo una distribución uniforme) entre las
  700 am y las 730 am cada mañana.
• Cuál es la probabilidad de que el pasajero deba
  esperar el autobus más de 5 minutos?

22
Distribuciones ContinuasDistribución Uniforme

• Solución
• El pasajero debe esperar más de 5 minutos sólo si
  arriba entre las 700 am y 715 am o entre las
  720 am y 730.
• Si la variable aleatoria X denota la cantidad de
  minutos (después de las 700 am) en que el
  pasajero arriba, luego la probabilidad que se
  desea conocer es
• P(0 lt X lt 15) P(20 lt X lt 30)
• Como X es uniforme con a 0 y b 30, la
  probabilidad es

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Distribuciones ContinuasDistribución Normal

• Es una distribución simétrica con forma de
  campana.
• La mediana es igual a la media en esta
  distribución.
• El rango de la variable no está limitado.
• La densidad se concentra en torno a la media.
• Parámetros
• De posición media, ?.
• De escala varianza, ?2.

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Distribuciones ContinuasDistribución Normal

• La función de densidad de probabilidad para la
  distribución normal es
• Se emplea para modelar
• Errores y fallas en procesos.
• Tiempos de procesamiento
• en sistemas de servicios.

? 0, ?2 1
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Distribuciones ContinuasDistribución Normal

• Función de probabilidad acumulativa es
• Transformando variables

? 0, ?2 1
F(x)
donde z (t µ)/s
x
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Distribuciones ContinuasDistribución Normal

• Ejemplo
• El tiempo que se tarda en carga el tanque de un
  barco sigue una distribución N(12,4) media 12
  y varianza 4.
• La probabilidad de que el tanque este lleno en al
  menos 10 horas es F(10), donde
• El valor de ?(-1) se obtiene por tabla usando
  simetría.

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Distribuciones ContinuasDistribución Triangular

• Esta distribución es definida mediante 3
  parámetros
• mínimo a,
• máximo b,
• intermedio c.
• Los valores más cercanos a c son los que poseen
  mayor probabilidad, mientras que los valores
  próximos a los extremos tienen menos probabilidad.

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Distribuciones ContinuasDistribución Triangular

• Función de densidad de probabilidad
• Parámetros
• De posición a
• De escala b-a
• De forma c

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Distribuciones ContinuasDistribución Triangular

• La función de distribución de probabilidad
  acumulativa es
• La media se computa como (abc)/3, y la varianza
  como (a2b2c2-a.b-a.c-b.c)/18
• Esta distribución es usada para aproximar otras
  distribuciones, tales como la normal, cuando los
  datos son insuficientes.

30
Distribuciones ContinuasDistribución Triangular

• Problema
• Los requerimientos de una central de
  procesamiento, para programas que debe ejecutar,
  sigue una distribución triangular con a 0.05
  seg., b 6.5 seg., y c 1.1 seg.
• Determine la probabilidad de que un requerimiento
  de CPU para un programa sea de a lo sumo 2.5 seg.
  
• Solución

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Distribuciones ContinuasDistribución Exponencial

• Esta distribución modela eventos recurrentes en
  el tiempo.
• Se utiliza frecuentemente para modelar los
  tiempos entre arribos y tiempos de servicio con
  alto nivel de variabilidad. También se emplea
  para modelar tiempos entre fallas de máquinas y
  dispositivos eléctricos o mecánicos que fallan
  catastróficamente (instantáneamente).
• Una propiedad clave de esta distribución es que
  no posee memoria, esto quiere decir que lo
  sucedido antes del tiempo actual no afecta a los
  futuros valores de la variable aleatoria.

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Distribuciones ContinuasDistribución Exponencial

• Función de densidad de la
  distribución de
  probabilidades
• Función de distribución de
  probabilidades acumuladas
• Media Varianza
• Parámetro de escala ?
• (también denominado tasa de fallas)

F(x)
x
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Distribuciones ContinuasDistribución Exponencial

• Ejemplo
• Suponga que la vida útil de una lámpara
  industrial, en el orden de las miles de horas,
  sigue una distribución exponencial con una tasa
  de fallas ? 1/3 (es decir, una falla cada 3 mil
  horas).
• Luego, la probabilidad de que una lámpara supere
  su tiempo medio de vida es
• P(variable gt 3) 1 - F(3) 1 (1 e -3/3) e
  -10.368
• Nótese que la probabilidad de sobrevivir el
  tiempo medio de vida es siempre 0.368,
  independientemente del valor de ?.

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Distribuciones ContinuasDistribución Exponencial

• La probabilidad de que la lámpara funcione entre
  2000 y 3000 horas es
• La propiedad de no poseer memoria significa que
  si tenemos dos tiempos s ? 0 y t ? 0, luego
• P(variable gt ts, sabiendo que variable gt s)
  P(variable gt t)
• Esto significa que si la variable representa el
  tiempo de vida de una lámpara en horas, luego
  la probabilidad de que la lámpara siga
  funcionando ts horas, sabiendo que ya estuvo
  operativa durante s horas, es igual a la
  probabilidad de que una lámpara nueva funcione
  correctamente durante t horas.

F(3) - F(2) (1 e-3/3) - (1 e-2/3) -0.368
0.513 0.145
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Distribuciones DiscretasDistribución de Bernoulli

• Una variable que sigue esta distribución tiene
  dos posibles valores 1 (éxito) y 0 (fracaso).
• La función másica de probabilidad es
• Esta distribución sirve para modelar fenómenos en
  donde sólo existen dos alternativas o
  posibilidades. Sirve por ejemplo, para modelar
  una distribución de datos obtenidos a partir de
  respuestas (por SÍ o por NO) en encuestas.

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Distribuciones DiscretasDistribución Binomial

• Modela n experimentos independientes de la
  distribución de Bernoulli.
• La probabilidad de obtener x éxitos en n intentos
  es
• donde n es la cantidad de experimentos y
• p la probabilidad de éxito.
• La media es n.p y la varianza es n.p.(1-p)
• Esta distribución se utiliza por ejemplo para
  modelar los resultados de inspecciones en una
  operación de producción o para analizar los
  efectos de una droga experimental sobre una
  determinada cantidad de pacientes.

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Distribuciones DiscretasDistribución de Poisson

• Esta distribución es muy útil para modelar
  variables aleatorias que representan la
  probabilidad de que ocurra cierta cantidad de
  eventos independientes a una velocidad constante
  en el tiempo.
• Por ejemplo, cantidad de eventos de arribos que
  ocurren en un determinado tiempo en sistemas de
  colas, el número de errores por línea en el
  código de un programa, etc.

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Distribuciones DiscretasDistribución de Poisson

• La función másica de probabilidad de Poisson es
• ? es la cantidad de eventos que ocurre en
  promedio en una unidad de tiempo.
• La media y la varianza de esta distribución es ?.

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Distribuciones DiscretasDistribución de Poisson

• Problema
• Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa
  efectuada sobre un tipo componente electrónico,
  el fabricante determina que en promedio, sólo
  fallarán dos componentes antes de tener 1000
  horas de funcionamiento.
• Cuál es la probabilidad de que fallen 5 o más
  componentes en un período de 1000 horas?

Solución
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Funciones de Conteo

• En ciertos casos, queremos analizar el número de
  eventos que ocurren durante un determinado
  intervalo de tiempo.
• En tales casos, podemos definir una función de
  conteo N(t) definida para todo t? 0.
• Esta función representará el número de eventos
  que ocurren en el período 0, t.
• Luego, N(t) es una variable aleatoria cuyo rango
  es el conjunto de los números enteros no
  negativos.

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Procesos de Poisson

• Un proceso de conteo de arribos, N(t), t? 0 ,
  es un Proceso de Poisson con tasa ? si se
  verifican las siguientes condiciones
• 1. Los arribos ocurren de a uno por vez.
• 2. N(t), t? 0 tiene incrementos estacionarios
  la distribución de la cantidad de arribos entre t
  y ts depende sólo de la longitud de s y no del
  tiempo inicial t.
• 3. N(t), t? 0 tiene incrementos independientes
  el número de arribos en intervalos de tiempo que
  no se solapan constituyen variables aleatorias
  independientes.
• Si los arribos siguen un proceso de Poisson,
  entonces

42
Procesos de Poisson

• Problema
• Los clientes arriban a un banco siguiendo una
  tasa de 2 por hora.
• Cuál es la probabilidad de que arriben 8
  clientes durante el transcurso de las próximas 3
  horas?

Solución
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Probabilidad del Primer Arribo

• Supongamos que A1 representa el tiempo en que
  ocurre el primer arribo en un proceso de Poisson.
• Luego, la probabilidad de que el A1 ocurra
  después de un tiempo t es igual a la probabilidad
  de que no hayan arribos el intervalo de tiempo
  0, t.
• En nuestra notación tenemos que
• P(A1 gt t) PN(t) 0 e-?t
• Pero entonces, la probabilidad de que el primer
  arribo ocurra en el período 0, t es 1- P(A1 gt
  t) 1 - e-?t.

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Otras Distribuciones Probabilísticas

• Continuas
• Lognormal
• Gamma
• Erlang
• Weibull
• Beta
• Discretas
• Geométrica

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Recomendaciones

• Lectura recomendada para los temas vistos en
  clase
• Capítulo 3 del libro Introduction to Simulation
  and Risk Analysis de Evans y Olson.
• Capítulo 5 del libro Discrete-Event System
  Simulation de Banks, Carson, Nelson y Nicol.
• Ejercitación propuesta
• Trabajo Práctico 3 Nociones Básicas de
  Probabilidad y Generación de Numeración
  Aleatorios.