DIC9315, Sujets sp

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DIC9315, Sujets spéciaux en intelligence
artificielle et reconnaissance des
formesIntroduction à la logique floue

• Mounir Boukadoum

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Et si Bouddha avait raison ?

•  Tout doit toujours être ou ne pas être 
• Aristote
•  Le monde nest ni éternel ni éphémère, ni fini
  ni infini 
• Bouddha
• Corollaire  Rien dans le monde, objet ou
  événement, ne serait vrai ou faux sil nexistait
  pas de créatures pensantes  Donald Davidson

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Flou ne signifie pas imprécis ou inconnu!
Exemple X taille dune personne
exprimée par une variable t ?X(t) vraisemblance
de t par rapport à X
X est imprécis si ?X(t) 1 pour t dans t0, t1,
0 ailleurs
X est flou si ?X(t) ?0, 1 pour t dans un
intervalle donné
X est inconnu si ?X(t) 1 pour toute valeur de t
X est précis Si ?X(t)1 pour la valeur donnée et
0 autrement
?X(t)
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Jalons historiques

• Années 1930, Jan Lukasiewicz
• Logique à valeurs multiples des valeurs dans
  lintervalle 0,1 représentent la possibilité
  quune affirmation soit vraie ou fausse.
• Si 0.86 exprime le degré de possibilité quun
  homme de taille 1.81 m soit très grand, il est
  vraisemblable quil lest.
• A mené au paradigme de la théorie des
  possibilités.
• 1937 Max Black
• Un continuum de valeurs logiques implique des
  degrés sémantiques.
• Une chaise ressemble à une autre chaise moins
  parfaite, qui ressemble à une chaise encore moins
  parfaite, qui ressemble à un tronc darbre.
• On peut donc définir un degré de chaiseté.
• 1965 Lotfi Zadeh publie fuzzy sets où Il étend
  la théorie des possibilités à un système logique
  formel dans lequel sont utilisés des termes tirés
  du langage naturel. La manière de traiter les
  termes est appelée fuzzy logic.

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Flou mais logique !

• Logique floue
• Ensemble de principes mathématiques pour la
  représentation et la manipulation des
  connaissances en se basant sur des degrés
  dappartenance compris dans 0,1
• Lotfi Zadeh publie, en 1973 , un autre article
  qui montre comment capturer la connaissance
  humaine à laide de règles floues.

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Que vaut une affirmation floue ?

•  Il fait chaud aujourdhui
• Chaud ?
• Cest une question dappréciation
• T50oC Vous aimez les euphémismes !
• T40oC un peu trop à mon goût !
• T30oC oui
• T20oC un peu
• T10oC Ouin !
• T 0oC Pour un Canadien, peut-être !
• T-10oC Vous voulez rire !
• On peut trancher en associant un degré de vérité
  à chaque valeur de T relativement à  chaud 

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Degré de vérité dune affirmation

• En logique binaire, une affirmation est vraie ou
  fausse son degré de vérité vaut 1 ou 0.
• Valeur Signification
• 1 Absolument vrai
• 0 Absolument faux
• En logique floue, une affirmation est plus ou
  moins vraie (donc, plus ou moins fausse) son
  degré de vérité varie entre 0 et 1.
• Degré de vérité Signification
• 0.0 Absolument faux
• 0.2 Plutôt faux
• 0.4 Quelque peu faux
• 0.6 Quelque peu vrai
• 0.8 Plutôt vrai
• 1.0 Absolument vrai

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Exemple

• Température T Degré de vérité pour CHAUD
  ?Chaud(T)
• lt-10oC 0.0
• -5oC 0.1
• 0oC 0.2
• 5oC 0.3
• 10oC 0.4
• 15oC 0.5
• 20oC 0.6
• 25oC 0.7
• 30oC 0.8
• 35oC 0.9
• gt40oC 1.0

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Exemple continué

• On peut résumer le tableau par le tracé dune
  fonction dappartenance
• La fonction dappartenance formalise la relation
  entre les valeurs précises (mesurées, calculées,
  etc.) dune variable dentrée/sortie et un label
  flou (dit aussi valeur symbolique ou linguistique
  e.g. CHAUD)
• Une variable de/s peut être associée à plusieurs
  labels Lensemble des labels définit alors les
  valeurs floues (linguistiques) de la variable.
• Pour chaque label, la fonction dappartenance
  représente le degré de vérité des valeurs
  précises dune variable de/s par rapport au
  label.

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Éléments dun ensemble flou

• Un système à logique floue comprend 
• Des variables de/s,
• Des labels qui représentent les valeurs floues de
  chaque variable,
• Des fonctions qui définissent le degré
  dappartenance des valeurs des variables aux
  labels.
• Une valeur mesurée peut appartenir à plusieurs
  labels, avec des degrés divers. Par exemple, pour
  T6 oC et T30 oC on a
• FROID(6) .6, TIÈDE(6) .05, CHAUD(6)0
• FROID(30) 0, TIÈDE(30).3, CHAUD(30).8

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Petit détour formel

• Un ensemble flou A sur un univers de discours X
  est un ensemble de paires ordonnées

Fonction dappartenance (FA)
Univers de discours
Ensemble flou

• A est tel que tout x en est membre à un degré
  entre 0 et 1
• A est entièrement caractérisé par sa fonction
  dappartenance
• Concrètement, A est un attribut qualitatif
  (valeur floue ou linguistique) que lon associe
  avec les valeurs précises dune variable
  numérique x

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Petit détour formel II

• Une variable floue (dite aussi linguistique) est
  un quintuplet
• x, T(x), X, G, M où
• x est le nom de la variable ex. âge
• T(x) est lensemble de ses valeurs
• ex. T(âge) jeune, moins jeune,
  très jeune, ...
• X est lunivers de discours ex. X 0-100
• G est une règle syntaxique qui définit
  lensemble T(x)
• M est une règle sémantique qui associe un
  ensemble flou avec chaque élément de T(x)
• ex. M(jeune), M(vieux))

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Petit détour formel III

• Une relation floue R est un ensemble flou défini
  sur le produit cartésien de deux univers de
  discours X et Y
• Permet dexprimer une relation qualitative entre
  deux variables numériques
• x est près de y (nombres)
• x dépend de y (évènements)
• x et y se ressemblent (personnes ou objets)

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Petit détour formel (le dernier ! ?)

• Répartition floue distribution des ensembles
  flous sur lunivers de discours
• Exemple Répartition floue des valeurs
  linguistiques jeune, ni jeune ni vieux, et
  vieux

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Opérations en logique floue

• Le langage humain comprend aussi bien des
  affirmations simples ( Le taux de chômage est
  élévé ) que composées ( La crise économique est
  sévère et ET les différentes communautés en
  souffrent pareillement )
• Comment évaluer le degré de vérité dune
  affirmation composée ?
• Affirmation Degré de vérité
• (fonction dappartenance)
• X ?(X)
• Y ?(Y)
• X ET Y min(?(X), ?(Y))
• X OU Y max(?(X), ?(Y))
• non-X 1- ?(X)

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Exemples dopérations floues

• X  La température est élevée 
• Y  La couche de glace est faible 

Logique binaire Logique binaire Logique floue Logique floue
X Y X?Y XY X?Y XY
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0
0.7 0.7 0.7 0.5 1 0.8 0 0.5 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.7 0.7 0 0.5 1 0.8 0.7 0.5
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Règles dinférence floues

• Syntaxe identique à celle de la logique binaire
• SI ltconditiongt ALORS ltconséquencegt
• ltconditiongt est une affirmation simple ou
  composée.
• Ex. Régulateur de température dont les variables
  sont
• temp la température ambiante
• vac vitesse de rotation dun ventilateur dair
  chaud
• vaf vitesse de rotation dun ventilateur dair
  frais
• Les règles dinférence peuvent être
• Si temp est haute alors vac est nulle
• Si temp est haute alors vaf est grande
• Si temp est basse alors vac est grande
• Si temp est basse alors vaf est nulle

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Propriétés des règles floues

• Lévaluation des règles se fait sur les valeurs
  des ?() et non sur les valeurs des variables
  de/s.
• Lorsquon a des conditions composées, on peut
  regrouper les règles dans une table, la matrice
  cognitive floue ( Fuzzy Cognitive Matrix  ou
  FCM).
• La variable conditionnelle sert à prendre une
  décision (commander un actueur, tirer une
  conclusion, classer une entrée, etc.) et les
  variables indépendantes sont tirées de valeurs
  mesurées (valeurs de ?() correspondantes).

Valeurs de la variable indépendante 1
valeurs de la valeur indépendante 2 Valeurs de la variable conditionnelle
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Étapes de conception dun système
dinférence/commande à logique floue

1. Identifier les variables significatives dentrée
   et de sortie
2. Définir les valeurs linguistiques de chacune
3. Pour chaque variable dentrée, définir une
   fonction dappartenance pour chacune de ses
   valeurs linguistiques
4. Concevoir une collection de règles floues
    si-alors  permettant dévaluer les valeurs
   linguistiques des variables de sortie
5. Choisir une méthode de conversion des valeurs
   linguistiques de sortie obtenues en valeurs
   précises.

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Exemple dapplication Système de commande dun
pendule inversé
Il sagit de déplacer le chariot de manière à
maintenir le pendule à la verticale (?0).
Lapproche classique nest pas évidente !
La solution exacte Résoudre le système
déquadiffs couplées Good luck !
La solution floue Pousser le chariot à gauche
ou à droite en sens inverse du signe de q,
 proportionnellement 
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1. Choix des variables de/s

• Donc, deux variables dentrée, ? et ?, et une
  variable de sortie v les variables floues
  correspondantes portent les mêmes noms.

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2 Choix des valeurs linguistiques

• Il sagit de regrouper des règles de la forme
   Si ? est X1 et ? est X2, alors v est Y  en une
  matrice cognitive floue.
• Exemple de définition des valeurs X1 ,X2 et Y
• Nom Signification
• TN Très négatif
• MN Moyennement négatif
• PN Peu négatif
• PP Peu Positif
• MP Moyennement positif
• TP Très positif

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4. Choix des fonctions dappartenance

• En général, on choisit des fonctions
  dappartenance de forme triangulaire ou
  trapézoïdale. Cela simplifie les calculs.

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3. définition des règles dinférence

• On pourrait alors définir la matrice cognitive
  suivante
• Les intersections des valeurs linguistiques de ?
  et de ? définissent les valeurs linguistiques de
  sortie correspondantes (en termes de ?)
• Pour chaque valeur linguistiques de sortie, on
  retient le ?max correspondant

? ? ? ? ? ?
TN MN PN PP MP TP
? TN TN TN TN TN MN PN
? MN TN TN TN MN PN PP
? PN TN TN MN PN PP MP
? PP MN PN PP MP TP TP
? MP PN PP MP TP TP TP
? TP PP MP TP TP TP TP
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5. Détermination des valeurs de sortie précises
correspondant à ?

• On détermine le degré de vérité de chaque valeur
  linguistique de sortie possible on prend ensuite
  la valeur pondérée des résultats (inférence de
  Sugeno).
• Pour chaque valeur mesurée de ? et de ?
• On détermine ses degrés dappartenance à TN, MN,
  PN, PP, MP et TP
• On applique les règles dinférence floues aux
  résultats afin dobtenir les degrés
  dappartenance correspondants pour les
  différentes valeurs linguistiques de v (on prend
  ?max pour chacune)
• On calcule la moyenne pondérée des résultats

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Exemple de valeur  déflouïfiée 

• Ex. Deux valeurs mesurées de ? et de ? donnent
• Valeur de sortie (?max)
• TN 0
• MN 0
• PN 0.5
• PP 1
• MP 1
• TP 0.5
• On obtient par la méthode du centre de gravité
  (en supposant que chaque valeur en abscisse
  correspond à une valeur précise)

v (0x0)(0x64)(0.5X112)(1X132)(1X196)(0.5X2
55)/6 164
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Logique Floue et Probabilité

• Les bouteilles deau de Bezdek
• Pliquides potables
• ?0.91 signifie que la bouteille contient
  vraisemblablement de leau, et cela même après
  avoir ouvert la bouteille.
• p0.91 signifie dit que la bouteille contient
  de leau dans 91 des cas on peut trouver un
  liquide totalement différent en ouvrant la
  bouteille.
• ? est le même a priori et a posteriori P vaut 0
  ou 1 à lobservation

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Répartition floue

• La répartition des valeurs linguistiques peut ne
  pas être homogène

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Composition Max-Min

• La composition max-min de deux relations floues
  R1 (sur X et Y) et R2 (sur Y et Z) est définie
  par

• Propriétés
• Associativité
• Distributivité sur lunion
• Distributivité faible sur lintersection
• Monotonie

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Modificateurs Linguistiques

• Modifient le sens dune valeur linguistique en
  jouant sur sa fonction dappartenance
• Trois types basiques

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Modificateurs flous 1/2

• En général, jouent un rôle similaire à celui dun
  adverbe dans la langue naturelle

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Modificateurs flous 2/2
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Règle compositionnelle dinférence floue

• y f(x) gt y b si x a,

y
y
b
b
y f(x)
y f(x)
a
a
x
x
a et b points y f(x) une courbe
a et b intervalles y f(x) une fonction
dintervalles de valeurs