TEMA N

1
TEMA Nº 1

• Conjuntos numéricos

2
Aprendizajes esperados

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
  numéricos en sus diversas formas de expresión,
  tanto en las ciencias exactas como en las
  ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

• Percibir la matemática como una disciplina en
  evolución y desarrollo permanente.

• Aplicar la operatoria básica en los números
  naturales y enteros.

3

• Aplicar las operaciones básicas y propiedades de
  los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con
  números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

4
Conjuntos Numéricos

1. Números Naturales

1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
3. Números Enteros
3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones
5
4.Números racionales (Q)
4.1 Propiedades de los racionales
4.2 Operatoria en los racionales
4.3 Transformaciones de números racionales
4.4 Comparación de fracciones
4.5 Secuencia numérica
5. Números irracionales (Q)
6. Números reales ( IR )
7. Números imaginarios ( II )
6
1. Números Naturales (N)
Conjunto de la forma IN 1, 2, 3, 4, 5, ,
conjunto infinito.

• 1.1 Consecutividad numérica

• Sucesor

Todo número natural tiene un sucesor, y se
obtiene sumando 1 al número, es decir
Si n pertenece a IN, su sucesor será n 1.
7

• Antecesor
• Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un
  antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es
  decir Si n pertenece a IN, su antecesor será n
  - 1

Naturales Consecutivos
n - 1
n 1
n
antecesor
sucesor
8

• 1.2 Paridad e imparidad

• Números Pares 2, 4, 6, 8, 10, 2n
• Son de la forma 2n, con n en los naturales.

Sucesor par Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su sucesor es
2n2.
Antecesor par Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su antecesor
es 2n-2.
2n - 2
2n 2
2n
Antecesor par
Sucesor par
9

• Números Impares 1, 3, 5, 7, 9 ,2n-1
• Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es
2n-1, entonces su sucesor es 2n1.
Sucesor impar
Antecesor impar
Se obtiene restando 2 al número. Si el número
es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.
2n - 3
2n 1
2n -1
Antecesor impar
Sucesor impar
10

• 1.3 Números Primos

Son aquellos números que son sólo divisibles por
1 y por sí mismos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Nota El 1 no es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores

• Múltiplos
• Se llama múltiplo de un número, aquel que se
  obtiene al multiplicar dicho número por otro
  cualquiera.

Por ejemplo 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.
11

• Divisores
• Se llama divisor de un número, aquel valor
  que lo divide exactamente.
• (Está contenido en él, una cantidad exacta de
  veces)

Por ejemplo
Los divisores de 24 son los números que lo
dividen exactamente 1, 2, 3,
4, 6, 8, 12 y 24
Nota El 5 no es divisor de 24, ya que al
dividir 24 por 5 resulta 4,8.
12

• Mínimo Común Múltiplo
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más
  números, corresponde al menor de los múltiplos
  que tienen en común.

Ejemplo
-Algunos múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15,
18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,, 60
-Algunos múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30,
36, 42, 48, 60
-Algunos múltiplos de 15 son 15, 30, 45, 60,
75,
13
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los
múltiplos que tienen en común, 30 es el menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a
través del siguiente método
Se divide por números primos hasta que en cada
columna quede 1, y el producto de ellos
corresponde al m.c.m.

• 6 15 3
• 2 5 2
• 1 5 5
• 1

m.c.m. 3 2 5 30
14

• Máximo Común Divisor
• El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más
  números, corresponde al mayor número que los
  divide simultáneamente.

Ejemplo
-Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,
18, 36
-Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18
-Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
24
15
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los
divisores que tienen en común, 6 es el mayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a
través del siguiente método
Se divide por números primos que sean divisores
de cada número, hasta que ya no se pueda dividir
a todos en forma simultánea.
36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4

M.C.D. 2 3 6
16

• 1.6 Operaciones en IN

• Adición, sustracción, multiplicación y división
• Esta información se encuentra en tu libro en la
  página 18.

Propiedades de la Adición
a) Clausura
La suma de dos números naturales es siempre un
natural.
b)Conmutativa
Si a y b son números naturales, entonces se
cumple que
a b b a
Por ejemplo 12 5 5 12
17
c) Asociativa
Si a, b y c son números naturales, entonces se
cumple que
a (bc) (ab) c
Ejemplo 13 (59) (135) 9
13 (14) (18) 9 27
27
Nota En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación
a)Clausura
El producto de dos números naturales es siempre
un natural.
18
b)Conmutativa
Si a y b son números naturales, entonces se
cumple que
ab ba
Por ejemplo 345 534
170 170
Si a, b y c son números naturales, entonces se
cumple que
c) Asociativa
a (bc) (ab) c
Por ejemplo 4 (53) (45) 3
4 (15) (20) 3
60 60
Nota El elemento neutro de la multiplicación es
el 1.
Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.
19
2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma IN0 0, 1, 2, 3, 4, 5,
, conjunto infinito.

• 2.1 Operaciones en IN0

• Adición, sustracción, multiplicación y división

En este conjunto se cumplen las mismas
propiedades que en los naturales. La diferencia
es que incluye al cero, y por tal razón posee
elemento neutro aditivo.
Si a es un número cardinal, entonces
a 0 0 a a
20
3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma Z , -4, -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, 4, 5, , infinito.
Z Z- U IN0
Se puede representar como
Z Z- U 0 U Z
Recta numérica
Z-
Z
21
Valor absoluto
El valor absoluto de un número representa la
distancia del punto al origen (cero de la recta
numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al
origen es cinco unidades, igual que la distancia
del -5 al origen. La notación es 5 5 y
-5 5
Luego,
-20 20
34 34
-12 12
22
3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones en los enteros, debemos considerar
algunas reglas con respecto a los signos
Si a y b son números enteros entonces, se cumple
que
a) a -b a b
Ejemplo
5 - 9 5 9 -4
b) a (-b) a b
Ejemplo
12 (-8) 12 8 20
23
c) Al sumar enteros de igual signo, éste se
mantiene.
Ejemplo
25 8 33
-5 - 9 -14
d) Al sumar enteros de distinto signo, se
calcula la diferencia entre sus valores
absolutos, conservando el signo del mayor.
Ejemplo
-10 7 -3
75 -9 66
24
e) Si a y b son dos números enteros de igual
signo (positivos o negativos), entonces
- El producto y el cuociente entre ellos es
positivo.
Ejemplo
-42 -8 336
28 7 4
f) Si a y b son dos números enteros de distinto
signo, entonces
- El producto y el cuociente entre ellos es
negativo.
Ejemplo
37 -5 -185
125 -5 -25
25
3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la
propiedad Conmutativa y Asociativa.
Ejemplo
(-3) 2 2 (-3) -1 -1
La suma en los números enteros tiene elemento
neutro el cero.
Ejemplo
(-8) 0 -8
26
3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los
enteros, hay operaciones que tienen prioridad
sobre otras. Existe un orden para resolver
ejercicios como
-5 15 3 - 3 ?
Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que
involucran paréntesis y operaciones combinadas es
1 Paréntesis
2 Potencias
3 Multiplicación y/o división (de izquierda a
derecha)
4 Adiciones y sustracciones
27
Resolver
-5 15 3 - 3
-5 5 3
0 3
3
28
4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que se
pueden escribir como fracción, es decir
a numerador y b denominador
Ejemplos
29
Todo número entero es racional.
30
Diagrama representativo
31
4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del
libro)

• Amplificar y simplificar fracciones

Amplificar una fracción, significa multiplicar,
tanto el numerador como denominador por un mismo
número.
Ejemplo

32
Simplificar una fracción, significa dividir,
tanto el numerador como denominador por un mismo
número.
Ejemplo

• Inverso multiplicativo o recíproco
  de una fracción

Ejemplo
es
33
4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del
libro)

• Suma y resta

Ejemplos
1. Si los denominadores son iguales


y
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del
otro


34
3. Si los denominadores son primos entre sí


4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.)


35

• Multiplicación

Ejemplo
-

• División

Ejemplo

• Número Mixto

Ejemplo
8
36
4.3 Transformación de números racionales
(pág. 24 del libro)

• De fracción a decimal

Se divide numerador por denominador.
Ejemplo

• De decimal finito a fracción

El numerador corresponde al número sin coma, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
Ejemplo
37

• De un número decimal periódico a fracción

1. El numerador de la fracción es la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma, y
la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves
(9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
38

• De un número decimal semi periódico a fracción

1. El numerador de la fracción corresponde a la
diferencia entre el número decimal completo, sin
la coma y la parte entera incluyendo las cifras
del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves
(9), como cifras tenga el período, y seguido de
tantos ceros (0), como cifras tenga el ante
período.
Ejemplo
Nota Se llama ante período a los números que
hay entre la coma, y el período.
39
4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)

• Multiplicación cruzada

Ejemplo
13 10 y 15 9
130 y 135
Como 130 lt 135, entonces
lt
40

• Igualar denominadores

Ejemplo
y
y
Como 52 gt 35, entonces
gt
41

• Transformar a decimal

Ejemplo

0,86666666

0,58333333
gt
, entonces
42
4.5 Secuencia Numérica
Ejemplo
En la secuencia
Respuesta
Es decir
43
Observación
La secuencia anterior también se puede analizar
de la siguiente manera
... ,
... ,
1
2
3
4
7
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
cuál es el valor del n-ésimo término de la
secuencia?
Respuesta
(Con n posición del término)
44

5. Números Irracionales (Q)
Son aquellos que NO se pueden escribir como una
fracción (decimales infinitos NO periódicos).
Q
45
Es el conjunto formado por la unión entre los
números racionales y los números irracionales.
Ejemplos
23,491002
3,
-89,
Diagrama representativo
46

7. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
Ejemplo
Raíces de índice par y parte subradical negativa
47

8. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por la unión entre los
números reales y los números imaginarios.
5,
Ejemplos
-68,
Diagrama representativo
48
Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.