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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME
CONSIDERAZIONI .
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Argomenti della lezione

• Generalità sulle equazioni differenziali.

• Alcuni tipi dequazioni del primordine.

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GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Molti problemi di tipo fisico-tecnico o
geometrico, conducono a considerare equazioni
nelle quali intervengono come incognite i valori
di una funzione y(x) e delle sue derivate y,
y,..
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Abbondano gli esempi
1) Equazione dun semplice circuito elettrico in
serie
V(t) R i(t) L di/dt
Qui la funzione incognita è i(t).
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2) Traiettoria di un galleggiante che si muove
nella corrente di un fiume.
In ogni punto di un insieme aperto A ? R2 che
rappresenta la superficie di un tratto del fiume
è assegnata una direzione di moto (un campo di
direzioni).
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y(x) f(x,y)
Si cerca la traiettoria del galleggiante che,
partendo da una posizione iniziale (x0,y0) si
muove in modo che il suo moto sia
sempre tangente alla corrente.
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y0
x0
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3) Data una famiglia di curve piane dipendenti
da un parametro f(x,yc)0, trovare lequazione
differenziale della famiglia.
Si ottiene, in condizioni favorevoli, eliminando
la costante c dalle equazioni
f(x,yc) 0
fx(x,yc) fy(x,yc) y 0
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Per esempio, la famiglia delle circonferenze con
centro sullasse x e passanti per lorigine
(x-a)2 y2 a2
ha equazione differenziale
y2 - x2 - 2 x?y?y 0.
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Data f A ? Rn2 ? R, A aperto, unequazione del
tipo
f(x,y,y,,y(n)) 0
si dice unequazione differenziale dordine n se
f dipende effettivamente da y(n).
Lequazione si dice di forma normale se è risolta
nella derivata dordine massimo
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y(n) f(x,y,y,,y(n-1))
Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e
che sostituita nell equazione differenziale la
soddisfi identicamente si dice una soluzione o
integrale dellequazione.
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Un problema tipico che si pone per equazioni
differenziali del primordine o per sistemi
dequazioni del primordine è il Problema di
Cauchy o ai valori iniziali
trovare y(x) definita su un intervallo I, con x0
? I, tale che
(1)
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Vale in proposito il seguente
Teorema
Se f A ? R2 ? R è continua, allora
esistono h gt0 e y x0 - h,x0 h
soluzione del problema. Se fy A ? R2 ? R
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esiste ed è continua, allora
la soluzione è unica.
Ci occuperemo ora della soluzione di alcuni tipi
particolari dequazioni del primordine.
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ALCUNI TIPI PARTICOLARI DEQUAZIONI
DIFFERENZIALI DEL PRIMORDINE
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Equazioni a variabili separabili.
Sono le equazioni del tipo
con g(x) definita e continua su un intervallo I
di R e h(y) di classe C1(J) su J intervallo di
R. (A I ? J)
Sotto queste condizioni il problema di Cauchy ha
una e una sola soluzione locale
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Se h(y0) 0, allora y(x) ? y0, cioè la
soluzione è la funzione costante.
Se h(y0) ? 0, allora la soluzione non sannulla
in alcun punto.. (perché?)
Dividendo la (2) per h(y) ? 0, si trova
y(x)/ h(y(x)) g(x)
e quindi.. (calcoli a parte)
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Esempio
y y2
È interessante notare che la soluzione non è
definita su tutto R, benché f(x,y)sia definita in
R2.
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Equazioni omogenee.
Sono le equazioni del tipo
Prendendo come nuova funzione incognita
u(x) y(x)/x
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Lequazione (3) si trasforma nella seguente
u(x) (f(u(x))-u(x))/x
che è a variabili separabili.
Esempio 1
y (y/x) tg(y/x)
Esempio 2