FISICA II VIBRACIONES MECANICAS - PowerPoint PPT Presentation

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FISICA II VIBRACIONES MECANICAS

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Title: Electric Force Author: Paul E. Tippens Last modified by: PC01 Created Date: 10/27/1999 6:24:27 PM Document presentation format: Presentaci n en pantalla (4:3) – PowerPoint PPT presentation

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Title: FISICA II VIBRACIONES MECANICAS


1
FISICA IIVIBRACIONES MECANICAS
  • PRESENTADO POR
  • OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA
  • Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM

2010
2
OBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el
alumno será capaz de
  • Aplicar las leyes de Newton al estudio de las
    vibraciones mecánicas
  • Discriminar las diferentes vibraciones que
    aparecen en mecánica
  • Resolver ejemplos de vibraciones mecánicas
  • Realizar prácticas de laboratorio para estudiar
    las vibraciones mecánicas

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II. INTRODUCCIÓN
  • Una vibración es la oscilación repetida de una
    partícula o cuerpo rígido en torno a una posición
    de equilibrio.
  • En muchos dispositivos es conveniente que haya
    vibraciones y se generan deliberadamente por
    ejemplo el péndulo de un reloj, el vibrador usado
    para el proceso de compactación.
  • En tales problemas el ingeniero tiene por misión
    crear y regular dichas vibraciones

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II. INTRODUCCIÓN
  • Sin embargo, en otros elementos las vibraciones
    no son deseables por ejemplo en las máquinas
    rotatorias y en las estructuras, las vibraciones
    son nocivas.
  • Si no se equilibran pueden causar molestia y a
    veces dañar las estructuras.
  • Las vibraciones que producen en las estructuras a
    causa de los terremotos o de la circulación
    próxima de vehículos puede dañar a aquella e
    incluso destruirla.
  • Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las
    vibraciones o al menos reducirlas por ello debe
    realizar un proyecto adecuado

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II. INTRODUCCIÓN
  • En las figuras se muestran algunos ejemplos de
    vibraciones.
  • La característica común de estos ejemplos es que
    sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras
    que le hacen volver a su posición de equilibrio

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II. INTRODUCCIÓN
  • En muchos casos, la posición o movimiento puede
    quedar especificada completamente con una sola
    coordenada por ejemplo X, y o ?. En este caso se
    dice que los cuerpos tienen un solo grado de
    libertad.
  • En otros casos el cuerpo puede vibrar
    independientemente en dos direcciones o cuando se
    conectan dos cuerpos que vibran
    independientemente en una dirección.
  • En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un
    grado de libertad

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II. INTRODUCCIÓN
  • En la figura podemos ver graficas del
    desplazamiento respecto a la posición de
    equilibrio en función del tiempo.
  • Las oscilaciones que se repiten uniformen te se
    llaman periódicas y las que o se repiten se
    llaman aleatorias o aperiódicas.

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II. INTRODUCCIÓN
  • Una característica importante de una oscilación
    periódica es su período (?) definido como el
    intervalo de tiempo que ha de transcurrir para
    que se repita el movimiento.
  • Al movimiento que se completa durante un período
    se llama ciclo .
  • El período se expresa en segundos y a la inversa
    se llama frecuencia f , definida como el número
    de ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz).
  • En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un
    solo grado de libertad aplicando las leyes de
    Newton

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • Consideremos una partícula de masa sujeta a un
    resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en
    la figura.
  • Si el movimiento descrito por m es vertical, la
    vibración es de un solo grado de libertad.
  • Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL,
    se tiene

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm
    menor que dst desde la posición de equilibrio y
    se suelta sin velocidad inicial la partícula se
    moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la
    posición de equilibrio generando de esta forma
    una vibración libre.
  • Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la
    vibración consideremos a la partícula en una
    posición arbitraria x medida a partir de la
    posición de equilibrio como se muestra

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x
    resulta
  • Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
  • Esta ecuación se conoce como movimiento armónico
    simple y se caracteriza por que la aceleración es
    proporcional y de sentido opuesto al
    desplazamiento

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • La ecuación (3) puede escribirse en la forma
  • En donde ?n se denomina frecuencia natural
    circular o pulsación natural, y se expresa
  • La solución de la ecuación diferencial lineal de
    segundo orden con coeficientes constantes dada
    por la ecuación (4) es de la forma

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • A veces es conveniente expresarla en la forma
  • La cantidad xm se le denomina amplitud de la
    vibración, el ángulo f se denomina ángulo de
    fase, t es el tiempo.
  • La frecuencia natural y el período están dados
    por

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
  • La graficas velocidad y aceleración en función
    del tiempo pueden ser expresadas en la forma

15
Graficas x-t, v-t y a-t para un MAS
16
IV. ENERGIA EN MAS
  • Cuando un resorte es comprimido o estirado por un
    agente externo, la energía es transferida del
    agente al resorte.
  • La energía ganada por el resorte se denomina
    energía potencial elástica.
  • Esto implica que un resorte comprimido o estirado
    puede realizar un trabajo sobre un objeto

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IV. ENERGIA EN MAS
  • Para un resorte ideal de constante k que ha sido
    comprimido o estirado en una cantidad x respecto
    a su longitud sin deformar la energía potencial
    se expresa
  • La energía total esta dada por

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IV. ENERGIA EN MAS
  • Cuando la energía mecánica se conserva la energía
    potencial se transforma en energía cinética y
    viceversa
  • Así por ejemplo cuando la energía cinética es
    máxima, la energía potencial es mínima (cero) y
    cuando la energía potencial es máxima, la energía
    cinética es mínima

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IV. ENERGIA EN MAS
  • La energía en cualquier posición será

20
IV. ENERGIA EN MAS
  • En general un objeto unido a un resorte puede
    tener un movimiento de traslación y rotación, por
    tanto habrá una energía potencial elástica y
    gravitacional más una energía cinética, entonces
    la energía mecánica se escribe

E ½ m v2 ½ I ?2 m g h ½ k x2
Si el trabajo neto hecho por las fuerzas no
conservativas es nulo, entonces se conserva la
energía mecánica
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V. PENDULO SIMPLE
  • Un péndulo simple se define como una partícula de
    masa m suspendida de un punto fijo por medio de
    una cuerda de longitud l y de masa despreciable
    como se muestra en la figura. Si la partícula se
    desplaza un ángulo ?0 de su posición de
    equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará
    simétricamente respecto a su posición de
    equilibrio.

22
V. PENDULO SIMPLE
  • En la figura se muestra el DCL y cinético de la
    masa pendular
  • Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
  • Para ángulos pequeños

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V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA
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VI. PENDULO FÍSICO
  • Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones
    finitas que oscila alrededor de un eje horizontal
    fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la
    acción de la fuerza gravitacional (peso). El
    cuerpo rígido oscilará en un plano vertical
    cuando se le separe de su posición de equilibrio
    un ángulo ?0 y se suelte.

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VI. PENDULO FÍSICO
  • Para deducir las ecuaciones que gobiernan al
    péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en
    forma de barra de sección rectangular AB de masa
    m, suspendida de un eje transversal que pasa por
    el punto S, tal como se muestra en la figura

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VI. PENDULO FÍSICO
  • Aplicando las ecuaciones de movimiento de
    rotación
  • Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con
    respecto al punto O y ? es la aceleración
    angular, el signo menos se debe a que el peso
    produce un momento de restitución.
  • Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo
    que no corresponde a una ecuación diferencial de
    un movimiento armónico.

27
VI. PENDULO FÍSICO
  • Para desplazamientos angulares ? pequeños, la
    función trigonométrica sen ??? , donde ? se
    expresa en radianes. Por tanto la ecuación
    diferencial se escribe
  • Esta ecuación es la ecuación diferencial de un
    movimiento armónico simple, movimiento en el cual
    la aceleración angular es directamente
    proporcional al desplazamiento angular y de
    dirección opuesta. La solución de dicha ecuación
    diferencial es de la forma

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VI. PENDULO FÍSICO
  • Donde las constante ?max y f se determinan de las
    condiciones iniciales y ?n es la frecuencia
    natural circular expresada por
  • El período del MAS será
  • A veces es conveniente expresar IS en términos
    del momento de inercia del cuerpo con respecto a
    un eje que pase por su centro de gravedad IG,
    para ello se usa el teorema de los ejes
    paralelos, esto es

29
VI. PENDULO FÍSICO
  • Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por
    otro lado, el momento de inercia también puede
    expresarse en función del radio de giro KG, en la
    forma
  • Entonces el momento de inercia se escribe
  •  Es decir el período del péndulo puede expresarse
    en la forma

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VI. PENDULO FÍSICO
  • La ecuación del período expresa el período del
    péndulo físico en términos de la geometría del
    cuerpo. Es decir, el período es independiente de
    la masa, dependiendo sólo de la distribución de
    masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de
    giro de cualquier cuerpo es constante, el período
    del péndulo en función sólo de h. La comparación
    de entre los períodos de un péndulo compuesto y
    un simple nos da
  • Algunas veces es conveniente especificar la
    localización del eje de suspensión S en términos
    de la distancia d medida desde uno de los
    extremos de la barra, en lugar de su distancia h
    medida desde el centro de masa.

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VI. PENDULO FÍSICO
  • Si las distancia d1, d2 y D son medidas desde el
    extremo superior, la distancia h1 debe ser
    considerada negativa ya que h es medida desde el
    centro de gravedad. De esta forma, si D es la
    distancia fija desde el extremos superior A de la
    barra al centro de gravedad G,
  • El período se escribe en la forma

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VI. PENDULO FÍSICO
  • Cuando el período T es trazado como función de d,
    son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y
    SPQ como se muestra en la figura. El análisis
    de estas curvas revela varias propiedades
    interesantes y observables del péndulo físico.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un bloque de 50 kg se mueve entre guías
    verticales como se muestra. Se separa 40 mm hacia
    debajo de su posición de equilibrio y se abandona
    desde el reposo. Determine el período de
    vibración, la velocidad y aceleración máxima del
    bloque en cada uno de los esquemas representados

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una masa de 2 kg está suspendida en un plano
    vertical por tres resortes, según se muestra en
    la figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia
    abajo a partir de su posición de equilibrio y se
    suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s
    cuando t 0. Determinar (a) La ecuación
    diferencial que rige al movimiento, (b) El
    periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La
    posición de la masa en función del tiempo y (d)
    El menor tiempo t1 gt 0 del paso de la masa por su
    posición de equilibrio

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una charola A está unida a tres resortes como se
    muestra en la figura. El período de vibración de
    la charola vacía es de 0,75 s. Después de que el
    resorte central C se ha suprimido se observa que
    el período es de 0,9 s. Si se sabe que la
    constante del resorte central es 100 N/m.
    Determine la masa m de la charla.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Las dos masas de la figura se deslizan por
    sendas superficies horizontales exentas de
    fricción. La barra ABC está en posición vertical
    en el equilibrio y su masa es despreciable. Si
    los resortes están sometidos a tracción en todo
    momento, escribir la ecuación diferencial del
    movimiento para la posición X(t) de la masa de 10
    kg y determinar la frecuencia y el período de la
    vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de
    pequeñas amplitudes).

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está
    articulada en A y unida a dos resortes, ambos de
    constante elásticas k 300 N/m. Halle (a) la
    masa m del bloque C para que el período de las
    pequeñas oscilaciones sea T 0,4 s, (b) Si el
    extremo se desplaza 40 mm y se suelta desde el
    reposo, halle la velocidad máxima del bloque C.

38
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un bloque de 25 kg está soportado por un cable,
    que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y
    0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se
    muestra en la figura. Se tira el bloque hacia
    abajo 0,2 m desde su posición de equilibrio y se
    suelta. Determine (a) la ecuación diferencial
    para el movimiento del bloque, (b) el período
    natural de la vibración y (c) la velocidad máxima
    del bloque.

39
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre
    un plano inclinado mediante un resorte cuya
    constante es k 400 N/m. El radio de giro del
    cilindro con respecto a su centro de masa es KG
    125 mm los radios son r1 100 mm y r2 200
    mm. Determine (a) La ecuación diferencial del
    movimiento del carrete, (b) El período y la
    frecuencia para pequeñas oscilaciones.

40
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Los dos bloques mostrados en la figura se
    deslizan por sendas superficies horizontales sin
    fricción. Las barras de conexión tienen peso
    despreciable y en la posición de equilibrio, ABC
    está vertical. Supóngase oscilaciones de pequeña
    amplitud y determine. (a) la ecuación diferencial
    del movimiento del bloque de 75 N y (b) la
    pulsación propia de la oscilación.

41
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un bloque que pesa 100N se desliza por una
    superficie horizontal sin fricción como se
    muestra. Los dos resortes están sometidos a
    tracción en todo momento y las poleas son
    pequeñas y sin rozamiento. Si se desplaza el
    bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición
    de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25
    m/s hacia la derecha cuando t 0, determine (a)
    La ecuación diferencial que rige el movimiento
    (b) El período y la amplitud de la vibración,
    (c) La posición del bloque en función del tiempo

42
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g
    están unidas a los extremos de una varilla rígida
    de masa despreciable que puede girar en un plano
    vertical alrededor de un eje que pasa por B.
    Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de
    la varilla.

43
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
    deslizar por un plano inclinado 15º. A su
    perímetro está sujeta una correa y un muelle lo
    mantiene en equilibrio como se muestra. Si el
    cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se
    suelta. Determinar (a) El período de la
    vibración, (b) La aceleración máxima del centro
    del cilindro

44
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg
    como se muestra en la figura, mediante un pasador
    sin fricción que pasa por su centro. Escriba la
    ecuación diferencial del movimiento para la
    posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
    determine el período y la frecuencia del
    movimiento vibratorio resultante

45
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una barra uniforme esbelta de 3 kg está
    atornillada a un disco uniforme de 5 kg. Al disco
    está sujeto un muelle de constante 280 N/m que
    está sin deformar en la posición representada. Si
    el extremo B de la varilla recibe un pequeño
    desplazamiento a la izquierda y se suelta, halle
    el período de la vibración del sistema.
  •  

46
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano
    vertical en el seno de un hilo ligero, como se
    muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de
    radio no se desliza por el hilo, escribir la
    ecuación diferencial del movimiento para la
    posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
    determinar el período y la frecuencia de la
    vibración resultante.
  •  

47
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C
    y sujeta en A a un resorte de constante K
    500N/m. Si el extremo A recibe un pequeño
    desplazamiento y se suelta, hallar (a) La
    frecuencia de las pequeñas oscilaciones, (b) El
    mínimo valor de la constante K del resorte para
    el que habrá oscilaciones.
  •  

48
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Dos barras uniformes cada una de masa m 12 kg y
    longitud L 800 mm, están soldadas formando el
    conjunto que se muestra. Sabiendo que la
    constante de cada resorte K 500N/m y que el
    extremo A recibe un pequeño desplazamiento y
    luego se suelta, determine la frecuencia del
    movimiento subsiguiente.
  •  

49
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Determine la pulsación natural ?n del sistema
    mostrado en la figura. Se desprecian la masa de
    las poleas y el rozamiento en ellas.
  •  

50
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Si los dos resortes están sin deformar cuando la
    masa se halla en la posición central
    representada, determine el desplazamiento
    estático de la misma, Cuál es el período de las
    oscilaciones en torno a la posición de
    equilibrio?.
  •  

51
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en
    A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C
    a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle
    sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el
    a posición representada. Si el punto B se mueve
    25 mm hacia abajo y se suelta, halle (a) el
    período de la vibración, (b) la velocidad máxima
    del punto B.
  •  

52
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Hallar el período T del sistema si la pieza
    articulada AB de masa m2 está horizontal en la
    Posición de equilibrio estático representada. El
    radio de giro de AB con respecto a O es K0 y su
    centro de gravedad está ubicado en el punto G.
    Suponga pequeñas oscilaciones.

53
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3
    kg. Halle la posición x en que debe encontrarse
    el cursor de 1 kg de masa para que el período del
    sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas
    oscilaciones en torno a la posición horizontal de
    equilibrio representada.

54
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por
    un pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A
    está conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede
    rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo
    que ambos muelles pueden trabajar a tracción o a
    compresión, determine la frecuencia de las
    pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra
    se gira levemente y s suelta.

55
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una masa de 4 kg está suspendida en un plano
    vertical según se muestra. Los dos resortes están
    sometidos s y tracción en todo momento y las
    poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a
    la masa a 15 mm por encima de su posición de
    equilibrio y se suelta con una velocidad de
    750mm/s hacia abajo cuando t 0. Halla (a) La
    ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y
    la amplitud de la vibración resultante, (c) la
    posición de la masa en función del tiempo.
  •  

56
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Un cilindro de masa m y radio R está conectado
    con muelles idénticos de constante k y gira sin
    rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas
    oscilaciones, cuál será la frecuencia natural?.
    El cordón que soporta a W1 está enrollado
    alrededor del cilindro.
  •  

57
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Hallar la frecuencia natural fn de las
    oscilaciones verticales del cilindro de masa m.
    despreciar la masa del cilindro escalonado y el
    rozamiento del mismo.
  •  

58
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se
    mantiene en posición vertical mediante dos
    muelles idénticos cada uno de los cuales tiene
    una constante k igual a 50 000 N/m. Qué fuerza
    vertical P hará que la frecuencia natural de la
    barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo
    para pequeñas oscilaciones.
  •  

59
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la
    figura está arrollado a un cilindro uniforme de
    35 N. Si el hilo no se desliza por el cilindro,
    escribir la e. D del movimiento para la posición
    y(t) del bloque de 50 N y determine el período y
    la frecuencia de la vibración resultante.
  •  

60
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Una partícula de masa m, esta soportada tal como
    se muestra, a dos alambres fuertemente tensos.
    Determine la pulsación natural ?n de las pequeñas
    oscilaciones verticales del sistema bajo la
    hipótesis de que la tracción T en ambos alambres
    se mantiene constante. Es necesario calcular el
    pequeño desplazamiento estático de la partícula?

61
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • La boya cilíndrica flota en agua salada
    (densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg
    con un centro de masa bajo para que se mantenga
    estable en la posición vertical. Hallar la
    frecuencia fn de sus oscilaciones verticales.
    Suponga que la superficie del agua permanece
    tranquila en sus proximidades.

62
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
  • Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa
    m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg
    para que el período del sistema sea 0,75 s. Cuál
    es el coeficiente de rozamiento estático mínimo
    ?s del sistema para el cual el bloque no resbala
    sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de
    su posición de equilibrio y luego se suelta?.

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(No Transcript)
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http//www.walter-fendt.de/ph14s/index.html
68
http//www.dailymotion.com/video/x6m8cf_resonancia
-magnetica_school
69
http//www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimic
a/applets/OscilacionesMAS/oscilacionestotal.htm
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