Title: FISICA II VIBRACIONES MECANICAS
1FISICA IIVIBRACIONES MECANICAS
- PRESENTADO POR
- OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA
- Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM
2010
2OBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el
alumno será capaz de
- Aplicar las leyes de Newton al estudio de las
vibraciones mecánicas
- Discriminar las diferentes vibraciones que
aparecen en mecánica
- Resolver ejemplos de vibraciones mecánicas
- Realizar prácticas de laboratorio para estudiar
las vibraciones mecánicas
3II. INTRODUCCIÓN
- Una vibración es la oscilación repetida de una
partícula o cuerpo rígido en torno a una posición
de equilibrio. - En muchos dispositivos es conveniente que haya
vibraciones y se generan deliberadamente por
ejemplo el péndulo de un reloj, el vibrador usado
para el proceso de compactación. - En tales problemas el ingeniero tiene por misión
crear y regular dichas vibraciones
4II. INTRODUCCIÓN
- Sin embargo, en otros elementos las vibraciones
no son deseables por ejemplo en las máquinas
rotatorias y en las estructuras, las vibraciones
son nocivas. - Si no se equilibran pueden causar molestia y a
veces dañar las estructuras. - Las vibraciones que producen en las estructuras a
causa de los terremotos o de la circulación
próxima de vehículos puede dañar a aquella e
incluso destruirla. - Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las
vibraciones o al menos reducirlas por ello debe
realizar un proyecto adecuado
5II. INTRODUCCIÓN
- En las figuras se muestran algunos ejemplos de
vibraciones. - La característica común de estos ejemplos es que
sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras
que le hacen volver a su posición de equilibrio
6II. INTRODUCCIÓN
- En muchos casos, la posición o movimiento puede
quedar especificada completamente con una sola
coordenada por ejemplo X, y o ?. En este caso se
dice que los cuerpos tienen un solo grado de
libertad. - En otros casos el cuerpo puede vibrar
independientemente en dos direcciones o cuando se
conectan dos cuerpos que vibran
independientemente en una dirección. - En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un
grado de libertad
7II. INTRODUCCIÓN
- En la figura podemos ver graficas del
desplazamiento respecto a la posición de
equilibrio en función del tiempo. - Las oscilaciones que se repiten uniformen te se
llaman periódicas y las que o se repiten se
llaman aleatorias o aperiódicas.
8II. INTRODUCCIÓN
- Una característica importante de una oscilación
periódica es su período (?) definido como el
intervalo de tiempo que ha de transcurrir para
que se repita el movimiento. - Al movimiento que se completa durante un período
se llama ciclo . - El período se expresa en segundos y a la inversa
se llama frecuencia f , definida como el número
de ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz). - En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un
solo grado de libertad aplicando las leyes de
Newton
9III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- Consideremos una partícula de masa sujeta a un
resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en
la figura. - Si el movimiento descrito por m es vertical, la
vibración es de un solo grado de libertad. - Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL,
se tiene
10III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm
menor que dst desde la posición de equilibrio y
se suelta sin velocidad inicial la partícula se
moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la
posición de equilibrio generando de esta forma
una vibración libre. - Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la
vibración consideremos a la partícula en una
posición arbitraria x medida a partir de la
posición de equilibrio como se muestra
11III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x
resulta - Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
- Esta ecuación se conoce como movimiento armónico
simple y se caracteriza por que la aceleración es
proporcional y de sentido opuesto al
desplazamiento
12III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- La ecuación (3) puede escribirse en la forma
- En donde ?n se denomina frecuencia natural
circular o pulsación natural, y se expresa - La solución de la ecuación diferencial lineal de
segundo orden con coeficientes constantes dada
por la ecuación (4) es de la forma -
13III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- A veces es conveniente expresarla en la forma
- La cantidad xm se le denomina amplitud de la
vibración, el ángulo f se denomina ángulo de
fase, t es el tiempo. - La frecuencia natural y el período están dados
por
14III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
- La graficas velocidad y aceleración en función
del tiempo pueden ser expresadas en la forma
15Graficas x-t, v-t y a-t para un MAS
16IV. ENERGIA EN MAS
- Cuando un resorte es comprimido o estirado por un
agente externo, la energía es transferida del
agente al resorte. - La energía ganada por el resorte se denomina
energía potencial elástica. - Esto implica que un resorte comprimido o estirado
puede realizar un trabajo sobre un objeto
17IV. ENERGIA EN MAS
- Para un resorte ideal de constante k que ha sido
comprimido o estirado en una cantidad x respecto
a su longitud sin deformar la energía potencial
se expresa - La energía total esta dada por
18IV. ENERGIA EN MAS
- Cuando la energía mecánica se conserva la energía
potencial se transforma en energía cinética y
viceversa - Así por ejemplo cuando la energía cinética es
máxima, la energía potencial es mínima (cero) y
cuando la energía potencial es máxima, la energía
cinética es mínima
19IV. ENERGIA EN MAS
- La energía en cualquier posición será
20IV. ENERGIA EN MAS
- En general un objeto unido a un resorte puede
tener un movimiento de traslación y rotación, por
tanto habrá una energía potencial elástica y
gravitacional más una energía cinética, entonces
la energía mecánica se escribe
E ½ m v2 ½ I ?2 m g h ½ k x2
Si el trabajo neto hecho por las fuerzas no
conservativas es nulo, entonces se conserva la
energía mecánica
21V. PENDULO SIMPLE
- Un péndulo simple se define como una partícula de
masa m suspendida de un punto fijo por medio de
una cuerda de longitud l y de masa despreciable
como se muestra en la figura. Si la partícula se
desplaza un ángulo ?0 de su posición de
equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará
simétricamente respecto a su posición de
equilibrio.
22V. PENDULO SIMPLE
- En la figura se muestra el DCL y cinético de la
masa pendular - Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
23V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA
24VI. PENDULO FÍSICO
- Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones
finitas que oscila alrededor de un eje horizontal
fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la
acción de la fuerza gravitacional (peso). El
cuerpo rígido oscilará en un plano vertical
cuando se le separe de su posición de equilibrio
un ángulo ?0 y se suelte.
25VI. PENDULO FÍSICO
- Para deducir las ecuaciones que gobiernan al
péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en
forma de barra de sección rectangular AB de masa
m, suspendida de un eje transversal que pasa por
el punto S, tal como se muestra en la figura
26VI. PENDULO FÍSICO
- Aplicando las ecuaciones de movimiento de
rotación - Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con
respecto al punto O y ? es la aceleración
angular, el signo menos se debe a que el peso
produce un momento de restitución. - Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo
que no corresponde a una ecuación diferencial de
un movimiento armónico.
27VI. PENDULO FÍSICO
- Para desplazamientos angulares ? pequeños, la
función trigonométrica sen ??? , donde ? se
expresa en radianes. Por tanto la ecuación
diferencial se escribe - Esta ecuación es la ecuación diferencial de un
movimiento armónico simple, movimiento en el cual
la aceleración angular es directamente
proporcional al desplazamiento angular y de
dirección opuesta. La solución de dicha ecuación
diferencial es de la forma
28VI. PENDULO FÍSICO
- Donde las constante ?max y f se determinan de las
condiciones iniciales y ?n es la frecuencia
natural circular expresada por - El período del MAS será
- A veces es conveniente expresar IS en términos
del momento de inercia del cuerpo con respecto a
un eje que pase por su centro de gravedad IG,
para ello se usa el teorema de los ejes
paralelos, esto es
29VI. PENDULO FÍSICO
- Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por
otro lado, el momento de inercia también puede
expresarse en función del radio de giro KG, en la
forma - Entonces el momento de inercia se escribe
- Es decir el período del péndulo puede expresarse
en la forma
30VI. PENDULO FÍSICO
- La ecuación del período expresa el período del
péndulo físico en términos de la geometría del
cuerpo. Es decir, el período es independiente de
la masa, dependiendo sólo de la distribución de
masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de
giro de cualquier cuerpo es constante, el período
del péndulo en función sólo de h. La comparación
de entre los períodos de un péndulo compuesto y
un simple nos da - Algunas veces es conveniente especificar la
localización del eje de suspensión S en términos
de la distancia d medida desde uno de los
extremos de la barra, en lugar de su distancia h
medida desde el centro de masa.
31VI. PENDULO FÍSICO
- Si las distancia d1, d2 y D son medidas desde el
extremo superior, la distancia h1 debe ser
considerada negativa ya que h es medida desde el
centro de gravedad. De esta forma, si D es la
distancia fija desde el extremos superior A de la
barra al centro de gravedad G, - El período se escribe en la forma
32VI. PENDULO FÍSICO
- Cuando el período T es trazado como función de d,
son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y
SPQ como se muestra en la figura. El análisis
de estas curvas revela varias propiedades
interesantes y observables del péndulo físico.
33VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un bloque de 50 kg se mueve entre guías
verticales como se muestra. Se separa 40 mm hacia
debajo de su posición de equilibrio y se abandona
desde el reposo. Determine el período de
vibración, la velocidad y aceleración máxima del
bloque en cada uno de los esquemas representados
34VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una masa de 2 kg está suspendida en un plano
vertical por tres resortes, según se muestra en
la figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia
abajo a partir de su posición de equilibrio y se
suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s
cuando t 0. Determinar (a) La ecuación
diferencial que rige al movimiento, (b) El
periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La
posición de la masa en función del tiempo y (d)
El menor tiempo t1 gt 0 del paso de la masa por su
posición de equilibrio
35VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una charola A está unida a tres resortes como se
muestra en la figura. El período de vibración de
la charola vacía es de 0,75 s. Después de que el
resorte central C se ha suprimido se observa que
el período es de 0,9 s. Si se sabe que la
constante del resorte central es 100 N/m.
Determine la masa m de la charla.
36VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Las dos masas de la figura se deslizan por
sendas superficies horizontales exentas de
fricción. La barra ABC está en posición vertical
en el equilibrio y su masa es despreciable. Si
los resortes están sometidos a tracción en todo
momento, escribir la ecuación diferencial del
movimiento para la posición X(t) de la masa de 10
kg y determinar la frecuencia y el período de la
vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de
pequeñas amplitudes).
37VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está
articulada en A y unida a dos resortes, ambos de
constante elásticas k 300 N/m. Halle (a) la
masa m del bloque C para que el período de las
pequeñas oscilaciones sea T 0,4 s, (b) Si el
extremo se desplaza 40 mm y se suelta desde el
reposo, halle la velocidad máxima del bloque C.
38VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un bloque de 25 kg está soportado por un cable,
que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y
0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se
muestra en la figura. Se tira el bloque hacia
abajo 0,2 m desde su posición de equilibrio y se
suelta. Determine (a) la ecuación diferencial
para el movimiento del bloque, (b) el período
natural de la vibración y (c) la velocidad máxima
del bloque.
39VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre
un plano inclinado mediante un resorte cuya
constante es k 400 N/m. El radio de giro del
cilindro con respecto a su centro de masa es KG
125 mm los radios son r1 100 mm y r2 200
mm. Determine (a) La ecuación diferencial del
movimiento del carrete, (b) El período y la
frecuencia para pequeñas oscilaciones.
40VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Los dos bloques mostrados en la figura se
deslizan por sendas superficies horizontales sin
fricción. Las barras de conexión tienen peso
despreciable y en la posición de equilibrio, ABC
está vertical. Supóngase oscilaciones de pequeña
amplitud y determine. (a) la ecuación diferencial
del movimiento del bloque de 75 N y (b) la
pulsación propia de la oscilación.
41VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un bloque que pesa 100N se desliza por una
superficie horizontal sin fricción como se
muestra. Los dos resortes están sometidos a
tracción en todo momento y las poleas son
pequeñas y sin rozamiento. Si se desplaza el
bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición
de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25
m/s hacia la derecha cuando t 0, determine (a)
La ecuación diferencial que rige el movimiento
(b) El período y la amplitud de la vibración,
(c) La posición del bloque en función del tiempo
42VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g
están unidas a los extremos de una varilla rígida
de masa despreciable que puede girar en un plano
vertical alrededor de un eje que pasa por B.
Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de
la varilla.
43VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
deslizar por un plano inclinado 15º. A su
perímetro está sujeta una correa y un muelle lo
mantiene en equilibrio como se muestra. Si el
cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se
suelta. Determinar (a) El período de la
vibración, (b) La aceleración máxima del centro
del cilindro
44VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg
como se muestra en la figura, mediante un pasador
sin fricción que pasa por su centro. Escriba la
ecuación diferencial del movimiento para la
posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
determine el período y la frecuencia del
movimiento vibratorio resultante
45VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una barra uniforme esbelta de 3 kg está
atornillada a un disco uniforme de 5 kg. Al disco
está sujeto un muelle de constante 280 N/m que
está sin deformar en la posición representada. Si
el extremo B de la varilla recibe un pequeño
desplazamiento a la izquierda y se suelta, halle
el período de la vibración del sistema. -
46VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano
vertical en el seno de un hilo ligero, como se
muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de
radio no se desliza por el hilo, escribir la
ecuación diferencial del movimiento para la
posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
determinar el período y la frecuencia de la
vibración resultante. -
47VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C
y sujeta en A a un resorte de constante K
500N/m. Si el extremo A recibe un pequeño
desplazamiento y se suelta, hallar (a) La
frecuencia de las pequeñas oscilaciones, (b) El
mínimo valor de la constante K del resorte para
el que habrá oscilaciones. -
48VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Dos barras uniformes cada una de masa m 12 kg y
longitud L 800 mm, están soldadas formando el
conjunto que se muestra. Sabiendo que la
constante de cada resorte K 500N/m y que el
extremo A recibe un pequeño desplazamiento y
luego se suelta, determine la frecuencia del
movimiento subsiguiente. -
49VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Determine la pulsación natural ?n del sistema
mostrado en la figura. Se desprecian la masa de
las poleas y el rozamiento en ellas. -
50VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Si los dos resortes están sin deformar cuando la
masa se halla en la posición central
representada, determine el desplazamiento
estático de la misma, Cuál es el período de las
oscilaciones en torno a la posición de
equilibrio?. -
51VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en
A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C
a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle
sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el
a posición representada. Si el punto B se mueve
25 mm hacia abajo y se suelta, halle (a) el
período de la vibración, (b) la velocidad máxima
del punto B. -
52VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Hallar el período T del sistema si la pieza
articulada AB de masa m2 está horizontal en la
Posición de equilibrio estático representada. El
radio de giro de AB con respecto a O es K0 y su
centro de gravedad está ubicado en el punto G.
Suponga pequeñas oscilaciones.
53VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3
kg. Halle la posición x en que debe encontrarse
el cursor de 1 kg de masa para que el período del
sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas
oscilaciones en torno a la posición horizontal de
equilibrio representada.
54VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por
un pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A
está conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede
rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo
que ambos muelles pueden trabajar a tracción o a
compresión, determine la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra
se gira levemente y s suelta.
55VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una masa de 4 kg está suspendida en un plano
vertical según se muestra. Los dos resortes están
sometidos s y tracción en todo momento y las
poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a
la masa a 15 mm por encima de su posición de
equilibrio y se suelta con una velocidad de
750mm/s hacia abajo cuando t 0. Halla (a) La
ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y
la amplitud de la vibración resultante, (c) la
posición de la masa en función del tiempo. -
56VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Un cilindro de masa m y radio R está conectado
con muelles idénticos de constante k y gira sin
rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas
oscilaciones, cuál será la frecuencia natural?.
El cordón que soporta a W1 está enrollado
alrededor del cilindro. -
57VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Hallar la frecuencia natural fn de las
oscilaciones verticales del cilindro de masa m.
despreciar la masa del cilindro escalonado y el
rozamiento del mismo. -
58VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se
mantiene en posición vertical mediante dos
muelles idénticos cada uno de los cuales tiene
una constante k igual a 50 000 N/m. Qué fuerza
vertical P hará que la frecuencia natural de la
barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo
para pequeñas oscilaciones. -
59VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la
figura está arrollado a un cilindro uniforme de
35 N. Si el hilo no se desliza por el cilindro,
escribir la e. D del movimiento para la posición
y(t) del bloque de 50 N y determine el período y
la frecuencia de la vibración resultante. -
60VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Una partícula de masa m, esta soportada tal como
se muestra, a dos alambres fuertemente tensos.
Determine la pulsación natural ?n de las pequeñas
oscilaciones verticales del sistema bajo la
hipótesis de que la tracción T en ambos alambres
se mantiene constante. Es necesario calcular el
pequeño desplazamiento estático de la partícula?
61VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- La boya cilíndrica flota en agua salada
(densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg
con un centro de masa bajo para que se mantenga
estable en la posición vertical. Hallar la
frecuencia fn de sus oscilaciones verticales.
Suponga que la superficie del agua permanece
tranquila en sus proximidades.
62VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
- Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa
m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg
para que el período del sistema sea 0,75 s. Cuál
es el coeficiente de rozamiento estático mínimo
?s del sistema para el cual el bloque no resbala
sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de
su posición de equilibrio y luego se suelta?.
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67http//www.walter-fendt.de/ph14s/index.html
68http//www.dailymotion.com/video/x6m8cf_resonancia
-magnetica_school
69http//www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimic
a/applets/OscilacionesMAS/oscilacionestotal.htm
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