Matrizes

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DEFINIÇÃO K corpo p,q números naturais Uma matriz
pq (ou matriz do tipo (p,q)) é um quadro (ou
tabela de dupla entrada) de escalares do
tipo com p linhas e q colunas de elementos
. O elemento chama-se termo ou
coeficiente da matriz. O índice i corresponde à
linha, o índice j à coluna. Também se usa a
notação .
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DEFINIÇÃO Uma matriz em que o número de linhas é
igual ao número de colunas chama-se matriz
quadrada.
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Matrizes
Numa matriz quadrada pp, os elementos a11, a22,
, app são os da diagonal principal.
Uma matriz quadrada em que os elementos que não
são da diagonal principal são iguais a zero
chama-se matriz diagonal.
Se todos os elementos forem iguais a zero, a
matriz diz-se nula.
Os elementos aij e aji que se dispoem
simetricamente relativamente à diagonal principal
chamam-se opostos.
Uma matriz quadrada diz-se triangular superior
(inferior) se aij0 quando igtj (aij0 quando iltj).
Uma matriz diagonal em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais chama-se matriz
escalar. Se forem iguais a 1 chama-se matriz
identidade.
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ADIÇÃO DE MATRIZES
NOTA A soma AB só está definida quando A e B são
do mesmo tipo, isto é, quando A e B têm o mesmo
número de linhas e o mesmo número de colunas.
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MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
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TEOREMA O conjunto M das matrizes pq com
coeficientes no corpo K é um espaço vectorial
sobre K.
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
(isto é, para se obter o elemento da i-ésima
linha e j-ésima coluna de AB, multiplicamos
ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A
pelos da j-ésima coluna de B e adicionamos os
resultados,
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
NOTA Duas matrizes que podem ser multiplicadas
(isto é, em que o número de colunas da primeira é
igual ao número de linhas da segunda) dizem-se
encadeadas.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Sempre que os produtos estiverem definidos,
tem-se
(I) ( A B ) C A ( B C ) - associativa
(II) A ( B C ) A B A C - distributiva
( A B ) C A C B C
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TEOREMA O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas
de ordem n (isto é, matrizes nn) com
coeficientes no corpo K com as operações de
adição e multiplicação definidas é um anel com
unidade não comutativo.
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DEFINIÇÃO Uma matriz A ? Mn(K) diz-se invertível
se existe B ? Mn(K) tal que A B B A In.
NOTA A matriz B quando existe é
única. Representa-se por A-1, inversa de A.
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DETERMINANTE
DEFINIÇÃO F?1,2,...,n Uma permutação ? de F é
uma bijecção de F sobre F.
O conjunto de todas as permutações de F com a
operação de composição de funções forma um grupo
que se chama Grupo Simétrico e se representa por
Sn.
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DETERMINANTE
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE INVERSÕES
Para cada elemento do contradomínio de ?,
verificar quais os elementos que o precedem e que
são maiores do que ele.
ls é o número de elementos que precedem s e que
são maiores do que s, sendo s um elemento
qualquer do contradomínio de ?.
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DETERMINANTE
DEFINIÇÃO O número (?1)l em que l é o número de
inversões da permutação ? chama-se sinal da
permutação ? e representa-se por ?(?).
DEFINIÇÃO Uma permutação diz-se par ou ímpar
conforme o seu número de inversões é par ou
ímpar, ou seja, conforme o seu sinal é 1 ou ?1.
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
REGRA DE SARRUS (para o cálculo do determinante
de uma matriz 33)
A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas
primeiras colunas da matriz.
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DETERMINANTE
REGRA DE SARRUS
São positivos os produtos dos elementos ligados
pelas linhas a vermelho, com a direcção da
diagonal principal
São negativos os produtos dos elementos ligados
pelas linhas a azul, com a direcção da diagonal
não principal.
NOTA Em vez de acrescentarmos à direita as duas
primeiras colunas podemos acrecentar em baixo as
duas primeiras linhas e a regra mantem-se.
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DETERMINANTE
TEOREMA Seja A uma matriz nn sobre o corpo
K. Então, det AT det A.
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
COROLÁRIO (da Propriedade 2) Se a matriz A tem
uma linha ou coluna de zeros, então det A 0.
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
COROLÁRIO (da Propriedade 3) Se a matriz A tem
duas linhas (ou colunas) iguais, então det A 0.
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DETERMINANTE
TEOREMA Seja A uma matriz nn sobre o corpo
K. Designemos por A' a matriz que se obtem de A
adicionando à linha (coluna) i o produto do
escalar ? pela linha (coluna) j. Então det A'
det A.
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DETERMINANTE
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DETERMINANTE
Observação Quando se efectua a condensação de
uma matriz, as transformações que podem ocorrer
no seu determinante são
- Mudança de sinal, se houver troca de linhas (ou
colunas) um número ímpar de vezes
- Multiplicação por um escalar não nulo, se se
multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar
não nulo.
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DETERMINANTE
TEOREMA (Critério de invertibilidade de uma
matriz) Seja A uma matriz nn sobre o corpo K. A
é invertível se e só se det A ?0.
TEOREMA O determinante de uma matriz triangular é
o produto dos elementos da sua diagonal principal.
TEOREMA Se A e B são duas matrizes nn sobre o
corpo K, então det (AB) det A ? det B
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DETERMINANTE
DEFINIÇÃO Seja A uma matriz nn sobre o corpo
K. Chama-se menor de A associado ao elemento aij
ao elemento de K det A(ij).
A(ij) é o determinante da matriz que se obtem de
A retirando a linha i e a coluna j
DEFINIÇÃO Seja A uma matriz nn sobre o corpo
K. Chama-se complemento algébrico do elemento aij
da matriz A ao elemento de K (?1)ij det
A(ij). Representa-se por Aij.
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DETERMINANTE
TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz
quadrada é igual à soma algébrica dos produtos
dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos
respectivos complementos algébricos.
COROLÁRIO A soma dos produtos dos elementos de
uma fila pelos complementos algébricos dos
elementos de uma fila paralela, pela mesma ordem,
é nula.
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MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO Chama-se matriz adjunta de uma matriz
quadrada A à matriz que se obtem transpondo A e
substituindo em seguida cada elemento pelo seu
complemento algébrico.
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MATRIZ INVERSA
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MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada A com coeficientes
num corpo K diz-se regular (ou não singular) se
det A ?0.
TEOREMA Uma matriz quadrada com coeficientes num
corpo é invertível se e só se é regular.
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MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada real invertível A
diz-se ortogonal se a inversa coincide com a
transposta.
DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada complexa invertível
A diz-se unitária se a inversa coincide com a
transposta da conjugada.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
As linhas da matriz A podem ser identificadas com
vectores do espaço vectorial Kn.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
A dependência linear das linhas de uma matriz
goza das seguintes PROPRIEDADES
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Analogamente para colunas.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
OPERAÇÕES ELEMENTARES sobre as linhas de uma
matriz
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Analogamente para colunas.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
TEOREMA A dependência ou independência linear das
linhas (ou colunas) de uma matriz não é alterada
por nenhuma das seguintes operações (chamadas
operações elementares)
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Matrizes
CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
É possível, efectuando apenas operações
elementares, transformar qualquer matriz numa
matriz diagonal em que os primeiros elementos da
diagonal principal são iguais a 1 (podendo
eventualmente serem todos) e os restantes (que
podem eventualmente não existir) são iguais a
0. É o que se chama condensar uma matriz.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
DEFINIÇÃO Característica de uma matriz é o número
máximo de filas (linhas ou colunas) linearmente
independentes.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Descrição do processo de Condensação de uma
matriz (caso geral)
Seja AAij uma matriz mn, de característica r
(a determinar).
Se A0 (matriz nula), não há filas linearmente
independentes e a característica é igual a zero.
Se A?0, executam-se sobre A as seguintes
operações elementares
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Ficará bi10 (i?2) e ao elemento a'11, abaixo do
qual todos os elementos ficaram iguais a zero,
chamaremos elemento redutor.
E assim sucessivamente até chegar à última linha
não nula.
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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
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INVERSÃO DE UMA MATRIZ
TEOREMA Seja A uma matriz nn sobre o corpo K,
invertível. Então é possível condensar a matriz A
utilizando apenas transformações elementares em
linhas (ou em colunas). Além disso, a matriz que
se obtem de In efectuando em In, pela mesma
ordem, as transformações elementares em linhas
(ou em colunas) que permitiram condensar A é a
inversa de A.