Presentaci

1
ESTRUCTURAS
2
Análisis Estructural
Barras y Nodos
B 3 2N
3
B 3 2N
De dónde viene esta serie????
3
Método de los nudos
Nodo 1
3
2
y
T3
R1x
x
T1
1
1
2
R1y
Nodo 2
Nodo 3
y
y
T2
T1
x
x
F
R2y
T3
T2
4
Agrupando ecuaciones
Se tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas, 2
ecuaciones por nodo y 3 reacciones
2N B 3
isoestática
5
Clasificación de las Estructuras
2N B 3 2N lt B 3 2N gt B 3
Isoestática Hiperestática Mecanismo
N6 B9
N6 B10
2N B 3
2N lt B 3
N4 B4
2N gt B 3
6
Cálculo de estructuras hiperestáticas
1
2
3
Nodo 4
y
2
1
3
4
F
F
Se tienen 2 ecuaciones y tres incógnitas
q
Esta es la tercera ecuación
Aplicando la Ley de Hooke se tiene
7
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio se
tiene
Escrito en forma matricial se tiene
8
Se sabe que Entonces se tiene
9
METODO DE LA RIGIDEZ
Caso Unidimensional
Problema
x
Modelo
10
Para cada elemento
k1
u1
u2
U11
U12
k2
u2
u3
U22
U23
k3
u4
u3
U33
U34
11
Ensamblando Matrices
Equilibrio en los nodos
12
Si hacemos k1 k2 k3k tenemos
13
Aplicando condiciones de borde u10 y u40 se
tiene
14
u10 y u40
Volviendo al problema
2F/3
2F/3
15
F/3
F/3
F/3
F/3
16
Generalizando se tiene
Desplazamientos desconocidos Desplazamientos
conocidos Fuerzas conocidas Fuerzas
desconocidas
17
Resolviendo la primera fila se tiene
Resolviendo la segunda fila se tiene
18
Estructuras en 2-D Elemento barra
19
Modelo matemático
20
Cómo determinamos K
Aplico condiciones de borde dadas por
d
u
21
Vi
F
Ui
22
Para las otras columnas se procede con las
siguientes condiciones de borde
23
MATRIZ de RIGIDEZ en 2-D
24
Tarea Determinar matriz de rigidez de elemento
barra en 3-D
25
Estructuras en 2-D Elemento Viga
vj, Vj
vi, Vi
qj, Mj
qi, Mi
ui, Ui
uj, Uj
26
Determinación de los coeficientes
Observe que los GdL correspondientes a U, son los
que cuantifican la tracción y compresión, además
nunca producirán flexión. Por lo tanto hay una
total independencia con las otras variables.
27
Determinación de los coeficientes
Condiciones de borde dadas por
Ecuaciones
28
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones
se tiene
29
Condiciones de borde dadas por
vj, Vj
vi, Vi
qi, Mi
x
qj, Mj
x
Ecuaciones
30
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones
se tiene
31
Condiciones de borde dadas por
vj, Vj
vi, Vi
qi, Mi
x
qj, Mj
x
Ecuaciones
32
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones
se tiene
33
Condiciones de borde dadas por
vj, Vj
vi, Vi
qi, Mi
x
qj, Mj
x
Ecuaciones
34
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones
se tiene
35
Matriz de rigidez Elemento Viga
36
Ejemplo
v3,
Barra
3
u3,
v2,
u2,
45
1
2
Viga
F
v2,
v1,
1.0m
q2,
u2,
q1,
u1,
37
Barra
v3,
u3,
135
v2,
u2,
38
Viga
39
Ensamble de matrices
40
Aplicando condiciones de borde
41
F10000
E2.0x1011 Pa
L 1.0 m
A0.01 m2
Ab0.001 m2
I8.33x10-6 m4
42
Cambio de Coordenadas Viga
v2,
q2,
u2,
v1,
q1,
u1,
43
Transformación de Coordenadas
Y
p
Yp
x
y
a
xp
yp
a
a
Y0
X
X0
Xp
44
Si hacemos coincidir los orígenes de los sistemas
coordenados tenemos
Donde R es la matriz de rotación en 2-D
Se puede ampliar a cualquier tipo de vector
45
Si se trata de fuerzas tenemos
Observe que R es una matriz ortogonal, entonces
su inversa es igual a la traspuesta.
Por otra parte se tiene
46
(No Transcript)
47
Tarea Determinar matriz de rigidez de elemento
viga en 3-D
j
z
y
a
i
b
x