Sistemas Din

1
Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções
Parcialmente Conhecido

• Laécio Carvalho de Barros
• (laeciocb_at_ime.unicamp.br)
• IMECC - Unicamp

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• Um Esquema de Modelagem

EDO
Fenômeno Regras
Lógica p/ Regras
função
EDIF
?
3
Metodologia
Metodologia
Controladores fuzzy e métodos numéricos para
equações diferenciais (Runge-Kutta) foram usados
para realizar as simulações.
4
Princípio bem aceito Ecologia

• Uma população varia a uma taxa proporcional a
  própria população em cada instante t.

5
Modelo Clássico de Malthus

• Característica do Modelo
• A variação é dada pela derivada.
• Nesse caso tem-se o seguinte PVI

Obs. crescimento específico (dx/dt) constante.
6
Modelo Clássico de Malthus

• Solução do Modelo

7
Lógica Fuzzy o começo
Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as
primeiras Idéias sobre conjuntos fuzzy.
Principal interesse era armazenar conceitos como
aproximadamente, em torno de etc.
8
Conj. Clássico e conj. Fuzzy
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Função de pertinência
Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma
função µ U ? 0, 1, chamada função de
pertinência de F . µ (x) indica o grau com que
x é um elemento de F.
Ex. em torno de 100
µ(x)
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Malthus com regras

• Uma primeira tentativa de modelagem para tal
  princípio poderia nos levar às seguintes regras
• -Se a população(X) é baixa(B) então a variação é
  baixa(B)
• -Se a população(X) é média(M) então a variação é
  média(M)
• -Se a população(X) é alta(A) então a variação é
  alta(A).

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Conjuntos fuzzy para os antecedentes e
conseqüentes das regras de Malthus
12
Método de Mamdani
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Solução p-fuzzy
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Modelo presa-predador de Lotka-Volterra

• O modelo presa-predador clássico de
  Lotka-Volterra, que se tornou um paradigma da
  Biomatemática, pressupõe que
• 1- Tanto as presas como os predadores estão
  distribuídos uniformemente num mesmo habitat, ou
  seja, todos os predadores têm a mesma chance de
  encontrar cada presa
• 2- O encontro entre os indivíduos das duas
  espécies seja ao acaso, a uma taxa proporcional
  ao tamanho das duas populações
• 3- A população de presas x(t) cresce
  exponencialmente na ausência de predadores
  (crescimento ilimitado por escassez de
  predadores)
• 4- A população de predadores y(t) decresce
  exponencialmente na ausência de presas
  (decrescimento por escassez de alimento)
• 5- A população de predadores é favorecida pela
  abundância de presas
• 6- A população de presas é desfavorecida pelo
  aumento de predadores.

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Modelo Clássico do tipo Presa-Predador de
Lotka-Volterra

• Estas seis hipóteses são resumidas nas equações
  abaixo, denominadas Modelo de Lotka-Volterra

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Interpretação para parâmetros

• a taxa de crescimento da população de presas na
  ausência de predadores
• (a/ß) a eficiência de predação, isto é, a
  eficiência de conversão de uma unidade de massa
  de presas em uma unidade de massa de predadores,
  já que a representa a proporção de sucesso dos
  ataques dos predadores e ß a taxa de conversão de
  biomassa das presas em predadores
• b taxa de mortalidade de predadores na ausência
  de presas
• Obs.Os pontos críticos do sistema são (0,0), um
  ponto de sela instável, e ((b/ß),(a/a)) que é um
  centro estável.

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Plano de fase do modelo clássico de Lotka-Volterra

• Ciclos Ecológicos

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Re-interpretando as seis hipóteses comentadas
acima

• A hipótese
• "1" significa apenas que, dentro de cada espécie,
  o ambiente não privilegia nenhum indivíduo.
  Portanto é natural que as variáveis de estado
  sejam apenas quantidades
• "2" significa apenas que há interação entre as
  espécies
• "3" indica que não há auto-inibição nas presas,
  isto é, para um dado número de predadores, o
  crescimento específico das presas é constante,
  podendo ser positivo ou negativo
• "4" como em "3", espera-se que, para um dado
  número de presas, o crescimento específico dos
  predadores seja constante, podendo ser positivo
  ou negativo
• "5" apenas indica que o crescimento específico
  dos predadores aumenta com o número de presas
• "6" significa que o crescimento específico das
  presas diminui com o aumento dos predadores.

Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que,
dada uma certa quantidade de uma espécie, a outra
tem crescimento (decrescimento) malthusiano.
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Arquitetura para modelo p-fuzzy de Lotka-Volterra
20
Representação gráfica da regras
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Base de Regras para Lotka-Volterra

• Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
• Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
• Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
• Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
• Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
• Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
• Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
• Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
• Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
• Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
• Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
• Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
• Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
• Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
• Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
• Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e
  (1/Y)((dY)/(dt)) é P2

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Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra

• Em cada instante t, o número de presas e de
  predadores é dado pelas fórmulas

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Estimativas

• Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados
  pelas fórmulas

onde e são as saídas do
controlador correspondentes às entradas
e .
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Contingentes populacionais e plano de fase para o
p-fuzzy Lotka-Volterra