Alg

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Algèbre relationnelle

• Witold LITWIN

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Algèbre relationnelle

• Proposée par E. Codd, 1969
• Utilisée en général à l'intérieur de tout SGBD
  relationnel
• Un LMD algébrique est possible, mais en général
  peu commode pour l'homme
• On préfère les requêtes SQL, QUEL, QBE...
• celles-ci sont traduites en expressions
  algébriques
• procedurales donc faciles à optimiser par des
  transformations syntaxiques

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Opérateurs traditionnels

• Opérateurs ensemblistes
• UNION, INTERSECT, DIFFERENCE, TIMES
• Ces opérateurs sont reformulés spécifiquement
  pour le modèle relationnel
• Opérateurs relationnels spécifiques
• RESTRICT, PROJECT, JOIN, DIVIDE
• Les expressions algébriques transforment des
  tables en une table (propriété de fermeture)

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Opérateurs ensemblistes

• UNION INTERSECT DIFFERENCE

PRODUCT
a x a y b x b y c x c y
a b c
x y
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Opérateurs relationnels
a1 b1 c1 a1 b1 c2 a2 b1 c1 a2 b1 c2 a3 b2 c3

• Jointure (naturelle)
• Division

a1 b1 a2 b1 a3 b2
c1 b1 c2 b1 c3 b2
a x a y a z b x c y
x y
a
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Opérateurs relationnels

• Restriction
• Projection

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Définition syntactique

• A TIMES B
• Pour les 3 autres, A et B doivent être
  union-compatibles
• Mêmes attributs et dans le même ordre
• Le résultat a les mêmes attributs
• A UNION B
• A INTERSECT B
• A MINUS B

S SNAME STATUS CITY S1 Smith 20
London S4 Jones 10 Paris
S SNAME STATUS CITY S1 Smith 20 London
S SNAME STATUS CITY S1 Smith 20
London S4 Clark 20 London
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Propriétés

• UNION, INTERSECT, TIMES sont associatifs et
  commutatifs
• (A UNION B) UNION C A UNION (B UNION C)
• (A UNION B) (B UNION A)
• démontre !
• Et MINUS ?

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Restriction

• A WHERE X theta Y
• theta est un opérateur de comparaison
• WHERE X theta Y est la condition de restriction
• un tuple t de A est sélectionné ssi WHERE X theta
  Y (t) 'vrai'
• Y 'littéral' est aussi possible
• A WHERE booléen - idem
• formellement on procède en fait par les
  opérateurs ensemblistes, ex.
• A WHERE c1AND c2 (A WHERE c1) INTERSECT (A
  WHERE c2)
• S WHERE CITY 'Paris' AND STATUS gt '10'

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Projection

• A X, Y,...Z est une projection de A sur les
  attributs énumérés, tous distincts
• A sans liste est une projection d'identité
• A est une projection nulle
• Exemples
• S
• S S, CITY
• (S WHERE STATUS 10 ) S, CITY
• (S WHERE STATUS 10 ) S, CITY WHERE CITY
  'Paris'

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Jointure naturelle

• La jointure A JOIN B de deux tables
• A (X, Y) et B (Z, Y)
• est la table C avec les attributs
• C (X, Y, Z)
• et les tuples (Xx, Yy, Zz ) tels que (x, y)
  est dans A et (y, z) est dans B
• X, Y, Z peuvent être composés
• La jointure naturelle est associative et
  commutative ?

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??-jointures

• table C égale à
• C ( A TIMES B ) WHERE X ???Y
• est la ????jointure de tables A(X,...) et B
  (Y,...)
• (S TIMES SP ) WHERE S.S SP.S
• (((S RENAME CITY AS SCITY) TIMES S ) WHERE
  SCITY gt CITY RENAME SNAME AS SNAME1) RESTRICT
  WHERE SNAME1 gt SNAME)
• Est-ce que la ????jointure est associative et
  commutative ?

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Division

• Table C ( X ) notée
• A DIVIDEBY B
• est une division de tables A (X, Y) et B (Y) ssi
  C contient tous les tuples ( x ) tels que???( y
  ) ??B , ??( x, y ) ??A

S S1
S P S1 P1 S1 P2 S2 P1 S2 P3
P P1 P2
Les fournisseurs de toutes les pièces
DIVIDEBY est-t-il associatif ou commutatif ?
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Requêtes algébriques(comment seraient-elles en
SQL ?)

• (( S JOIN SP ) WHERE P 'P2' ) SNAME
• (((P WHERE COLOR 'Red' ) P JOIN SP ) S
  JOIN S SNAME
• (((P WHERE COLOR 'Red' ) P, PNAME JOIN SP )
  S, PNAME JOIN S SNAME
• (( SP S, P DIVIDEBY P P ) JOIN S ) SNAME
• SP S, P DIVIDEBY ( SP WHERE S 'S2') P
• Est-ce vrai qu'une requête alg. est toujours
  compliquée à formuler que celle correspondant en
  SQL ?

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Utilité de l'algèbre

• Puissance expressive
• 8 opérateurs de Codd permettent d'exprimer toute
  expression logique de prédicat de 1-er ordre
• note seulement 5 sont primitives (lesquels ?)
• La puissance expressive de l'algèbre dite
  complétude relationnelle constitue la mesure de
  la puissance minimale de tout LMD assertionnel
  digne de ce nom

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Utilité de l'algèbre

• Technique de choix pour l'implémentation
• Il n'y a que 8 opérateurs
• Ces opérateurs sont faciles à implementer
• Leur propriétés permettent de transformer les
  expressions en efficaces à évaluer, en général
• (( S JOIN SP ) WHERE P 'P2' ) SNAME ( S
  JOIN ( SP WHERE P 'P2' )) SNAME
• pourquoi la 2-ème expression semble plus
  efficace ?

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Complétude relationnelle de SQL

• ? expression algébrique, ? une expression
  équivalente de SQL
• Schéma de preuve
• ? opérateur algébrique, ? une expression
  équivalente de SQL
• ? composition d'opérateurs algébriques, ? une
  composition équivalente de SQL

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?

• A UNION B
• SELECT FROM A UNION SELECT FROM B
• A (X) MINUS B (X)
• SELECT FROM A WHERE NOT EXIST (SELECT FROM B
  WHERE A.x1 B.x1 AND A.x2 B.x2...)
• A TIMES B
• SELECT FROM A B
• A WHERE p
• SELECT FROM A WHERE p
• A x, y.., z
• SELECT DISTINCT x,y..z FROM A

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?

• Par induction
• ? tables A et B, si?????des expressions SQL pour
  A et B, alors ???des expressions SQL permettant à
  appliquer tout opérateur relationnel à A ou B
• Prouve cette assertion !

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Quelques règles de transformation(améliorations
relationnelles)

• Sélections d'abord
• A JOIN B WHERE restriction-sur-B A JOIN ( B
  WHERE restriction-sur-B )
• A JOIN B WHERE restriction-sur-A AND
  restriction-sur-B (A WHERE restriction-sur-A
  ) JOIN ( B WHERE restriction-sur-B)
• Forme conjonctive normaleWHERE p OR ( q AND r)
  WHERE (p OR q) AND ( p OR r)
• Il suffit qu'une condition soit .FAUX pour
  rejeter le tuple

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Quelques règles d'amélioration

• Réduction de restrictions
• (( A WHERE r1 ) WHERE r2 ) WHERE r3... ( A
  WHERE r1 AND r2 AND r3 ...)
• Réduction de projections à la dernière
• ( ((( A project 1 ) project 2) project 3
  )...project n A project n
• Etc.

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Opérateurs additionnels

• ( EXTEND P ADD 'Weight in Gr' ,
• (WEIGHT 454 ) AS WEIGHT1 )
• WHERE WEIGHT1 gt 1000
• SUMMARIZE SP GROUPBY ( P ) ADD SUM ( QTY) AS
  TOTQTY
• ( SUMMARIZE ( P WHERE COLOR 'Red')GROUPBY (
  CITY ) ADD COUNT AS N ) WHERE N gt 5 ) CITY

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Opérateurs additionnels

• Division généralisée
• La division de A (X, Y) par B (X, Z) est C ( X,
  Z) où tout sous-tuple C (Xx) est le tuple de la
  division relationnelle et vice versa
• Jointure externe
• Assignation (pour mises à jour)
• S S UNION (( S 'S6', SNAME 'Baker')
• S S MINUS ( S WHERE CITY 'Paris')

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Conclusion
E. Codd à son travail
25
Conclusion
A E. Coddpour les 25 ans du Modèle Relationnel
26
FIN
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(No Transcript)