Derivada, a linguagem do movimento

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Ensino Superior
Cálculo 1
2- Derivada- A Linguagem do Movimento
Amintas Paiva Afonso
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A linguagem do movimento
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma
função que relacionava o espaço com o tempo na
queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade
do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas.

• A derivada expressa o ritmo da mudança
  instantânea em qualquer fenômeno que envolva
  funções.

Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta
interpretação é especialmente precisa e
interessante. De fato, historicamente, foi o que
deu origem ao estudo das derivadas.
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A lei da queda dos corpos
A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os
corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na
falta de um instrumento matemático - as
derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa
de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente
e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte
disputa entre eles.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de
julho de 1646 Hanôver, 14 de Novembro de 1716)
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de
1643 Londres, 31 de Março de 1727)
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A linguagem do movimento
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial
e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos
físicos, naturais e inclusivamente sociais,
abriram as portas ao espectacular desenvolvimento
científico e tecnológico que transformou o mundo
em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história
anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o
sonho pitagórico explicar o mundo com a
Matemática.
(?) O despeito de Newton (1642 1727) devido a
algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter
em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as
suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial
e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646
1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz
de por si só desenvolver o Cálculo com uma
notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de
plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society,
presidida pelo próprio Newton o que foi a sua
perdição. Desacreditado pela opinião dominante,
neste caso nada imparcial, a historia terminou
amargamente para ele. Newton gabava-se de ter
desfeito o coração de Leibniz.
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Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica
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Introdução
Se uma função é representada graficamente por uma
reta (função afim), facilmente sabemos com que
velocidade varia essa função. Corresponde, é
claro, à declividade da reta representativa da
função.
f(b)
f(b) - f(a) ?y
?
f(a)
b a ?x
a
b
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E...  se o gráfico da função não for uma
reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa
função?
O que o Matemáticos se lembraram foi de
substituir localmente a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa(s) reta(s) e o
resto é História e o estudo das Derivadas
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E...  se o gráfico da função não for uma
reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa
função?
O que o Matemáticos se lembraram foi de
substituir localmente a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa(s) reta(s) e o
resto é História e o estudo das Derivadas
f(b)
f(b) - f(a) ?y
f(a)
b a ?x
a
b
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E quando tomamos o limite?
ZOOM IN
Vamos, então, estudar Derivadas!
?
?x
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Outros Exemplos

• Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma
  sala seja f(x) x2

O limite da razão ?y/?x, quando ?x ? 0,
exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de
tempo a partir de x0 1h, a temperatura y
aumentará de aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
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Temperatura de uma sala

• Noção Intuitiva
• Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura
  num instante bem próximo de x0 1h.

x x f(x) ?x ?y ?y/ ?x
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
1h1seg 1,0002777 1,000555 0,0002777 0,000555 2,0003601
À medida que ?x se aproxima de zero, ?y/?x se
aproxima de 2.
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Exemplos

• Exemplo 2 Determinar a derivada da função f(x)
  2x2 no ponto x0 3, ou seja, f(3).

Temos x0 3 e f(x0) f(3) 2.32 18
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Exemplos

• Exemplo 3 Determinar a derivada da função f(x)
  x2 - 6x no ponto x0 2, ou seja, f(2).

Temos x0 2 e f(x0) f(2) 22 6.2
-8
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Exemplos

• Exemplo 4 Determinar a derivada da função f(x)
  ?x no ponto x0 0, ou seja, f(0).

Temos x0 0 e f(x0) f(0) ?0 0
Nesse caso, dizemos que f(x) ?x não tem
derivada no ponto x0 0.
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Exemplos

• Exemplo 5 Uma fábrica produz, mensalmente, x
  unidades de motores, sendo o custo mensal de
  produção dado por
• C(x) 1500 220?x (em reais).
• a) Determine a derivada no ponto x0 100
  motores.
• b) Interprete o resultado obtido.

a) f(x0) f(100) 1500 220(100)1/2 3700
b) O resultado f(x0) 11, significa que a cada
aumento de unidade de motor, há um aumento de 11
reais no custo mensal, a partir de 100 motores.
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Exemplos

• Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) custo da
  produção de x sapatos, em reais.
• Suponhamos que para uma produção x0 2000
  sapatos, tenhamos a derivada C(x0) 20 reais
  por sapato.
• O que significa isso?

Significa que, se aumentarmos a produção de 1
unidade e produzirmos x 2001 sapatos, o aumento
no custo será de 20 reais, aproximadamente.
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Temperatura de uma sala
a) Se x ? x0, então ?x ? 0. b) Se ?x x - x0,
então x ?x x0 c) f(x) f(?x x0)
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(No Transcript)