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DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Prof. Luis Martínez Catalán 2008
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DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
TEOREMA
Si la función tiene derivada en
aentonces, es continua en a
Nota 1) El recíproco del teorema anterior, no
siempre es válido, es decir, una función continua
en un punto no implica que tenga derivada en el
punto.
2) Una función es diferenciable en
si tiene derivada en ese punto y es única.
3) Una función es diferenciable en un intervalo
cerrado , si
tiene derivada en cada punto del
intervalo abierto
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FORMULAS DE DERIVACION
Derivación es el proceso de hallar la derivación
de una función diferenciable
- Derivada de la función CONSTANTE

-
Entonces,
- Derivada de la función POLINOMIAL
Una expresión de la forma
donde es un entero positivo y los
coeficientes son números. Se llama polinomio en x
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El grado de un polinomio es el de la mayor
potencia en el polinomio. Una expresión del tipo
, con , que puede
escribirse como el cuociente de dos polinomios,
se define como una función racional en x.
Si se tiene una función polinomial en que
entonces se tiene
y su derivada es
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• Si tiene derivada
  entonces, , tiene
• por derivada

Es decir, la derivada de una constante por una
función es igual a la constante por la derivada
de una función.

• Si y tienen derivadas
  y si , entonces,
  

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- Derivada de un producto
En general
Si
Entonces
Es decir, combinando las fórmulas anteriores
podemos calcular la derivada de cualquier función
polinomial en x.
Ej Hallar la derivada de
Solución
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- Derivada de un producto
Si
y
y
entonces,
Ej Hallar la derivada de
y evaluar para
Solución
Si
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- Derivada de un cuociente
Si
con
entonces,
Ej Determinar la derivada de
9
Solución
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- Si es un entero positivo,
, entonces, la derivada de
es
- Si
,
entero positivo o negativo,
entonces,
Ejemplos Derivar
1)
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2)
3)
4)
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TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)
Supóngase que , con
, es decir,
, y que y son
derivables.
entonces, es derivable y es válida la
fórmula
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Corolario Sí ,
entero, entonces,
Sí , con
, entonces,
En la regla de la cadena, es la variable
independiente, es la variable
intermedia, e es la variable dependiente.
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La regla de la cadena, se puede extender a
funciones del tipo siguiente
Sí , con
y con
Ej Encontrar en
Solución Nótese que si
se puede escribir
Derivando
, pero
Además,
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Entonces, por la Regla de la Cadena
, pero
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Ejercicios
I) Calcular los siguientes límites
1)
5)
2)
6)
7)
3)
4)
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II) Estudie la continuidad de las siguientes
funciones en todo su dominio. Redefina
si es necesario.
,
i)
R. es continua en todo su dominio
,
,

1. es discontinua en
   Hay que redefinir

ii)
,
, Sí

1. es continua en todo su dominio

iii)
, Sí
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III) Obtenga la derivada de las siguientes
funciones
1)
R.
2)
R.
3)
R.
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R.
4)
5)
R.