VII. Quelques m

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VII. Quelques méthodes d'interprétation et de
transformations rapides des anomalies
MODULE - METHODES POTENTIELLES

• VII.1 Problématique du prolongement, de la
  dérivation et de la réduction des champs de
  potentiel
• VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2
  variables
• VII.3 Expression des principales transformations
  des champs de potentiel dans le domaine de
  Fourier
• VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation
• VII.5 Réduction au pôle et à léquateur, et
  signaux analytiques
• VII.6 Transformation en couche équivalente

2

• VII.4 Expressions de lopérateur de prolongement
  vers le haut
• Expressions via domaine de Fourier
• (passant dun plan à laltitude a vers un plan à
  laltitude ah)

Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D)
avec
Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D)
avec
3
VII.4 Expressions de lopérateur de prolongement
vers le haut Application
Source Marche inclinée
Intersection point singulier des sources (coin,
et segment supérieur dun bord)
Ref. Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940
4
VII.4 Expressions de lopérateur de prolongement
vertical Application
Uncorrected aeromagnetic data from the Edge Hills
survey. The northern portion of the survey was
drape flown whereas the southern portion was
flown at a constant barometric altitude.
Histogram equalized shaded image (Inc30,
Az30, N up, cell-size 250m)
Fig. Thomas Ridsdill-Smith, PhD Sept. 2000,
Univ. Western Australia, pp. 179
5
VII.5 Réduction au pôle et Signaux analytiques

• La réduction au pôle ramène le sommet de
  lanomalie au-dessus du centre de la structure.
• Le signal analytique aussi, et permet en plus de
  localiser les sommets de la structure (pour des
  sources de grande largeur devant leur profondeur).

6
VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Rappel/Définition Inclinaison I du champ
magnétique terrestre
He
Ze
7
VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Inclinaisons I et Inclinaisons Apparentes I pour
des profils magnétiques
HeHecosa
He
Ze
ZeZe
8
VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Rappel du principe via lanomalie dune source
ponctuelle
Réduction au pôle Passage de
quelconque à
Expression de la réduction au pôle
Dérivée seconde en z
Intégrations en m0 et en f0
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VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Anomalie au pôle (I90)
Anomalie à léquateur (I0)
où
10
VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques

•  
• Enveloppe du signal analytique déterminé à partir
  de dérivations dans le domaine de Fourier ou
  dans le domaine spatial
•   
• Le long dun profil (source à 2D ligne ou
  cylindre de dipôles daimantation linéique
  )
• Sur une carte (source à 3D point ou sphère, de
  dipôles daimantation , en A/m )
     
•    
•  
•  

TF
Signal Analytique
Signal analytique Dérivation et ajout dune
partie imaginaire utilisant la transformée de
Hilbert
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VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Enveloppe du Signal analytique avec dérivation
Enveloppe du Signal analytique sans dérivation
12
Cas détude Calculs du profil dune ligne de
dipôles (sources 2D)
ici
Fonction paire
Fonction impaire
Cf. I90 (pôle) et I0 (équateur)
Cf. I45
13
Cas détude Calculs du profil dune ligne de
dipôles (sources 2D)
Signaux analytique de profils magnétiques
Fonction paire
Fonction impaire
?
()
?
Le module du signal analytique dune ligne de
dipôles est paire
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Cas détude profil de lanomalie dautres
sources 2D
Signaux analytiques de profils magnétiques
?
?
X0
?
()
Réduction au pôle via signaux analytiques
?
?
Le module du signal analytique dune ligne de
dipôles est paire
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VII.7 Transformation en couche équivalente
(introduction)
On part de lexpression de la TF de lanomalie
mag dune source ponctuelle en z
On lintègre en z pour avoir celle dune source
étendue sur un segment vertical de z1 à z2
(tz2-z1)
1. En déduire lopérateur de transformation en
couche équivalente TCEz1,z2
2. En prenant le cas particulier dune couche
fine (tltltzltlt1/k), discuter de la stabilité de
TCEz1,z2
16
VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques
Compléments - Au cas où...

•  
• Potentiel Newtonien et anomalie gravimétrique
  dans le domaine de Fourier et dans le domaine
  spatial
•   
• Le long dun profil (source à 2D ligne ou
  cylindre, de masse linéique l)
• Sur une carte (source à 3D point ou sphère, de
  masse m, en kg)    
•    
•  
•  

TF
où
17
VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux
analytiques

•  
• Potentiel magnétique et anomalie magnétique du
  champ total dans le domaine de Fourier et dans
  le domaine spatial
•   
• Le long dun profil (source à 2D ligne ou
  cylindre de dipôles daimantation linéique
  )
• Sur une carte (source à 3D point ou sphère, de
  dipôles daimantation , en A/m )
     
•    
•  
•  

TF
où
Réduction au pôle Passage de
quelconque à