Quelques interrogations

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Quelques interrogations à propos du "tableau de
signes"
Dominique Gaud Régionale de Poitiers IREM de
Poitiers Membre de la Commission Inter IREM
didactique
2

• Cet atelier sappuie sur la recherche menée par
  léquipe de lIREM de Poitiers 1 associée à
  lIREM de Paris VII dans le cadre du projet
  ADIREM-INRP.
• 1 Equipe coordonnée par M.Cheymol, D. Gaud,
  J.P. Guichard, L. Jussiaume, C. Robin.

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Les programmes
Mise en équation  résolution algébrique. Résolution graphique déquations et dinéquations Résoudre un équation ou une inéquation se ramenant au premier degré. Utiliser un tableau de signes pour résoudre une inéquation ou déterminer le signe dune fonction. Résoudre graphiquement des équation ou inéquations du type  f(x)k  f(x)g(x)  f(x)ltg(x)  Pour un même problème, on combinera les apports des résolutions graphique et algébrique. On précisera les avantages et les limites de ces différents modes de résolution. On pourra utiliser les graphiques des fonctions de référence et leurs positions relatives. On ne sinterdira pas de donner un ou deux exemples de problème conduisant à une équation que lon ne sait pas résoudre algébriquement et dont on déterminera des solutions approchées.
Le libellé diffère sensiblement de celui des
programmes antérieurs dans la mesure où cest la
première fois que lexpression  tableau de
signes  est citée.
4
Actuellement
Utiliser le tableau de signes pour résoudre une
inéquation ou déterminer le signe dune fonction
C est une nouveauté
5
Analyse de quelques manuels

• En quoi diffèrent et se ressemblent les
  différentes présentations des manuels.
• Les présentations sont-elles conformes aux
  instructions officielles?

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• Si on se réfère aux commentaires du programme,
  le cadre algébrique est à relier en permanence au
  cadre fonctionnel en faisant appel le plus
  fréquemment possible au registre graphique.
•  Utiliser de façon raisonnée et efficace la
  calculatrice pour les calculs et pour les
  graphiques .
•  Des activités liées aux fonctions, aux
  équations ou aux inéquations mettront en valeur
  linformation donnée par la forme dune
  expression et motiveront la recherche dune
  écriture adaptée .
•  On multipliera les approches 
• La rubrique contenus spécifie  mise en
  équation  résolution algébrique, résolution
  graphique déquations et dinéquations .
•  Pour un même problème, on combinera les
  apports des modes de résolution graphique et
  algébrique. On précisera les avantages et les
  limites de ces différents modes de résolution. On
  pourra utiliser les graphiques des fonctions de
  référence et leurs positions relatives. On ne
  sinterdira pas de donner un ou deux exemples
  de problèmes conduisant à une équation que lon
  ne sait pas résoudre algébriquement et dont on
  cherchera des solutions approchées .

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La situation initiale présentée par lIREM de
Paris VII
Etape 1 exemple Pour des valeurs numériques
données de x, vous devez calculer les valeurs
numériques de lexpression suivante f(x) (x
2) (2x 3)(x 5)(4x 1)(1 x) Sont-elles
toujours positives ? Sont-elles toujours
négatives? Sont-elles quelquefois positives,
quelquefois négatives ? Calculez ! Quand vous
avez une réponse, appelez votre professeur.
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La situation initiale (suite)
Etape 2 Trouvez un moyen qui vous permet de
dire, très vite et de façon fiable, quand votre
professeur vous propose une valeur numérique pour
x, si lexpression est positive, négative ou
nulle. Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Quand vous pensez avoir une méthode, appelez
votre professeur.
Le tableau de signes une technique au service
de létude dune expression polynomiale
factorisée.
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Notre questionnement
1- Pourquoi étudier le signe dune expression
polynomiale ? A quoi cela sert-il ? 2- Comment
étudier le signe dune expression polynomiale ?
Quelles sont les techniques utilisées ? Quelles
sont les justifications de ces techniques données
aux élèves actuellement ?
Le signe dune expression polynomiale où le
trouve-t-on ? En quelle compagnie ? Quel est son
rôle ? Comment létudier ?
10
Où trouve-t-on des réponses?Dans le savoir
savant un regard historiqueDans le savoir
enseigné programmes et manuels
Historiquement, quand a-t-on étudié le signe
dune expression polynomiale, et pourquoi ? Quand
létude du signe dune expression est-elle
apparue dans les programmes ? Dans quels types de
problèmes ? Quelles étaient les techniques
utilisées ? Comment étaient-elles justifiées ?.
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Au niveau historique

• Deux problèmes
• la détermination du nombre de racines dune
  équation polynomiale
• la détermination des racines dune équation
  polynomiale

On peut distinguer deux périodes avant Cauchy
approche algébrique après Cauchy approche
par lanalyse
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Avant Cauchy (1789- 1857)
Girard (15951632) Descartes (1596-1650) Rolle
(1652- 1719) Marquis de LHospital
(1661-1704) Euler (1707-1783) DAlembert (1717-
1783) Lacroix (1765-1843)
13
Avant Cauchy
Girard (1629), Descartes(1637) La détermination
du nombre de racines par la méthode du nombre de
variations de signe de lexpression.
Descartes 1596-1650
Girard 1595-1632
14
Descartes (1637)  La Géométrie,

• Il nest question que déquations. Les
  préoccupations de Descartes sont les suivantes 
• la détermination du nombre de racines dune
  équation (nombre de vraies racines, de  fausses
  racines ), résultat énoncé par Girard en 1629
  dans son Invention nouvelle en algèbre
• le calcul des valeurs exactes - et non des
  valeurs approchées des solutions d'une équation 
• la construction géométrique des racines.
• Létude du signe dune quantité algébrique
  napparaît pas.

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Descartes 1596-1650 Exemple de problème de
construction conduisant à une équation polynomiale
16
Règles de Descartes
17
Règles de Descartes
18
Règles de Descartes explication
19
Rolle Algèbre (1690)

• Rolle remarque que les racines, que nous
  appelons maintenant réelles, dun polynôme sont
  nécessairement séparées par celles du polynôme,
  que lon appelle maintenant polynôme dérivé, ces
  dernières par celles du polynôme dérivé second,
  et ainsi de suite. Cest la méthode appelée
  méthode des cascades.

20
Le Marquis de lHospital (Analyse des infiniment
petits pour lintelligence des lignes courbes,
1696)

• Lidée de variation apparaît page 42   on
  conçoit aisément quune quantité qui diminue
  continuellement, ne peut devenir positive à
  négative sans passer par le zéro .
• Le calcul infinitésimal ne sintéresse pas à ce
  qui est devenu un point essentiel de notre
  enseignement à savoir les variations de signe
  dune quantité.

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1- Où lon donne les règles du calcul sur les
différences. 2-Usage du calcul des différences
pour trouver les tangentes à toute sorte de
lignes courbes. 3- Usage du calcul différentiel
pour trouver les plus grandes les moindres
appliquées. 4-Usage du calcul des différence pour
trouver les points d inflexion les points de
rebroussement. 5- Usages des différences pour
trouver les développées. 6-Usage du calcul des
différences pour trouver des caustiques par
réflexion. 7-Usage du calcul des différences pour
trouver des caustiques par réfraction. 8-Usage du
calcul des différences pour trouver les points
des lignes courbes qui touchent une infinité de
lignes données de position, droites ou
courbes. 9- Solution de quelques problèmes qui
dépendent des méthodes précédentes. 10- Nouvelle
manière de se servir du calcul des différences
dans les courbes géométriques, d où l on
déduit la méthode M. Descartes Hudde.
Table des matières
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D Alembert , Lacroix
DAlembert(1784), Lacroix(1836) propose la
détermination exacte ou approchée des racines à
laide du signe de lexpression (méthode due à
Newton). Lexistence des racines est justifiée
graphiquement.
D Alembert 1717-1783
Lacroix 1765-1843
Létude du signe dun polynôme associée à la
recherche des racines la technique du
changement de signes ne peut pas être
justifiée La recherche des racines dun polynôme
se nourrit de létude du signe du polynôme.
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DAlembert (Encyclopédie méthodique, 1784, ACL
Editions), dans larticle approximation,

•  Théorème  Si en substituant dans une équation
  quelconque deux nombres différents à la place de
  linconnue, on obtient des résultats de signes
  contraires, lune des valeurs de linconnue sera
  comprise entre les deux nombres substitués .
• De ce résultat, énoncé en théorème mais non
  démontré, il tire des corollaires permettant
  daffirmer 
• quun polynôme de degré impair a toujours une
  racine réelle,
• que tout polynôme unitaire de degré pair dont
  le terme constant est négatif admet une solution
  réelle,
• que tout polynôme unitaire dont le terme
  constant est négatif a au moins une racine
  positive,
• Suit une technique pour trouver des valeurs
  approchées.

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Lacroix  seizième édition des Eléments dalgèbre
de Lacroix (1836).

• Après avoir étudié tous les cas où lon pouvait
  trouver des solutions exactes aux équations,
  Lacroix, dans le paragraphe intitulé Procédés
  pour approcher des racines dune équation
  numérique (page 298), cite le principe suivant 
• Lorsque lon a trouvé deux quantités qui,
  substituées dans une équation à la place de
  linconnue, donnent deux résultats de signes
  contraires, on doit conclure quune des racines
  de léquation proposée est comprise entre ces
  deux quantités, et est par conséquent réelle .
• Par ailleurs, Lacroix expose une technique
  justifiée pour reconnaître quune équation a des
  racines doubles.

25
Euler , Introduction à lanalyse infinitésimale
(1796) 

• Euler énonce le théorème des valeurs
  intermédiaires pour les fonctions entières  
  Si une fonction entière Z (cest à dire polynôme
  NDLR), en faisant z a, prend la valeur A et en
  faisant z b, prend la valeur B  en mettant à
  la place de z des valeurs moyennes entre a et b,
  la fonction Z peut prendre toutes les valeurs
  moyennes quon voudra entre A et B .

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Euler

• Dans le chapitre  De la recherche des facteurs
  trinômes , Euler sintéresse à la factorisation
  des expressions polynomiales. Les techniques sont
  algébriques et sappuient sur les propriétés des
  nombres complexes.
• Les factorisations obtenues sont utilisées pour
  sommer des séries infinies (chapitre 10) puis
  pour décomposer des fractions rationnelles en
  éléments simples.
• Dans le tome premier, on ne trouve aucune trace
  du signe de lexpression mais les techniques de
  factorisation des polynômes à coefficients réels
  sont bien présentes.
• La localisation des racines conduit à la
  recherche (locale) du signe dune expression.

27
Bilan

• Ainsi, on constate que, jusquà Cauchy, la
  problématique essentielle est 
• la recherche des valeurs exactes des racines
  dune équation polynomiale,
• la localisation des racines pour la détermination
  de valeurs approchées des racines dune équation
  polynomiale.

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Cauchy  la primauté de lanalyse dans lapproche
29
Cauchy
La problématique de la variation des fonctions
apparaît On étudie le signe de la dérivée pour
déterminer les variations de fonctions dans le
but de déterminer des extrema. Ce travail
sinscrit dans un domaine externe aux
mathématiques.
Cauchy 1789-1857
Létude des variations dune fonction à laide de
sa dérivée fait vivre le signe dun polynôme.
30
Bolzano 1781-1848
 Dans la théorie des équations, il y a deux
théorèmes dont on pouvait dire récemment encore
que la démonstration entièrement correcte est
inconnue. Lun est le suivant  il faut quil y
ait toujours, entre deux valeurs quelconques de
la grandeur inconnue qui donnent deux résultats
de signes opposés, au moins une racine réelle de
léquation. Voici lautre  toute fonction
algébrique rationnelle entière dune grandeur
variable peut être décomposée en facteurs réels
du premier et second degré.  Bolzano (1817)
Bolzano
31

• Avec Cauchy, la problématique de la variation
  des fonctions apparaît, de façon explicite mais
  non essentielle, dans les résumés de ses cours à
  lEcole Polytechnique (1823).
• La recherche des variations se fait à partir de
  létude du signe de la dérivée. Cette
  problématique de la variation des fonctions
  semble être restée étrangère aux fondateurs et
  aux premiers utilisateurs du calcul
  infinitésimal.( Newton, Leibniz, Euler).

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Pourquoi étudier les variations de fonctions?
C'est essentiellement dans le cadre de l'étude et
de la résolution des équations différentielles ou
aux dérivées partielles, issues de la mécanique
et de la physique (questions relatives aux
petites oscillations des corps, à la stabilité du
système solaire, au mouvement des fluides, à la
diffusion de la chaleur) que l'intérêt d'une
étude qualitative des fonctions va être défendu,
par Poincaré mais d'abord par Sturm (Mémoires sur
la résolution des équations numériques, 1835).
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Sturm (1835)
Détermination du nombre de zéros dun polynôme à
laide des signes dune suite de polynômes.
Sturm 1803-1855
Létude du signe de polynômes est associée à la
recherche des racines. La technique du changement
de signes sappuie sur une nouvelle technologie
dans un cadre théorique.
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Sturm
 La résolution des équations numériques est une
question qui na cessé doccuper les géomètres,
depuis lorigine de lalgèbre jusquà nos jours.
Lagrange, le premier, a donné pour cet objet une
méthode rigoureuse /... Mais, dans
lapplication, la longueur des calculs .../ la
rend presque impraticable. Le théorème dont le
développement est lobjet de ce mémoire /
fournit un moyen très sûr de connaître combien
une équation a de racines réelles comprises entre
deux nombres quelconques  cette connaissance
suffit pour conduire à la détermination
effective de toutes les racines réelles.  (Sturm
1835)
35
Bilan
Historiquement, dans le cas des fonctions
polynômes, c'est à partir de leur forme
développée que se fait la recherche des zéros.
Létude du signe est un moyen de détermination de
ces zéros.
Létude du signe dune expression polynomiale
factorisée ne vit pas dans le savoir savant.
La question se pose donc de comprendre ce qui a
motivé, au niveau de lenseignement - létude
systématique du signe dune expression
algébrique . - le choix des techniques qui
sont proposées aux élèves pour conduire cette
étude, les types de problèmes traités, leurs
diverses formes au cours du temps.
36
Dans lenseignement
37
Dans lenseignement
Equations paramétriques du second degré
Par lalgèbre
Etude des variations de fonctions
Par lanalyse
Dérivées
Le savoir savant de lalgèbre va essayer de
sadapter. Le savoir savant de Cauchy va devenir
savoir à enseigner. Les deux techniques vont
entrer en concurrence.
Neveu 1908
38

• Lalgèbre va résister quelque temps car létude
  de variations de certaines fonctions font
   vivre  les équations paramétriques du second
  degré.
• Mais létude des variations des fonctions par le
  signe de la dérivée va supplanter les techniques
  algébriques les équations paramétriques nont
  plus de raisons dêtre et vont disparaître peu à
  peu de lenseignement (dans les années 1970).

39
Dans lenseignement
Equations paramétriques du second degré
Etude des variations de fonctions
Les équations paramétriques du second degré ne
vont plus pouvoir vivre et vont lentement
disparaître.
Donc fonctions créées pour la circonstance et
que lon étudie encore
Par lanalyse (Dérivées)
Naissance de traditions didactiques
40
Un exemple le programme de 1902
a- Classe de seconde C et D  Variation de
lexpression axb  représentation
graphique. Equation du second degré à une
inconnue. - Nature et signe des racines. - Etude
du trinôme du second degré. Changements de
signes. Inégalités du second degré . Problèmes
du second degré. Variations du trinôme du second
degré  représentation graphique. Variations de
lexpression axb/cxd représentation
graphique. Notion de dérivées  signification
géométrique de la dérivée. Le sens de variation
est indiqué par le signe de la dérivée 
application à des exemples numériques très
simples.  En classe de mathématiques ces
apprentissages sont repris et approfondis. A
létude des fonctions du premier et du second
degré , de la fonction homographique est ajoutée
celle des fonctions bicarrées, des quotients de
fonctions polynômes du second degré et des
fonctions de la forme x3 px q.
41
Un exempleNeveu 1908
42
Neveu 1908

• Ce cours comprend trente cinq leçons
• Les huit premières sont consacrées aux nombres,
  aux polynômes, aux fractions rationnelles
• Les leçons 9 à 14 traitent des problèmes du
  premier degré  équations, systèmes déquation,
  problèmes qui y conduisent
• Les leçons 15 à 22 traitent des problèmes du
  second degré
• Les leçons 23 à 27 sont consacrées à létude des
  fonctions au programme
• Les leçons 28 à 31 traitent de la dérivation et
  de ses applications à létude des fonctions et
  aux calculs de surfaces et de volumes
• Létude du signe dune expression occupe une
  place importante dans louvrage, 13 du volume de
  louvrage y est directement consacrée , 20 du
  volume si lon ajoute les études faites sur la
  factorisation des polynômes et sur les fractions
  rationnelles pour pouvoir en étudier le signe.
• Les études de signe sont constamment utilisées
  pour les études de fonctions qui sont conduites
  de deux manières (pour les mêmes fonctions) 
• Directement dans les chapitres 23 à 27
• A laide des dérivées dans les chapitres 28 à 31

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Des exemples de mise en œuvre dans les manuels
avant 2000du tableau de signes

• Neveu (1908)
• Maillard (1962)
• Riche (1970)

44
Une technique écologiquement viable...
Dautres techniques sont apparues puis ont
disparues Pourquoi?
Maillard 1962
45
Maillard 1962

• Résoudre linéquation (x-5)(x-1)(x-2)(x3)gt0
• Les facteurs successifs sannulent
  respectivement pour les valeurs 5  -1  2 -3.
  Nous rangeons ces valeurs par ordre croissant 
  -3  -1  2  5.
• Daprès ce qui précède, nous pouvons conclure
  que pour xgt5 tous les facteurs sont positifs et
  linéquation est vérifiée.
• Si maintenant x prend une valeur comprise entre
  2 et 5, seul le facteur x-5 change de signe et le
  produit change de signe. Le produit est donc
  négatif pour 2lt x lt5. Et le raisonnement se
  poursuit/
• Le schéma indique les changements de signe

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Riche (1970)

• Remarquons que la valeur dun polynôme du
  premier degré change de signe quand x
   traverse  son zéro. La valeur dun polynôme du
  second degré change de signe si x  traverse  un
  zéro simple du polynôme, mais elle ne change pas
  de signe si x  traverse  un zéro double.
• Ce résultat est général  la valeur dun polynôme
  P ne peut changer de signe que si x  traverse 
  un zéro du polynôme P, si x  traverse un zéro
  simple (dordre 1) ou triple (dordre 3), la
  valeur de P(x) changera de signe  si x
   traverse  un zéro double (dordre 2) ou un
  zéro quadruple (dordre 4), la valeur de P(x) ne
  changera pas de signe.
• Considérons, par exemple, le polynôme. P est un
  polynôme du 7ième degré. Il admet 2 comme zéro
  double,1 comme zéro simple, 3 comme zéro triple,
  5 comme zéro simple. Sur chacun des intervalles
  8, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 8, P(x)
  conserve un signe constant. Calculons la valeur
  de P(x) pour x appartenant à lun de ces
  intervalles. Par exemple P(0), P(0)lt0  P(x) est
  donc négatif lorsque x décrit -2, 1. Doù le
  tableau 

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Riche (suite)
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Conclusions ( provocations ?)

• Quelles sont les raisons dêtre de ce que lon
  enseigne ?
• Peut-on trouver des situations motivantes sur
  des notions insignifiantes?

Je vous renvoie au travail de la Commission Inter
IREM didactique actuel