Pour tout entier n, vn est entier ou irrationnel

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Pour tout entier n, vn est entier ou irrationnel

• Un beau théorème absent de larithmétique
  dEuclide
• (Livres 7 à 9 des Éléments)

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vn est entier ou irrationnel

• I - Lirrationalité de vn  

1 - v2 et la crise  des quantités
irrationnelles Si v2 était un rapport de deux
entiers, la diagonale et le côté dun carré
seraient mesurés par une même unité (i.e. en
seraient des multiples entiers). On pourrait
alors construire un carré de côté plus petit que
la moitié du précédent et qui serait mesuré par
cette même unité. On peut refaire cette
construction jusquà obtenir une longueur mesurée
par une unité plus grande quelle ! (Cf. la
démonstration dEuclide, Livre X, prop.
117). Preuve dAristote 2 ne peut pas être le
carré dun rapport dentiers. En effet, si deux
entiers a et b étaient dans un rapport
irréductible (i.e. sans diviseur commun) tel que
a2  2b2, a serait un nombre pair (car le carré
dun nombre impair est impair) et 2b2 serait
multiple de 4. b serait donc pair et 2 serait
diviseur commun de a et b !
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• I - Lirrationalité de vn  

2 - Généralisations ? Théodore de Cyrène
(460-369) avait obtenu lirrationalité de v3 et
v5 Platon (428-347) dans le dialogue du
Thééthète  Théodore que voici nous avait tracé
quelques figures à propos de racines et nous
avait montré que celles de trois pieds et de cinq
pieds ne sont point pour la longueur
commensurables avec celle d'un pied, et, les
prenant ainsi, l'une après l'autre, il était allé
jusqu' à celle de dix-sept pieds et il s'était,
je ne sais pourquoi, arrêté là . La question
générale de lirrationalité de vn était à la
portée des Grecs, tous les arguments nécessaires
sont rassemblés dans le Livre VII des Éléments
dEuclide (prop. 20 à 32), pourtant le résultat
général ny figure pas.
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• I - Lirrationalité de vn  

3 - Démonstration de la propriété, prérequis
Elle sappuie sur le théorème dit  de Gauss 
suivant Soient a, b, c trois entiers naturels.
Si a est premier avec b et si a divise le
produit bc, alors a divise c. On utilisera
seulement cette conséquence immédiate, présente
dans les Éléments (Livre VII, prop. 25) (1) Si
p est un nombre premier divisant a2, alors p
divise a. On y trouve aussi (prop. 32) que (2)
pour tout entier non premier b gt 1, il existe un
diviseur premier de b. Enfin (prop. 20 à 22)
que (3) tout rationnel peut être représenté
par une fraction irréductible unique.
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• I - Lirrationalité de vn  

• 3 - Démonstration de la propriété
• Supposons que vn soit rationnel non entier,
• Ce rationnel peut donc être représenté par la
  fraction irréductible a/b, avec b gt 1 (3).
• - a et b sont donc deux entiers premiers entre
  eux, tels que a2  nb2.
• - Soit p un diviseur premier de b (2).
• - p divise a2 et donc divise a (1).
• - a et b ayant p pour diviseur commun, ne
  seraient pas premiers entre eux !
• - rejet de lhypothèse absurde si vn nest pas
  entier, il ne peut être rationnel.

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• II - Arithmétique dans les Éléments dEuclide. 

1 - La division euclidienne Pour Euclide, toute
l'arithmétique dans IN repose sur cette division
naturelle, non énoncée dans les Éléments
Pour tout couple d'entiers non nuls (a, b)
tels que a  b, il existe un couple unique
d'entiers (q, r) tels que a  b q r, avec
q 1 et 0 r lt b. Résultat obtenu simplement en
retranchant b de a autant de fois q qu'il est
possible. Le reste r est donc strictement
inférieur à b, sinon on pourrait enlever b de a
b q une fois de plus. 2 - Lalgorithme
dEuclide (Livre VII, prop. 1) Deux nombres
inégaux étant proposés et le plus petit étant
retranché du plus grand de façon réitérée et en
alternance, si le reste ne mesure jamais le
reste précédent jusquà ce quil subsiste une
unité, les nombres initiaux seront premiers
entre eux .
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• II - Arithmétique dans les Éléments dEuclide. 

Avec les propositions 2 à 12 du Livre VII,
Euclide étudie les propriétés de la divisibilité,
et celles des proportions avec les propositions
13 à 19. Proportion Deux couples dentiers
(a, b) et (c, d) sont en proportion si et
seulement si a d  b c (prop. 19). Euclide dit
quils sont en  même raison , ou  dans le même
rapport . (Pour nous ils définissent un même
rationnel). 3 - La réduction des
fractions Proposition 20, la clé Les plus
petits nombres parmi ceux qui ont le même rapport
queux mesurent ceux qui ont le même rapport
autant de fois, le plus grand le plus grand et
le plus petit le plus petit . Traduction Si a
et b sont deux entiers non nuls et si pour tout
(c, d) formant avec (a, b) une proportion on a
a c et b d, alors il existe un entier q
tel que c q a et d q b.
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• II - Arithmétique dans les Éléments dEuclide. 

3 - La réduction des fractions Proposition 21, la
bonne remarque Les nombres premiers entre
eux sont les plus petits parmi ceux qui ont le
même rapport queux . Proposition 22, réciproque
 Les nombres les plus petits parmi ceux qui
sont dans le même rapport queux sont premiers
entre eux . Synthèse le théorème dEuclide
Soient (a, b) et (c, d) deux couples
dentiers non nuls en même rapport (a d  b c).
Si a et b sont premiers entre eux, alors c et d
sont équimultiples de a et b (i.e. il existe un
entier q tel que c  a q et d b
q). Interprétation moderne Tout nombre
rationnel représenté par une fraction c/d, peut
être représenté par une fraction irréductible
unique a/b avec c  aq et d bq, où q est le
p.g.c.d. de c et d).
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• II - Arithmétique dans les Éléments dEuclide. 

4 - Conséquence directe le théorème dit  de
Gauss  Supposons que a divise b c et que a
est premier avec b. Il existe donc d non nul
tel que a d b c. a et b sont premiers entre
eux dans le même rapport que (c, d). Daprès
le théorème dEuclide, a divise c. 5 - Les
énoncés dEuclide Proposition 24 Si a est
premier avec b et avec c, alors a est premier
avec b c. Cas particulier (proposition 25) Si
a est premier avec b, alors a est premier avec
b2. Conséquence contraposée pour a premier Si
p premier divise b2, alors p divise b. Théorème
de Gauss pour a premier (proposition 30)  Si
deux nombres se multipliant lun lautre
produisent un certain nombre et si un certain
nombre premier mesure leur produit, il mesurera
aussi lun des nombres initiaux.  Si p est un
nombre premier et si il divise le produit b c, il
divise b ou il divise c