UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO

1
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO
DE GUAYAMA PROYECTO TÍTULO V COOPERATIVO
Módulo 1
Introducción
Propósito
MÓDULOS SOBRE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Prepueba
Módulo 2
Módulo 3
Módulo 3
Postprueba

Biografía

PROF. JUAN L. TORRES OCASIO
2
MÓDULO 1
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
3
INTRODUCCIÓN

• La Universidad Interamericana de Puerto Rico,
  Recinto de Guayama, en colaboración con el
  proyecto Título V, ha desarrollado una serie de
  módulos instruccionales para cursos de
  matemática y estadística. Un módulo instruccional
  es una unidad autónoma de estudio independiente
  diseñada para individualizar y facilitar el
  aprendizaje. Es una herramienta adicional que le
  brinda al estudiante otras opciones de estudio.
  El estudiante tiene la oportunidad de aprender de
  forma individualizada.
• Antes de comenzar a estudiar los módulos debes
  contestar la pre-prueba. Es importante que pongas
  interés al contestarla.
• Te invito a que repases los temas presentados en
  los módulos y de tener dudas consulta con el
  profesor asignado al curso.

4
PROPÓSITO

• Este módulo se propone ampliar las actividades
  de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a
  las matemáticas y la estadística, incluidos en el
  Proyecto Título V Cooperativo Fortaleciendo los
  logros académicos por medio de un consorcio para
  incorporar tecnología en el currículo básico. El
  proyecto está integrado por la Pontificia
  Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce
  desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo,
  Mayagüez y Guayama la Escuela de Artes Plásticas
  de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la
  Universidad Interamericana.

5
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

• Es un resumen tabular de un conjunto de datos que
  muestra el número (frecuencia) de observaciones
  en cada una de las clases que no se traslapan.

6
CÓMO SE HACE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS?

• Supongamos que se administró un examen a 25
  estudiantes de un curso de matemáticas y estos
  fueron los resultados
• 75 60 74 68 75
• 80 65 78 70 85
• 90 59 88 80 100
• 95 85 82 82 95
• 70 98 94 90 90
• Cómo podemos emplear la distribución de
  frecuencias para describir los datos?

7
CONTINUACIÓN

• Para hacer una distribución de frecuencias hay
  que dividir los datos en clases. El primer paso,
  decidir el número de clases. Podemos usar la
  siguiente regla 2 a la c ( )en palabras (2
  elevado a la c potencia) sea mayor o igual que n.
  Donde n al número de observaciones, tamaño de
  la muestra o número de datos. Al buscar la
  potencia que se eleva el 2 tenemos,
  . En el ejemplo usaremos 5 clases. Segundo
  paso, determinar el intervalo o ancho de clase.

8
CÓMO SE DETERMINA EL INTERVALO DE CLASE?

• Ancho de clase valor mayor valor menor
• (intervalo) número de clases
• Ancho de clase
• Como el 8.2 es un número poco práctico, el
  intervalo se puede ajustar hacia arriba o hacia
  abajo. En este caso escogimos el 10.

9
CONTINUACIÓN

• Luego de obtener el número de clases y el ancho
  de cada clase, tabulamos los datos como se
  presentan a continuación
• Clases Frecuencia
• 100 90 8
• 89 80 7
• 79 70 6
• 69 60 3
• 59 o menos 1
• Con los datos tabulados podemos inferir que 8
  estudiantes obtuvieron una puntuación entre 100 y
  90. La distribución de las clases se hizo tomando
  en consideración la curva estándar para evaluar
  notas. También, podemos decir que 8 estudiantes
  obtuvieron A.

10
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA

• La distribución de frecuencia relativa (FR)
  convierte la frecuencia (F) en un porcentaje. Se
  determina dividiendo la frecuencia de cada clase
  por N (número de observaciones).
• Frecuencia Relativa Frecuencia de la clase
• N
• Así, con los datos del ejemplo anterior
  escogemos la frecuencia de cada clase y la
  dividimos entre 25. Veamos como se emplea

11
FRECUENCIA RELATIVA

• Clases F FR
• 100 90 8 0.32
• 89 80 7 0.28
• 79 70 6 0.24
• 69 60 3 0.12
• 59 o menos 1 0.04
• FR 0.32

12
FRECUENCIA PORCENTUAL

• La frecuencia porcentual (FP) es la frecuencia
  relativa multiplicada por 100.
• Continuando con el ejemplo anterior tenemos
• Clases F FR FP
• 100 90 8 0.32 32
• 89 80 7 0.28 28
• 79 70 6 0.24 24
• 69 60 3 0.12 12
• 59 o menos 1 0.04 4
• FP 0.32 X 100 32

13
GRÁFICA DE BARRAS

• La gráfica de barras es una forma gráfica de
  representar datos que se han resumido en una
  distribución de frecuencias, frecuencias
  relativas y frecuencias porcentuales. En el eje
  horizontal se colocan las clases y en el eje
  vertical la frecuencia.
• Cómo podemos presentar los resultados del examen
  en forma gráfica?. Veamos

14
GRÁFICA DE BARRAS RESULTADOS DEl EXAMEN
15
Diagrama de Pastel Resultados del Examen
16
MÓDULO 2
VALORES Z
17
VALORES Z

• Es otro valor asociado con cada valor de Xi. Se
  puede interpretar como el número de desviaciones
  estándar que dista Xi del promedio (media). Con
  la media y la desviación estándar se puede
  localizar esta relación. Al interpretar si Z1
  1.5, indicaría que X1 es 1.5 desviaciones
  estándar mayor que la media de la muestra. De
  igual manera, si Z2 -2.5, indicaría que X2 está
  a 2.5 desviaciones estándar por debajo de la
  media.

18
VALORES Z

• Los valores Z se calculan con la siguiente
  ecuación
• donde
• valor Z del elemento Xi.
• promedio (media) de la muestra
• S desviación estándar de la muestra
• Veamos como se emplean los valores Z en el
  siguiente ejemplo

19
VALORES Z

• Ejemplo 1
• Tenemos una muestra con los valores de datos 15,
  10, 14, 18 y 13. Calcule el valor Z para cada uno
  de los datos. Como se desconoce la media y la
  desviación estándar, hay que calcularlas.
• Xi ( ) ?( )
• 15 14 1 1
• 10 14 -4 16
• 14 14 0 0
• 18 14 4 16
• 13 14 -1 1
• 34

20
VALORES Z

• Varianza
• S
• Desviación estándar
• Luego de calcular la media y la desviación
  estándar podemos calcular los valores Z.
• (15)
• Interpretación El resultado indica que el 15
  está 0.34 desviaciones estándar por encima
  de la media.

21
CONTINUACIÓN

• (10)
• (14)
• (18)
• (13)

22
VALORES Z

• Ejemplo 2
• Se obtuvo una muestra con una media de 10 y una
  desviación estándar de 5 con valores de 10, 12,
  14, 8 y 6. Determine el valor Z de cada uno de
  los valores. Nota este ejercicio nos provee la
  media y desviación estándar.
• (10)
• (12)

23
CONTINUACIÓN

• (14)
• (8)
• (6)

24
MÓDULO 3
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
25
DESVIACIÓN ESTÁNDAR

• Es una medida de la variabilidad de un conjunto
  de datos usada en la estadística que nos indica
  cuanto tienden a alejarse los valores de los
  datos de la media en una distribución. Dicho en
  otras palabras, la desviación estándar es el
  promedio de la distancia de cada dato con
  respecto a su media. Se calcula sacando la raíz
  cuadrada de la varianza. Se determina mediante la
  siguiente fórmula
• Dale un clip al botón rojo y encontrarás una
  animación que te ayudará a visualizar la
  interpretación de la desviación estándar.

26
BIBLIOGRAFÍA

• Anderson, D.R. Sweeney, D. J. Williams, T.A.
  (2004). Estadística para Administración y
  Economía (8va. ed.) Thomson.
• Vera Vélez, Lamberto,(2005). Manual Básico de
  Estadística Descriptiva para la Educación y las
  Ciencias Sociales Publicaciones Puertorriqueñas,
  Inc.
• Cronk, Brian C. (2004). How to use SPSS. Third
  edition, Pyrezak Publishing.
• Lind, D.A., Marchal, W.G. Wathen, S.A. (2005).
  Estadística Aplicada a los Negocios y a la
  Economía. (12a.ed.) México McGraw-Hill/Latinoame
  ricana Editores, S.A.

27
PREPRUEBA


Distribución de Frecuencias
Inicio
28
PREPRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

• Este módulo te provee una preprueba de auto-
  evaluación con el propósito de conocer cuáles son
  tus fortalezas y debilidades en cuanto a los
  conocimientos y destrezas sobre el contenido de
  los temas presentados en el mismo. La preprueba
  te ayudará a identificar cuáles son las áreas en
  las que debes poner mayor interés. No se
  utilizará para determinar la nota del curso, sin
  embargo, te servirá para conocer tu entendimiento
  sobre los temas. Antes de comenzar a estudiar el
  contenido de este módulo te invito a que conteste
  la preprueba.

29
INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA PRE-PRUEBA

• La primera parte de la preprueba contiene 7
  ejercicios de selección múltiple. Cada
  alternativa de selección tiene al lado izquierdo
  un círculo color azul. Debes mover el apuntador
  al círculo de la alternativa que tu entiendas es
  la correcta y dar un clip. La máquina
  automáticamente te indicará si es correcta o
  incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2
  puntos. En los ejercicios el primero vale 22
  puntos y el segundo 18 puntos y el tercero 30
  puntos. La pre-prueba tiene un valor de 84
  puntos. Al finalizar la pre-prueba determina el
  promedio. Debes obtener un 70 o más. De no
  obtener esa puntuación, debes repasar nuevamente
  el material.

30
PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE (2pts.c/u)

• 1.Es una forma gráfica de representar datos que
  se han resumido en una distribución de
  frecuencias, frecuencias relativas y frecuencias
  porcentuales
• a. Gráfica de barras
• b. Diagrama de pastel
• c. Frecuencia porcentual
• d. Frecuencia relativa
• 2. Es la frecuencia relativa multiplicada por
  100
• a. Frecuencia acumulada
• b. Frecuencia
• c. Frecuencia porcentual
• d. Número de clases

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
31
CONTINUACIÓN

• 3.Es un resumen tabular de un conjunto de datos
  que muestra el número (frecuencia) de artículos
  en cada una de varias clases que no se traslapan
  
• a. Frecuencia relativa
• b. Distribución de frecuencias
• c. Frecuencia porcentual
• d. Diagrama de pastel
• 4. Se determina dividiendo la frecuencia de la
  clase entre N
• a. Frecuencia porcentual
• b. Gráfica de barras
• c. Diagrama de pastel
• d. Frecuencia relativa

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
32
C0NTINUACIÓN

• 5. Es una forma de representar la distribución
  de frecuencias relativas y de frecuencias
  porcentuales
• a. Diagrama de pastel
• b. Gráfica de barras
• c. Histograma
• d. Una ojiva
• 6. Se define como la raíz cuadrada de la
  varianza
• a. La media
• b. La moda
• c. La desviación estándar
• d. La mediana

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
33
C0NTINUACIÓN

• 7. Representa la cantidad de desviaciones
  estándar que hay entre cada valor de Xi y el
  promedio (media)
• a. La mediana
• b. Valores Z
• c. Desviación estándar
• d. La media

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
34

Parte II. Resuelve los siguientes ejercicios

• 1. Se obtuvo una muestra de las edades de20
  estudiantes del curso de Historia de Puerto Rico
• 25 20 19 35 22
• 19 22 28 18 29
• 23 21 18 31 19
• 20 22 20 18 36
• Forme una distribución de frecuencias,
  frecuencias
• relativas y frecuencias porcentuales. Qué
• porcentaje de estudiantes tienen edades entre 25
  y
• 34 años?.(22pts.)

35
C0NTINUACIÓN

• 2. Se realizó una encuesta para conocer cual era
  el campo de preferencia de los estudiantes del
  Departamento de Administración de Empresas de la
  Universidad Interamericana de Puerto Rico,
  Recinto de Guayama y estos fueron los resultados
  (18pts.)
• Campo Alumnos
• Finanzas 50
• Contabilidad 60
• Recursos Humanos 70
• Mercadeo 20

36
C0NTINUACIÓN

• A. Forme una distribución de frecuencias
  relativas y porcentuales.
• B. Dibuje una gráfica de barras.
• C. Dibuje un diagrama de pastel.
• 3. Se obtuvo una muestra con valores de 10, 15,
  14, 16 y 10. Determine el valor Z para cada uno
  de los datos. (30pts.)

Ver Respuesta
37
POSTPRUEBA
Inicio
38
INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA POSPRUEBA

• La primera parte de la posprueba contiene 7
  ejercicios de selección múltiple. Cada
  alternativa de selección tiene al lado izquierdo
  un círculo color azul. Debes mover el apuntador
  al círculo de la alternativa que tu entiendas es
  la correcta y dar un clip. La máquina
  automáticamente te indicará si es correcta o
  incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2
  puntos. En los ejercicios el primero vale 22
  puntos, el segundo 18 puntos y el tercero 30
  puntos. La pre-prueba tiene un valor de 84
  puntos. Al finalizar la pre-prueba determina el
  promedio. Debes obtener un 70 o más. De no
  obtener esa puntuación, debes repasar nuevamente
  el material.

39
PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE (2pts.c/u)

• 1. Es una forma de representar la distribución
  de frecuencias relativas y de frecuencias
  porcentuales
• a. Diagrama de pastel
• b. Gráfica de barras
• c. Histograma
• d. Una ojiva
• 2. Se define como la raíz cuadrada de la
  varianza
• a. La media
• b. La moda
• c. La desviación estándar
• d. La mediana

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
40
C0NTINUACIÓN

• 3. Representa la cantidad de desviaciones
  estándar que hay entre cada valor de Xi y el
  promedio (media)
• a. La mediana
• b. Valores Z
• c. Desviación estándar
• d. La media

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
41
CONTINUACIÓN

• 4.Es un resumen tabular de un conjunto de datos
  que muestra el número (frecuencia) de artículos
  en cada una de varias clases que no se traslapan
  
• a. Frecuencia relativa
• b. Distribución de frecuencias
• c. Frecuencia porcentual
• d. Diagrama de pastel
• 5. Se determina dividiendo la frecuencia de la
  clase entre N
• a. Frecuencia porcentual
• b. Gráfica de barras
• c. Diagrama de pastel
• d. Frecuencia relativa

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
42
CONTINUACIÓN

• 6.Es una forma gráfica de representar datos que
  se han resumido en una distribución de
  frecuencias, frecuencias relativas y frecuencias
  porcentuales
• a. Gráfica de barras
• b. Diagrama de pastel
• c. Frecuencia porcentual
• d. Frecuencia relativa
• 7. Es la frecuencia relativa multiplicada por
  100
• a. Frecuencia acumulada
• b. Frecuencia
• c. Frecuencia porcentual
• d. Número de clases

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
43

Resuelve los siguientes ejercicios

• 1. Se obtuvo una muestra de las edades de 20
  estudiantes del curso de Historia de Puerto Rico
• 25 20 19 35 22
• 19 22 28 18 29
• 23 21 18 31 19
• 20 22 20 18 36
• Forme una distribución de frecuencias,
  frecuencias
• relativas y frecuencias porcentuales. Qué
• porcentaje de estudiantes tienen edades entre 25
  y
• 34 años?.

44
C0NTINUACIÓN

• 2. Se realizó una encuesta para conocer cual era
  el campo de preferencia de los estudiantes del
  Departamento de Administración de Empresas de la
  Universidad Interamericana de Puerto Rico,
  Recinto de Guayama y estos fueron los resultados
  
• Campo Alumnos
• Finanzas 50
• Contabilidad 60
• Recursos Humanos 70
• Mercadeo 20

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C0NTINUACIÓN

• A. Forme una distribución de frecuencias
• relativas y porcentuales.
• B. Dibuje una gráfica de barras.
• C. Dibuje un diagrama de pastel.

46
C0NTINUACIÓN

• 3. Se obtuvo la siguiente muestra con valores de
  10, 15, 14, 16 y 8. Determine los valores Z para
  cada uno de los datos.

Ver Respuesta
47
Fin de la Prueba
48
Contestaciones de los Ejercicios Preprueba

• Ejercicio 1
• Clases F FR FP
• 15-19 6 0.3 30
• 20-24 8 0.4 40
• 25-29 3 0.15 15
• 30-34 1 0.05 5
• 35-39 2 0.1 10
• Qué porcentaje de estudiantes tienen las edades
  entre 25 y 34?
• 20

49
Contestaciones de los Ejercicios Preprueba

• Ejercicio 2a
• Campo F FR FP
• Finanza 50 0.25 25
• Contabilidad 60 0.30 30
• Recursos 70 0.35 35
• Humanos
• Mercadeo 20 0.10 10

50
Ejercicio 2b Gráfica de Barra
51
Ejercicio 2c Gráfica de Pastel
52
Ejercicio 3

• Como el ejercicio no provee la media ni la
  desviación estándar, tenemos que calcularlas.
  Veamos
• ?
• 10 13 -3 9
• 15 13 2 4
• 14 13 1 1
• 16 13 3 9
• 10 13 3 9
• 32

53
Continuación

• Con la media y la desviación estándar podemos
  calcular el valor Z de los datos. Veamos
• (10) 10 13 -3 -1.06
• 2.83 2.83
• (15) 15 13 2 0.71
• 2.83 2.83
• (14) 14 13 1 0.35
• 2.83 2.83

54
Continuación

• (16) 16 13 3 1.06
• 2.83 2.83

(10) 10 13 -3 -1.06 2.83 2.83
55
Contestaciones de los Ejercicios Posprueba

• Ejercicio 1
• Clases F FR FP
• 15-19 6 0.3 30
• 20-24 8 0.4 40
• 25-29 3 0.15 15
• 30-34 1 0.05 5
• 35-39 2 0.1 10
• Qué porcentaje de estudiantes tienen las edades
  entre 25 y 34?
• 20

56
Contestaciones de los Ejercicios Posprueba

• Ejercicio 2a
• Campo F FR FP
• Finanza 50 0.25 25
• Contabilidad 60 0.30 30
• Recursos 70 0.35 35
• Humanos
• Mercadeo 20 0.10 10

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Ejercicio 2b Gráfica de Barra
58
Ejercicio 2c Gráfica de Pastel
59
Ejercicio 3

• Como el ejercicio no provee la media ni la
  desviación estándar, tenemos que calcularlas.
  Veamos
• ?
• 10 13 -3 9
• 15 13 2 4
• 14 13 1 1
• 16 13 3 9
• 10 13 3 9
• 32

60
Continuación

• Con la media y la desviación estándar podemos
  calcular el valor Z de los datos. Veamos
• (10) 10 13 -3 -1.06
• 2.83 2.83
• (15) 15 13 2 0.71
• 2.83 2.83
• (14) 14 13 1 0.35
• 2.83 2.83

61
Continuación

• (16) 16 13 3 1.06
• 2.83 2.83

(10) 10 13 -3 -1.06 2.83 2.83