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Il piano cartesiano e la retta

• Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni
• Docente Donatiello Angela

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MAPPA DEL MODULO
IL PIANO CARTESIANO
PUNTI E SEGMENTI
FUNZIONI LINEARI LE RETTE
APPLICAZIONI ECONOMICHE
COEFFICIENTE ANGOLARE
PROBLEMI DI SCELTA
PROBLEMI SULLE RETTE
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI
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PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
IN UN PIANO CONSIDERIAMO DUE RETTE PERPENDICOLARI
CHE CHIAMIAMO X E Y, ORIENTATE, NEL SENSO CHE
STABILIAMO UN VERSO DI CRESCENZA DEI
NUMERI. SOLITAMENTE, DISEGNIAMO LA RETTA X
ORIZZONTALMENTE E ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA,
LA RETTA Y VERTICALMENTE E ORIENTATA DAL BASSO
VERSO L'ALTO. LE DUE RETTE SI CHIAMANO ASSI
COORDINATI E IL LORO PUNTO D'INTERSEZIONE O SI
CHIAMA ORIGINE. STABILIAMO, INFINE, UNA UNITÀ
DI MISURA, U CHE CI CONSENTE DI MISURARE LE
LUNGHEZZE SUI DUE ASSI. IN MATEMATICA, SI PRENDE
LA STESSA UNITÀ DI MISURA PER L'ASSE X E PER
L'ASSE Y. SI DICE CHE NEL PIANO È STATO FISSATO
UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO.
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È POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA TRA I PUNTI P DEL PIANO E LE COPPIE DI
NUMERI REALI (X,Y). DAL PUNTO P SI TRACCIA LA
PARALLELA PH ALL'ASSE Y E LA PARALLELA PK
ALL'ASSE X. LA LUNGHEZZA DI OH RAPPRESENTA
L'ASCISSA DEL PUNTO P, MENTRE LA LUNGHEZZA DI OK
RAPPRESENTA L'ORDINATA DEL PUNTO P. CHIAMIAMO X
LASCISSA E Y LORDINATA. LA COPPIA DI NUMERI
(X,Y) VENGONO DETTE COORDINATE DEL PUNTO
P. VICEVERSA, ASSEGNATA UNA COPPIA DI NUMERI
REALI (X,Y), INDIVIDUIAMO PRIMA IL PUNTO H, POI
IL PUNTO K, INFINE, TRACCIANDO LE DUE PARALLELE
AGLI ASSI, SI OTTIENE IL PUNTO P.
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DISTANZA TRA DUE PUNTI
P (X1,Y1) Q (X2,Y2)
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PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
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ESERCITAZIONI

• DATI I PUNTI A(3,-2) E B(-5,4)
• RAPPRESENTARLI SUL PIANO
• CALCOLARE LA LORO DISTANZA
• CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO.
• 2. DATI I PUNTI A(0,-7) E B(1,6)
• RAPPRESENTARLI SUL PIANO
• CALCOLARE LA LORO DISTANZA
• CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO

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EQUAZIONE DI UNA RETTA
FORMA IMPLICITA
FORMA ESPLICITA
y m x q
axbyc 0
y 3 x 5
3x y 5 0
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COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
FORMA ESPLICITA y m x q
FORMA IMPLICITA axbyc 0
m
Esempio y 3 x 5 m 3
Esempio 3x y 5 0 m
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y m x q
RETTA PASSANTE PER LORIGINE
RETTA NON PASSANTE PER LORIGINE
q 0
q 0
y 4 x
Y 6 x 9
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CASI PARTICOLARI DI RETTE
X 0 asse y Y 0 asse x
y k Rette parallele allasse x
x k Rette parallele allasse y
y x Bisettrice del I e III quadrante
y - x Bisettrice del II e IV quadrante
Esempi Y 3 retta parallela allasse x X
2 retta parallela allasse y
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X 0
y
x 2
y x
y - x
y 3
Y 0
x
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ESERCITAZIONI

• DATE LE SEGUENTI RETTE
• Y 3X 1
• 3 X 2 Y -5 0
• X 4 Y 3 0
• Y X -
• Y 5 X
• 6X Y 0
• INDICA QUALI TRA ESSE SONO IN FORMA IMPLICITA E
  QUALI IN FORMA ESPLICITA
• CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI OGNI RETTA
• INDICA QUALI TRA ESSE PASSANO PER LORIGINE
• RAPPRESENTALE NEL PIANO CARTESIANO.

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RETTE PARALLELE
RETTE PERPENDICOLARI
HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE
Y m x q Y m1 x q1 PERPENDICOLARI m1

Y m x q Y m1 x q1 PARALLELE // m m1
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ESEMPI DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

• DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y 3 X 5 E Y
  3 X 2
• SI PUO AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE
  PERCHE
• HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE 3
• DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y 5 X -1 E Y
  X
• SI PUO AFFERMARE CHE ESSE SONO
  PERPENDICOLARI

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• DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
• 2X 4 Y 1 0 E X 2 Y 5 0
• SI PUO AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE POICHE
  HANNO
• LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE
• 
  M
• DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
• 3 X 5 Y 2 0 E 15 X 9 Y 2 0
• SI PUO AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI
  POICHE
• I COEFFICIENTI SONO ANTIRECIPROCI
• M1 M2

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ESERCITAZIONI

• DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
• X 5Y 1 0 2X 4Y 3 0
  X -2Y 0
• X 2Y 5 Y X 6
  X Y 2 0
• INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PARALLELE
• DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
• X Y 1 0 Y X 3 0 3X
  Y 2
• 6X 2Y 7 0 3X Y 5 0 X 3Y
  1 0
• INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO
  PERPENDICOLARI

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EQUAZIONE DI UNA RETTA NOTO UN PUNTO E IL
COEFFICIENTE ANGOLARE
Y M X Q
1. SCRIVO IL VALORE DI M 2
NELLEQUAZIONE Y 2 X Q 2.
SOSTITUISCO LE COORDINATE DEL
PUNTO NELLEQUAZIONE DELLA RETTA 4 2
3 Q 3. TROVO IL VALORE DI Q 4 6 Q
4 6 Q Q -2 4. SCRIVO
LEQUAZIONE DELLA RETTA Y 2 X - 2
DATO 1 IL COEFFICIENTE ANGOLARE
E M 2 DATO 2 IL PUNTO P(3,4)
APPARTIENE ALLA RETTA
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ESERCITAZIONI
SCRIVI LEQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL
PUNTO P E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE M 1.
P(7, - 3) M - 1 2. P(5, -1)
M - 4 3. P(2, 9) M 4. P(0, 2)
M - 7
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ALCUNE VOLTE NEGLI ESERCIZI IL COEFFICIENTE
ANGOLARE NON VIENE FORNITO IN MANIERA DIRETTA, MA
E NECESSARIO RICAVARLO DAL COEFFICIENTE ANGOLARE
DI ALTRE RETTE NOTE. ESEMPIO SCRIVI LEQUAZIONE
DELLE RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(6,3) E
PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2X 5Y 1
0 Y MX Q IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE DUE
RETTE SARA LO STESSO PERCHE SONO PARALLELE
M IMPONGO LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA DEL
PUNTO P ALLA RETTA
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COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA PASSANTE PER
DUE PUNTI
y
B
m
A
X
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EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
P(X1,Y1) Q(X2,Y2)
P(3,2) Q(1,0)
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ESERCITAZIONI

• SCRIVI LEQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL
  PUNTO P(4,-6) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE
  2Y 9 0
• 
  R Y 6 0
• 2. SCRIVI LEQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER
  IL PUNTO
• P(3, -2) E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE
• 
  R4X3Y-60
• 3. SCRIVI LEQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER
  I PUNTI
• A(2,2) E B(-3,-1)
• 4. SCRIVI LEQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER
  I PUNTI
• A E B(-2, -1)

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INTERSEZIONE TRA RETTE
LINTERSEZIONE TRA DUE RETTE E UN PUNTO LE CUI
COORDINATE SI OTTENGONO RISOLVENDO IL SISTEMA
LINEARE TRA LE EQUAZIONI DELLE DUE RETTE
RETTE 3X - 2Y - 5 0 X Y 5 0
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ESERCITAZIONI

• DETERMINA LINTERSEZIONE TRA LE RETTE
• X 2Y 3 E X Y 0
• 
  R(1,1)
• DETERMINA LINTERSEZIONE DELLE RETTE
• 2X Y 5 E Y 1
• 
  R(2,1)

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FASCI DI RETTE
FASCIO IMPROPRIO
FASCIO PROPRIO
LINSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO AVENTI
TUTTE LA STESSA DIREZIONE, OVVERO LINSIEME DI
TUTTE LE INFINITE RETTE DEL PIANO PARALLELE AD
UNA STESSA RETTA, DETTA RETTA BASE CHE PASSA PER
LORIGINE DEGLI ASSI
LINSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO
PASSANTI TUTTE PER UNO STESSO PUNTO DETTO CENTRO
DEL FASCIO
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FASCIO IMPROPRIO
Y
Equazione di un fascio improprio y mx K
RETTA BASE
X
fisso
variabile
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FASCIO PROPRIO
C(x0 y0) centro del fascio
Y
C
Centro del fascio
Equazione di un fascio proprio y y0 m (x
x0)
X
variabile
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Equazione della retta passante per un punto
P(x0 y0) y y0 m (x x0)
Lequazione di un fascio proprio di rette di
centro P coincide con lequazione di una generica
retta passante per P. Lunica retta esclusa da
tale fascio è quella passante per P e parallela
allasse y, in quanto le rette parallele allasse
y non hanno coefficiente angolare.
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APPLICAZIONE DELLA RETTA ALLECONOMIA COSTI,
RICAVI, PROFITTI
UNAZIENDA PER PRODURRE SCATOLE REGALO SOSTIENE
DEI COSTI FISSI MENSILI DI 5.164 E UN COSTO PER
UNITA DI PRODOTTO PARI A 2. OGNI SCATOLA VIENE
POI RIVENDUTA AD UN PREZZO DI 10. DETTO X IL
NUMERO DI SCATOLE PRODOTTE E VENDUTE, DETERMINA
LE FUNZIONI COSTO, RICAVO E PROFITTO ED INDIVIDUA
NEL GRAFICO LA ZONA DI PERDITA E LA ZONA DI
GUADAGNO.
COSTO UNITARIO 2 COSTO FISSO 5.164 PREZZO
DI VENDITA UNITARIO 10
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COSTO TOTALE COSTI FISSI COSTO UNITARIO
QUANTITA PRODOTTA CTOT CFISSI CUNITARIO
X CTOT 5.164 2X
RICAVO PREZZO UNITARIO DI VENDITA QUANTITA
PRODOTTA R PUNITARIO X R 10X
PROFITTO RICAVO COSTO P R C P 10X
2X 5.164 8X 5.164
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RICAVO
GUADAGNO

COSTO
COSTO
5000
PERDITA
RICAVO
PUNTO DI EQUILIBRIO
1000
100
SE RICAVO lt COSTO PERDITA SE
RICAVO COSTO EQUILIBRIO SE
RICAVO gt COSTO GUADAGNO
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APPLICAZIONE DELLE RETTA ALLECONOMIA PROBLEMI
DI SCELTA
IN COSTRUZIONE