Modelo de transporte

1
Modelo de transporte

• Ing. León A. Colina B.

2
Modelo de transporte

• El problema de transportación es un tipo de
  modelo de redes de distribución que utiliza las
  características especiales de dicha estructura
  para obtener un procedimiento de resolución
  específico denominado técnica de transporte.

3
Modelo de transporte

• Definición
• El modelo de transporte se puede definir como
  una técnica que busca determinar un programa de
  transporte de productos o mercancías desde los
  orígenes hasta los diferentes destinos al menor
  costo posible.

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Modelo de transporte

• Objetivo
• En términos de programación lineal, la técnica
  de transporte busca determinar la cantidad que
  debe ser enviada desde cada origen a cada destino
  para satisfacer los requerimientos de demanda y
  abastecimiento de materiales a un costo mínimo.

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Modelo de transporte

• Aplicaciones a casos como
• Control y diseño de plantas de fabricación.
• Determinar zonas o territorios de ventas.
• Determinación de centros de distribución o
  almacenamiento.
• Programación de producción periódica.
• Decisiones de producción en tiempo extra y en
  tiempo normal.
• Problemas de proveedores de empresas
  manufactureras o de servicios.

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Modelo de transporte

• Los supuestos considerados como desventajas son
• 1. Los costos de transporte son una función
  lineal del número de unidades.
• 2. Tanto la oferta como la demanda se expresan en
  unidades.
• 3. Los costos unitarios de transporte no varían
  de acuerdo con la cantidad transportada.
• 4. La oferta y la demanda deben ser iguales.
• 5. Las cantidades de oferta y demanda no varían
  con el tiempo.
• 6. No considera más efectos para la localización
  que los costos del transporte.

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Representación grafica del Modelo de transporte
8

• Parámetros del Modelo de transporte
• ai restricciones de máxima oferta o capacidad
  de los centros de producción, distribución o
  almacenaje.
• bj requerimientos mínimos de demanda, y
  representan las necesidades mínimas que tienen
  los destinos j que hay que satisfacer en el menor
  tiempo posible.
• n número total de destinos a los que hay que
  transportar las unidades.
• m número de fuentes o centros de distribución.
• Xij número de unidades que hay que transportar
  del origen i al destino j.
• Cij costo unitario de transporte del origen i
  al destino j.

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Formulación del Modelo de Transporte
Indicador de suministro
Indicador de demanda
j 1,2,, n
i 1,2,, m
Xij cantidad que se transporta desde el
origen i, al destino j
10
Formulación del Modelo de Transporte
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Modelo de transporte balanceado

• El modelo de transporte debe estar balanceado
  para que pueda ser solucionado por medio de la
  herramienta de transporte.
• Consiste en agregar una restricción en la que se
  debe cumplir que las cantidades totales ofrecidas
  deben ser iguales al total de las unidades
  demandadas.

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Modelo de transporte balanceado
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Tabla de transporte
c11 x11 c12 x12 . c1n x1n A1
c21 x21 c22 x22 . c2n x2n A2
. . . . .
cm1 xm1 cm2 xm2 . cmn xmn am
b1 b2 . bn
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Prerrequisitos de diseño de la tabla de transporte

• Un modelo de transporte desbalanceado puede
  ocurrir por dos situaciones
• a. Suministro en exceso y demanda insuficiente.
• b. Demanda en exceso y suministros insuficientes.
• En estas situaciones es necesario agregar un
  destino (a) o un origen (b) para balancear el
  modelo con unos Cij iguales a cero, ya que se
  convierten las celdas del renglón o columna
  ficticia en variables de holgura con contribución
  de cero.

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Solución al modelo de transporte

• Entre los métodos de transporte que conforman la
  técnica de transporte se tienen
• Método de la esquina noroeste.
• Método de la celda de mínimo costo
• Método de aproximación de Vogel (MAV)
• Método modificado de distribución (MODI)
• Método del cruce del arroyo

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Solución óptima

• La técnica de transporte es un conjunto de
  métodos que permiten obtener una solución inicial
  no óptima o la solución óptima, dependiendo del
  método que se utilice.
• Una solución óptima es aquella en la cual
• 1) Cada valor Xij es entero no negativo.
• 2) Los valores Xij de cada fila se suman para
  verificar la equivalencia con la oferta de cada
  origen.
• 3) Los valores de los Xij de cada columna se
  suman para verificar la equivalencia con la
  demanda de cada origen.

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Procedimiento general

• PASO 1
• Consiste en encontrar un plan de transporte
  inicial con m n - 1 celdas asignadas,
  utilizando la Esquina noroeste, Costo mínimo o
  Método de aproximación de Vogel (MAV).
• PASO 2
• Prueba de optimalidad. Esta prueba consiste en
  identificar la posibilidad de crear un nuevo plan
  de transporte enviando una unidad de una celda
  vacía actualmente e incurrir en menor costo
  total.

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Prueba de optimalidad

• a) Calcular los costos reducidos para las celdas
  vacías.
• El costo reducido representa la cantidad en la
  cual cambia el costo total al enviar una unidad
  por una celda vacía.
• Un valor positivo indica un incremento en el
  costo total un valor negativo indica una
  disminución del costo y, por tanto, una mejora
  del plan.
• b) Verificar los costos reducidos.
• El plan actual es óptimo únicamente cuando todos
  los costos reducidos sean positivos.

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Procedimiento general

• PASO 3
• Traslado.
• Cuando una solución no es óptima, se debe
  encontrar un nuevo plan a partir de las celdas
  vacías cuyo costo reducido sea el más negativo.
• Los detalles matemáticos de este algoritmo se
  presentan conforme se desarrolla.

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Método de la esquina noroeste

• Procedimiento
• El procesador se debe ubicar en la celda superior
  izquierda, y asignar la mayor cantidad posible.
• Hacer las demás asignaciones recorriendo la ruta
  vertical u horizontalmente que satisfagan la
  demanda de izquierda a derecha, y las ofertas
• de arriba hacia abajo.
• Obtener el valor total de transportación
  estimando Z

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Método de la esquina noroeste
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B 9 5 7 50
B 50
C 3 6 9 45
C 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
22
Método de la esquina noroeste
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45 10 x 8 x 4 45
A 45 x x 45
B 9 5 7 50
B 50
C 3 6 9 45
C 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
23
Método de la esquina noroeste
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45 10 x 8 x 4 45
A 45 x x 45
B 45 9 5 5 x 7 50
B 45 5 x 50
C x 3 6 9 45
C x 45
D x 5 7 6 30
D x 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
24
Método de la esquina noroeste
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45 10 x 8 x 4 45
A 45 x x 45
B 45 9 5 5 x 7 50
B 45 5 x 50
C x 3 25 6 9 45
C x 25 45
D x 5 x 7 6 30
D x x 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
25
Método de la esquina noroeste
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45 10 x 8 x 4 45
A 45 x x 45
B 45 9 5 5 x 7 50
B 45 5 x 50
C x 3 25 6 20 9 45
C x 25 20 45
D x 5 x 7 30 6 30
D x x 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
26
Método de la esquina noroeste

• m n 1 ?
• 4 3 1 6 cumple con al menos una
• Z(min) X11C11X21C21X22C22X23C23X33C33X43C4
  3
• Z(min) 45x10 45x9 5x5 25x6 20x9 30x6
• Z(min) 1390

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Solución básica factible de optimalidad

• Un orden secuencial de al menos cuatro celdas
  distintas se denomina loop si
• 1. Dos celdas consecutivas están en la misma
  columna o en la misma fila.
• 2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma
  columna o en una misma fila.
• 3. La última celda de la secuencia tiene una fila
  o columna común con la primera celda de la
  secuencia.

28
Solución básica factible de optimalidad
29
Prueba optimalidad con el cruce del arroyo

• Procedimiento
• PASO 1
• Verificar que el número de asignaciones de la
  solución, por cualquiera de los métodos descritos
  antes, sea igual a m n -1,
• Si el número de asignaciones es menor agregue
  ceros encerrados en un círculo, dependiendo del
  número faltante para igualar a m n -1.

30
Prueba optimalidad con el cruce del arroyo

• PASO 2
• Hallar los costos reducidos de las variables no
  básicas, o celdas vacías, haciendo circuitos
  cerrados con signos más () y menos (-),
  comenzando en una celda vacía con signo más () y
  continuando por celdas llenas hasta cerrar el
  circuito con signo menos(-).
• Los costos reducidos serán el resultado de
  determinar la suma algebraica de los costos del
  circuito, es decir, donde haya signo positivo se
  suma, y donde haya menos se resta.

31
Prueba optimalidad con el cruce del arroyo

• PASO 3
• Probar la optimalidad de la solución así Si
  todos los costos reducidos son positivos,
  entonces se tendrá la solución óptima, y en tal
  caso se estima Zj si, por el contrario, aparecen
  costos reducidos negativos, vaya al paso 4.
• PASO 4
• Hacer un cambio de rutas de transportación,
  seleccionando el costo reducido negativo más
  alejado de cero,y procediendo a seleccionar el
  valor menor con signo negativo dentro del
  circuito correspondiente, para sumado y restado,
  según el signo.

32
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A -45 10 A-2 8 4 45
A -45 A-2 45
B 45 9 -5 5 7 50
B 45 -5 50
C 3 6 9 45
C 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
A-2 8-109-5 2
33
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A -45 10 8 A-3 4 45
A -45 A-3 45
B 45 9 -5 5 7 50
B 45 -5 50
C 3 25 6 -20 9 45
C 25 -20 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
A-3 4-109-56-9 -5
34
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B 9 -5 5 B-3 7 50
B -5 B-3 50
C 3 25 6 -20 9 45
C 25 -20 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
B-3 7-56-9 -1
35
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B -45 9 5 5 7 50
B -45 5 50
C C-1 3 -25 6 9 45
C C-1 -25 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
C-1 3-95-6 -7
36
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B -45 9 5 5 7 50
B -45 5 50
C 3 -25 6 20 9 45
C -25 20 45
D D-1 5 7 -30 6 30
D D-1 -30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
D-1 5-95-69-6 -2
37
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B 9 5 7 50
B 50
C 3 -25 6 20 9 45
C -25 20 45
D 5 D-2 7 -30 6 30
D D-2 -30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
D-2 7-69-6 4
38
Cálculo de costos reducidos

• A-2 8-109-5 2
• A-3 4-109-56-9 -5
• B-3 7-56-9 -1
• C-1 3-95-6 -7
• D-1 5-95-69-6 -2
• D-2 7-69-6 4

Negativo mas alejado de cero
39
Prueba de optimalidad Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 4 45
A 45
B 45-25 -9 525 6 7 50
B 45-25 525 50
C 25 3 25-25 -6 9 45
C 25 25-25 45
D 5 7 6 30
D 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
40
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45 10 8 4 45
A 45 45
B 20 -9 30 6 7 50
B 20 30 50
C 25 3 0 -6 20 9 45
C 25 0 20 45
D 5 7 30 6 30
D 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
41
Cálculo 2 de costos reducidos
Negativo mas alejado de cero

• A-2 8-109-5 2
• A-3 4-103-9 -12
• B-3 7-93-9 -8
• C-2 6-59-3 7
• D-1 5-39-6 5
• D-2 7-69-39-5 11

42
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 45-20 -10 8 200 4 45
A 45-20 200 45
B 20 9 30 6 7 50
B 20 30 50
C 45 3 0 6 20-20 -9 45
C 45 0 20-20 45
D 5 7 30 6 30
D 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
43
Cálculo 3 de costos reducidos

• A-2 8-109-5 2
• B-3 7-410-9 4
• C-2 5-59-3 7
• C-3 9-310-4 12
• D-1 5-104-6 -7
• D-2 7-59-104-6 -1

Negativo mas alejado de cero
44
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 25-25 -10 8 20 25 4 45
A 25-25 20 25 45
B 20 9 30 6 7 50
B 20 30 50
C 45 3 6 9 45
C 45 45
D 025 5 7 30-25 -6 30
D 025 30-25 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
45
Cálculo 4 de costos reducidos
A-1 10-56-4 7 A-2 8-46-59-5
9 B-3 7-95-6 -3 C-2 6-39-5
7 C-3 9-35-6 5 D-2 7-59-5 6
Negativo mas alejado de cero
46
Prueba de optimalidad - Cruce
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 45 4 45
A 45 45
B 15 -9 30 6 5 7 50
B 15 30 5 50
C 45 3 6 9 45
C 45 45
D 30 5 7 -6 30
D 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
47
Cálculo 5 de costos reducidos
A-1 10-97-4 4 A-2 8-47-5
6 C-2 6-59-3 7 C-3 9-79-3
8 D-2 7-59-5 6 D-2 6-59-7
3 Z(min) X13C13X21C21X22C22X23C23X31C31X41C
41 Z(min) 45x4 15x9 30x5 5x7 45x3
30x5 Z(min) 785
48
Método de aproximación de Vogel

• Procedimiento
• a. Determine una penalización para cada renglón o
  columna restando los dos costos menores de ese
  renglón o columna. Las penalizaciones se notan
  Ari y ACi
• b. Determine la mayor penalización, rompiendo
  arbitrariamente los empates puede señalar con un
  asterisco la mayor penalización.
• c. Asigne la mayor cantidad posible a la variable
  con el costo unitario mínimo de ese renglón o
  columna seleccionado (a).

49
Método de aproximación de Vogel

• Procedimiento
• d. Elimine el renglón y/ o columna satisfecho
  llenando de ceros las celdas vacías de
• ese renglón o columna, a fin de no tenerse en
  cuenta para cálculos futuros.
• e. Si sólo queda un renglón o columna sin
  eliminar, continúe con el método de costo mínimo
  para balancear el sistema.
• f. En caso de que no se cumpla el literal e, vaya
  al literal a.
• g. Halle el valor de la función objetivo.

50
1 1 2 2 3 3 Oferta AC1 AC2 AC3 AC3
A 0 10 0 8 45 4 45 8-44
A 0 0 45 45 8-44
B 15 9 30 5 5 7 50 7-52 7-52 7-52
B 15 30 5 50 7-52 7-52 7-52
C 45 3 0 6 0 9 45 6-33 6-33
C 45 0 0 45 6-33 6-33
D 30 5 0 7 0 6 30 6-51 6-51 6-51
D 30 0 0 30 6-51 6-51 6-51
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
AR1 5-32 5-32 5-61 5-61 6-42 6-42
AR2 5-32 5-32 6-51 6-51 7-61 7-61
AR3 9-54 9-54 7-52 7-52 7-61 7-61
AR4
51
Cálculo para probar la optimalidad
A-1 10-97-4 4 A-2 8-57-4
6 C-2 6-59-3 7 C-3 9-79-3
8 D-2 7-59-5 6 D-3 6-79-5
3 Z(min) X13C13X21C21X22C22X23C23X31C31X41C
41 Z(min) 45x4 15x9 30x5 5x7 45x3
30x5 Z(min) 785
52
Método simplex del problema de transporte

• PASO 1
• a. Determinar un índice para cada renglón (Ui
  para el i -ésimo renglón) y uno para cada
  columna (Vi para la j- ésima columna) de forma
  tal que
• UiVjCij
• Cij son los costos unitarios de las variables
  básicas.
• U1 V1 C11
• U2 V2 CI2
• . .
• UiVjCij
• . .
• UmVn Cmn

53
Método simplex del problema de transporte

• b. Hacer Ui o Vj (una variable cualquiera)
  igual a 0,a fin de poder calcular las demás
  ecuaciones.
• Como se puede observar, siempre quedará una
  ecuación con una sola variable.
• Calculando todos los Ui y los Vj se continúa
  con el paso 2.

54
Método simplex del problema de transporte

• PASO 2
• c. Determinar los costos marginales para las
  celdas vacías (variables no básicas).
• ACijCij - (Ui Vj)
• Recuerde que ACijes el equivalente en el simplex
  al costo reducido Cj - Zj
• d. Si todos los costos marginales son cero o
  positivos, determinar la solución óptima con la
  fórmula
• Si no, seleccione el costo marginal más
  negativo. Los empates se pueden romper
  arbitrariamente.

55
Método simplex del problema de transporte

• e. Diseñe un circuito cerrado con signos y -,
  partiendo de la celda con marginal negativa
  seleccionada, con signo y los demás por celdas
  llenas (este paso permite seleccionar la
  variable que sale y la que entra a la base).
• f. Seleccionar la asignación menor de los
  signos negativos y sumada y restada de acuerdo
  a los signos del circuito.
• g. Vaya al literal a.

56
Método simplex del problema de transporte
Destino Origen 1 1 2 2 3 3 Oferta
A 10 8 45 4 45
A 45 45
B 15 -9 30 6 5 7 50
B 15 30 5 50
C 45 3 6 9 45
C 45 45
D 30 5 7 -6 30
D 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
57
Método simplex del problema de transporte
Destino Origen V1 V1 V2 V2 V3 V3 Oferta
U1 10 8 45 4 45
U1 45 45
U2 15 9 30 6 5 7 50
U2 15 30 5 50
U3 45 3 6 9 45
U3 45 45
U4 30 5 7 6 30
U4 30 30
Demanda 90 90 30 30 50 50 170
58
Plantear las ecuaciones

• U1 V3 4 (1) SI U1 0
• U2 V1 9 (2) U2 3 V16
• U2 V2 6 (3) U3-3 V23
• U2 V3 7 (4) U4-1 V34
• U3 V1 3 (5)
• U4 V1 5 (6)

59
Determinar los costos marginales de las celdas
vacías

• AC11C11-(U1-V1)10-(06) 4
• AC12C12-(U1-V2) 8-(03) 5
• AC32C32-(U3-V2) 6-(-33) 6
• AC33C33- (U3-V3) 9-(-3 4)8
• AC42C42- (U4-V2) 7-(-13) 5
• AC43C43- (U4-V3) 6-(-14) 3
• Todas las ACIJ son positivas, se ha alcanzado el
  óptimo.