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EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
A COEFFICIENTI COSTANTI
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Argomenti della lezione

• Equazioni lineari con coefficienti costanti.
  Termini noti di tipo particolare. Oscillazioni
  forzate

• Accenno ai sistemi

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EQUAZIONI LINEARI CON COEFFICIENTI COSTANTI
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Consideriamo unequazione dordine n completa con
coefficienti costanti
y(n) a1 y(n-1) an y b(x)
Qui i coefficienti a1 , , an sono numeri
reali, mentre b(x) è una funzione che in
generale è supposta continua
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Lequazione omogenea associata è
y(n) a1 y(n-1) an y 0
Si dice polinomio caratteristico il polinomio
P(z) zn a1 zn-1 an-1 z an
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Lequazione
zn a1 zn-1 an-1 z an 0
si dice equazione caratteristica
Siano a1, a2, , ar, le radici reali dellequazion
e caratteristica, di molteplicità m1, m2, ,
mr siano poi b1, b2, , bs e b1, b2, , bs le
radici complesse e le complesse coniugate,
ciascuna di molteplicità
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n1, n2, , ns. Allora
P(z) (z- a1)m1 ? ... ?(z- ar) mr ? (z -
b1)n1 ? (z - b1)n1 ? ?(z - bs)ns ?(z - bs)ns
Ricordiamo che se b a i b, allora b a - i
b.
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Analogamente alla fattorizzazione del polinomio
P(z), si può pensare a una fattorizzazione
delloperatore differenziale che dà
lequazione omogenea
L(y) y(n) a1 y(n-1) an y (D - a1I)m1
? ... ?(D - arI) mr ? (D - b1I)n1 ? (D - b1I)n1
? ?(D - bsI)ns ?(D - bsI)ns y 0
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È facile vedere che se ? e ? sono due numeri
reali o complessi e y(x) è una funzione due volte
derivabile
(D - ?I) (D - ?I) y (D - ?I) (D - ?I) y D2
(? ?) D ? ?I y y (? ?)y ? ? y
Dunque la fattorizzazione di L(y) ha senso,
poiché si può pensare fatta in un ordine
arbitrario
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Se y soddisfa (D - ?I) y 0 oppure (D - ?I) y
0, allora è anche y (? ?)y ? ? y 0.
Dunque ogni soluzione di (D - ?I)p y 0 dove ?
è uno degli ai o uno dei bk, è una soluzione
dell equazione omogenea.
Se p1, è facile riconoscere che una soluzione di
(D - ?I) y 0 è data da
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y e ? x exp(? x)
Se ? è un numero reale allora la funzione è un
esponenziale a valori in R. Se ? c i d, la
soluzione, grazie alle formule dEulero, si
scrive
e(cid)x ecx (cos d x i sen d x)
In questo caso anche c i d è soluzione del
polinomio caratteristico e perciò anche
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e(c-id)x ecx (cos d x - i sen d x)
è soluzione dellequazione differenziale. Poiché
lequazione è lineare, anche una loro
combinazione lineare è soluzione. Dunque sono
soluzioni relative a radici complesse coniugate
dell equazione caratteristica
ecx cos d x e(cid)x e(c-id)x /2
ecx sen d x e(cid)x - e(c-id)x /(2i)
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Queste soluzioni hanno il vantaggio di essere
date da funzioni a valori reali.
Che cosa si può dire se p gt 1 ?
Si osserva che, in generale,
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(D - ?I) (xk e?x) k xk-1 e?x se k ? 1
(D - ?I)2 (xk e?x) k(k-1) xk-2 e?x se k ? 2
E quindi
(D - ?I)n (xk e?x) 0 se k lt n
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Dunque sono soluzioni dell equazione omogenea le
seguenti funzioni
e a1x, x e a1x, , x(m1-1) e a1x
.
e ar x, x e ar x, , x(mr-1) e ar x
relative alle soluzioni reali del polinomio
caratteristico
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Se bk ak i bk si trovano le seguenti
soluzioni
e a1x cos(b1x), x e a1x cos(b1x), , x(n1-1) e
a1x cos(b1x)
e a1x sen(b1x), x e a1x sen(b1x), , x(n1-1) e
a1x sen(b1x)
..
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easx cos(bsx), x easx cos(bsx), , x(ns-1) easx
cos(bsx)
easx sen(bsx), x easx sen(bsx), , x(ns-1) easx
sen(bsx)
Tutte le funzioni qui ricordate sono lin. indip.
su tutto R. Dunque ogni soluzione
dellequazione omogenea è combinazione lineare
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delle funzioni presentate in precedenza.
Naturalmente deve valere la relazione
n m1 m2 mr 2(n1 n2 ns)
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Esempio Si trovi lintegrale generale di
y(4) 2y 2y 2y y 0
Lequazione caratteristica è
z4 2 z3 2 z2 2 z 1 0
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Ossia
(z 1)2 (z2 1) 0
Le radici sono z1 1 di molteplicità 2 e z2 i,
z3 -i che sono semplici
Quindi le seguenti sono le quattro soluzioni
linearmente indipendenti dellequazione omogenea
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y1 ex , y2 x ex
y3 cos x , y4 sen x
La soluzione generale è
y c1 ex c2 x ex c3 cos x c4 sen x
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Con unopportuna scelta delle costanti si può
risolvere ogni problema di Cauchy. Si
voglia trovare la soluzione che soddisfa le
condizioni iniziali
y(0) 0, y(0) -1, y(0) 0, y(0) 1
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Si trova
c1 c2 c3 0, c4 -1
E quindi
y(x) - sen x
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EQUAZIONE COMPLETA
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Ricordiamo la formula generale che fornisce un
integrale particolare del sistema completo,
specializzandola al caso di unequazione dordine
n.
Ricordiamo la formula generale
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Ci interessa solo la prima componente di Y(x).
Conviene ricordare che B(x) (0,..,0,b(x))T
U(t)-1B(t) (b(t)/W(t))(Wn1(t), .. ,Wnn(t)) T
Qui W(t) det U(t) , si dice il wronskiano del
sistema fondamentale
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E quindi, la prima componente di
U(x) U(t)-1B(t) è
(y1(x)Wn1(t) y2(x)Wn2(t) .. yn(x) Wnn(t))
b(t)/W(t)
In definitiva otteniamo la seguente formula
generale
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(No Transcript)
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In particolare, per unequazione dordine 2
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Cioè