LES PRODUITS D

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LES PRODUITS DÉRIVÉStroisième partieBlack -
Scholesmodèle binomial
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• VI- Le modèle de Black Scholes
• Le modèle de Black Scholes publié en 1973 est
  de loin le modèle d évaluation d option le plus
  utilisé en pratique.
• BS démontrent quà partir des paramètres qui
  influencent la valeur des options (S0, X, T, rf
  et s), il est possible de bâtir une position sans
  risque en combinant l achat d une (ou de
  plusieurs) action(s) et en vendant simultanément
  un certain nombre d options d achat.

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• À l équilibre (absence d opportunité
  d arbitrage), la valeur au marché d une option
  d achat doit donc être telle que le rendement
  d un portefeuille sans risque composé d une
  action et d un certain nombre d options
  d achat correspond au rendement sans risque.
• BS démontrent quil y aura absence dopportunité
  d arbitrage, uniquement lorsque la valeur de
  l option d achat C0 correspond à

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• Co S0 ? N(d1) - Xe-rT ? N(d2).
• Où
• C0 valeur théorique de l option d achat à t0
  (moment de l évaluation)
• S0 cours de laction sous-jacente à t0
• X prix d exercice de l option d achat
• r taux d intérêt sans risque à capitalisation
  continue. (cest un taux nominal annuel
  capitalisé continuellement). Si on a rf le taux
  sans risque effectif annuel alors r ln(1rf)

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• T Temps qui reste à courir avant l échéance de
  l option, exprimé en année,
• N(d) probabilité cumulée jusquà la valeur d
  sous une loi normale centré réduite. Cest laire
  sous la courbe normale centré réduite entre -? et
  d.
• ln(S0/X) (r s2/2) ? T
• d1 --------------------------------
• s ? (T)½
• d2 d1 - s ? (T)½
• où s2 est la variance du rendement annuels
  continus de l action.

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• A- Les hypothèses du modèle de BS
• Le modèle de BS est basé sur un certain nombre
  d hypothèses plutôt restrictives, dont les
  principales sont
• le marché des capitaux est parfait
• pas d impôt
• pas de frais de transaction
• information gratuite et accessible à tous
• aucune restriction sur les ventes à découvert
• les investisseurs sont rationnels et peuvent
  prêter et emprunter au taux d intérêt sans
  risque qui est connu et constant dans le temps
  

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• le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni
  intérêt pendant la durée de vie de l option
• L option est de type européen (ne peut pas être
  exercé avant l échéance)
• le cours de l action sous-jacente obéit à une
  loi log-normale
• la variation du taux de rendement continu de
  l action est constante.

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• B- Extension du modèle de BS pour évaluer
• un put européen
• La relation de parité Put-Call
• C - P S0 - X/(1rf)T Temps discet
• C - P S0 - Xe-rT Temps
  continu
• ? P C - S0 Xe-rT
• ? C S0 ? N(d1) - Xe-rT ? N(d2)

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• d où
• P S0N(d1) - Xe-rT?N(d2) - S0 Xe-rT
• P Xe-rT?1-N(d2) - S0 1-N(d1)
• Donc, la valeur d un put européen est égale à
• P Xe-rT?N(-d2) - S0 N(-d1)
• sachant que N(-x) 1- N(x).

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• Application du modèle de BS
• Nous sommes le 5 mars et on a loption d achat
  suivante
• le cours de l action ordinaire le 5 mars est
  32
• le prix d exercice de l option est 28
• la valeur marchande de l option est 8.875
• date d expiration de l option 3ième vendredi
  de juin
• taux de rendement, au début de mars, des bons de
  trésor échéant dans trois mois est 7.25

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• écart-type du rendement hebdomadaire de l action
  est de 6.41 (cette valeur a été estimé à partir
  des rendements hebdomadaires au cours des 52
  dernières semaines).
• À l aide du modèle de BS, on peut déterminer la
  valeur théorique de l option d achat (juin/28)
  à la date du 5 mars?
• En comparant la valeur obtenue avec la côte au
  marché, dites si l option est sous-évaluée,
  sur-évaluée ou correctement évaluée?

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• Solution
• Les valeurs des différents paramètres à insérer
  dans le modèle de BS s établissent ainsi
• S0 32
• X 28
• r ln(10.0725) 0.06992 ? 7
• T 106 / 365 0.29 ans
• s (52)½ ? (0.0641) 0.46223 ? 46.22
• 
  

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• ln(32/28) 0.07 (0.4622)2/2(0.29)
• d1 ---------------------------------------------
  -- 0.74
• (0.4622) ? (0.29)½
• d2 0.74 - (0.4622) ? (0.29)½ 0.49
• À laide de la table de la loi normale centrée
  réduite, on trouve que
• N(d1) N(0.74) 0.7703
• N(d2) N(0.49) 0.6879

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• En insérant les valeurs des différents paramètres
  dans l équation de BS on obtient
• C0 S0 ? N(d1) - Xe-rT ? N(d2)
• C0 32 ? 0.7713 - 28e-0.07?0.29 ? 0.6879
• C0 5.78
• La valeur théorique est 5.78 et le prix côté est
  8.875. L option était donc sur-évaluée au
  moment de l évaluation.

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• VII- Le modèle binomial
• Si on suppose que le cours de laction peut
  prendre seulement deux valeurs à l expiration de
  l option le prix de l action va augmenter à
  son niveau élevé avec une probabilité p ou
  diminuer à son niveau bas avec une probabilité
  (1-p).
• Comment peut-on évaluer le prix actuel de
  loption (à la date 0)?
• La procédure à suivre solution à l envers de
  tn à t0, où n est la date d expiration de
  l option.

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• La proportion de l augmentation du prix de
  laction est
• u es(Dt)½
• La proportion de la diminution du prix de
  l action est
• d e-s(Dt)½ 1/u
• La probabilité de l augmentation du prix de
  l action est
• p (erDt - d ) / (u-d)

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• Où s la volatilité de l action durant la
  période
• Dt lintervalle de temps analysé
• r le taux d intérêt sans risque.
• Exemple
• Le TIP (Toronto Index Participation) se vend le
  12 décembre 1997 à 35.60. L option d achat
  (call) au prix d exercice de 36 et échéant dans
  exactement deux semaines se vend à 0.8. Loption
  de vente (put) au prix d exercice de 38 et
  échéant dans exactement 3 semaines se vend à
  1.40.

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• Les bons du Trésor avec une échéance d une
  semaine à trois semaines se vendent le 12
  décembre 1997 à 99.92 pour chaque tranche de
  100. Évaluer, selon le modèle binomial, le call
  avec 2 périodes et le put avec 3 périodes ?
• Solution
• La première étape est de calculer les
  pourcentages d augmentation et de diminution des
  cours de l action par période

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• u e0.3(1/52)½ 1.04248
• d 1/u 0.95925
• Le taux d intérêt sans risque
• rf (100/99.92) - 1 0.08
• r ln(1 0.0008) 0.0416
• La probabilité d augmentation
• e0.0416(1/52) - 0.95925
• p ----------------------------------- 0.5
• 1.04248 - 0.95925
• (1 - p) 0.5

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• Pour le call
• Distribution des prix de laction
• 
  38.69
• 37.11
• 
  35.60
• 35.6 35.60
• 34.15
• 
  32.76

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• Calcul des prix du call
• branche supérieure t2 VI 38.69 - 36 2.69
• branche médiane t2 VI 0 (35.6 - 36)
• branche inférieure t2 VI 0 (32.76 - 36)
• valeur du call à t1 (branche supérieure)
• (2.690.5 00.5)e-0.0008 1.34
• valeur du call à t1 (branche inférieure)
• (00.5 00.5)e-0.0008 0
• valeur du call à t0
• (1.340.5 00.5)e-0.0008 0.67

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• Distribution des prix du call
• 2.69
  
• 1.34
• 0
• 0.67 0
• 0
• 0

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• Pour le put
• Distribution des prix de laction
• 
  
• 
  40.33
• 
  38.69
• 37.11
  37.11
• 35.6 35.60
  
• 34.15
  34.15
• 
  32.76
• 
  31.42

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• Calcul des prix du put
• branche supérieure t3 VI 0 (38 - 40.33)
• branche médiane1 t3 VI 38 - 37.11 0.89
• branche médiane2 t3 VI 38 - 34.15 3.85
• branche inférieure t3 VI 38 - 31.42 6.58
• valeur du put à t2 (branche supérieure)
• (00.5 0.890.5)e-0.0008 0.44
• valeur du put à t2 (branche médiane)
• (0.890.5 3.850.5)e-0.0008 2.36
• valeur du put à t2 (branche inférieure)
• (3.850.5 6.580.5)e-0.0008 5.21

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• Calcul des prix du put
• valeur du put à t1 (branche supérieure)
• (0.440.5 2.360.5)e-0.0008 1.40
• valeur du put à t1 (branche inférieure)
• (2.360.5 5.210.5)e-0.0008 3.78
• valeur du put à t0
• (1.400.5 3.780.5)e-0.0008 2.60

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• Distribution des prix du put
• 
  
• 
  0
• 
  0.44
• 1.40
  0.89
• 2.60 2.36
  
• 3.78
  3.85
• 
  5.21
• 
  6.58