Absztrakt probl

1
Absztrakt problémák
Q ? I ? S, az absztrakt probléma kétváltozós
reláció az esetek (I) és a
megoldások (S) halmazán Példa legrövidebb út
Eset gráf és két pontja
Megoldás csúcsok sorozata. (üres, ha nincs út)
(egy esethez több
megoldás is tartozhat) Döntési probléma a
megoldás igen vagy nem (1 vagy 0) Példa
van-e k-nál rövidebb út a két pont
között Optimalizálási problémák -gt Döntési
problémák (optimumltt? igen, nem)
(ha a döntési probléma nehéz, akkor
az optimum probléma is az)
2
Absztrakt problémák
Kódolás Az S absztrakt objektumhalmaz ködolása
egy e leképezés a bináris sorozatokba.
Pl ASCII kód betukre, összetett objektum esetén
az összetevok kódkombinációja Konk
rét probléma esetei a bináris sorozatok Absztrak
t probléma kódolás konkrét probléma Q(i)
?01 eI ? 01 e(i) esetre
is Q(i) a megoldás
e(Q)
3
Absztrakt problémák
Algoritmus konkrét problémát O(T(n)) ido alatt
megold bármely n hosszú i esetre a megoldás
O(T(n)) lépést igényel. Polinom idoben
megoldható a probléma Létezik algoritmus, ami
O(nk) alatt megoldja valamely k-ra P
bonyolultsági osztály a polinom idoben
megoldható konkrét
problémák halmaza
4
Absztrakt problémák
Terjesszük ki a polinomiális idejuek definícióját
az absztrakt problémákra kódolás
felhasználásával. (ne legyen függés a konkrét
kódolástól) Az f 0,1 ? 0,1 függvény
polinom idoben kiszámítható, ha létezik olyan A
polinomiális algoritmus, amely minden x ? 0,1
bemenetre f(x)-et adja eredményül. Az e1 és e2
kódolások polinomiálisan kapcsoltak, ha létezik
olyan f12 és f21 polinom idoben kiszámítható
függvény, hogy minden i ?I esetén
f12(e1(i))e2(i) és f21(e2(i))e1(i). Lemma
Legyen Q absztrakt döntési probléma az I
esethalmazzal és legyenek e1, e2
I-nek polinomiálisan kapcsolt kódolásai. Ekkor
e1(Q) ?P ? e2(Q) ?P
5
Formális nyelvi megközelítés
Ábécé véges szimbólumhalmaz ? Szavakábécé
elemeibol képzett véges sorozatok. (üres szó jele
(?)) Nyelv ? szimbólumaiból készített szavak
halmaza (Üres nyelv jele(?)) ? az összes
lehetséges szó halmaza beleértve az üres szót
is. Muveletek a nyelveken unió, metszet,
komplemens (?-L), konkatenáció (két nyelv
szavait egymás után írjuk) Nyelv lezártja (Kleene
csillag) L? ?L ?L2 ?L3 A Q döntési probléma
esethalmaza lehet ? , ahol ?0,1. Ekkor Q
tekintheto, mint egy L nyelv ? felett, ahol Lx
? ? Q(x)1 Az A algoritmus elfogadja az x
?0,1 szót, ha A(x)1 és elutasítja, ha
A(x)0. A elfogadja az L nyelvet, ha minden
szavát elfogadja A eldönti az L nyelvet, ha x ?L
esetén A(x)1 és x ? L esetén A(x)0
6
Formális nyelvi megközelítés
A polinom idoben elfogadja az L-et, ha minden n
hosszú szavát a nyelvnek O(nk) idoben elfogad
valamely k-ra. A polinom idoben eldönti az L-et,
ha minden n hosszú szavát a nyelvnek O(nk)
idoben elfogad, vagy elutasít valamely k-ra. Az
L nyelv polinom idoben elfogadható vagy
elutasítható, ha létezik algoritmus, amely
polinom idoben elfogadja vagy elutasítja. Tétel
PL L polinom idoben elfogadható
7
Polinomiális ellenorzés
Az ellenorzo algoritmusnak két bemenete van az x
eset és az y tanú. Az ellenörzo algoritmus
bizonyítja az x szót, ha létezik y tanú, hogy
A(x,y)1 Az ellenörzo algoritmus bizonyítja az L
nyelvet, ha annak mind szavát bizonyítja, és
amit bizonyít, az a nyelvnek szava. Lx
?01 ?y ?01, A(x,y)1
8
NP bonyolultsági osztály
NP bonyolultsági osztály nyelvosztály, mely
polinomiális algoritmussal bizonyítható L NP-hez
tartozik, ha létezik olyan kétbemenetu
polinomiális algoritmus és c konstans, hogy
minden x szavához létezik y tanú, hogy y hossza
O(?x ?c) és A(x,y)1 P ? NP fennáll PNP ?
Fennáll-e? co-NP azon nyelvek halmaza, melyekre
fennáll, hogy L komplementere NP-hez tartozik.
L ?NP ? C(L) ?NP ??? Nem világos? P ?( NP ?
co-NP) fennáll. Az egyenloség nem ismert.
9
Lehetséges relációk
NPco-NP
PNPco-NP
P
NP ? co-NP
PNP ? co-NP
co-NP
NP
co-NP
NP
P
10
Karp redukció és NP teljes problémák

• Az L1 nyelv polinomiálisan visszavezetheto L2-re
  (L1 ?p L2)
• Ha létezik f 01 ? x01 polinomiális
  idoben kiszámítható fóggvény
• amelyre minden x ?01 esetén x ?L1 ? f(x) ?
  L2
• Lemma Ha L1 , L2 ? 01 , L1 ?p L2 és L2
  ?P, akkor L1 ? P
• NPC (NP teljes nyelv) L ? 01
• L ?NP,
• Minden L ?NP-re L ?p L
• Tétel Ha létezik polinomiális idoben megoldható
  NP teljes probléma,
• akkor PNP.

11
NP teljes problémákra példák
Klikk probléma Minimális lefedo
csúcshalmaz Részletösszeg probléma Hamilton
kör Utazó ügynök SAT (Cook-Levin tétel, 1971)