Computabilidade e Linguagens Formais

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Computabilidade e Linguagens Formais

• Introdução à teoria dos autómatos
• Notas baseadas em John E. Hopcroft, Rajeev
  Motwani, Jeffrey D. Ullman. Introduction to
  automata theory, languages and computation. 2nd
  ed, Addison-Wesley, 2001.

Gabriel David / Cristina Ribeiro
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História

• Teoria dos autómatos estudo dos dispositivos
  computacionais abstractos máquinas
• Alan Turing (1930s)
• Estudou os limites de uma máquina abstracta
  equivalente às máquinas actuais
• Antes de haver computadores!
• 1940s, 1950s
• Estudos em autómatos finitos para modelar o
  cérebro
• Noam Chomsky (1950s)
• Gramáticas formais - relacionadas com autómatos
  abstractos úteis em compilação
• S. Cook (1969)
• Teoria da complexidade o que é possível ou não
  computar

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Interesse da teoria dos autómatos

• Útil na modelação de hardware e software
• Projecto e teste de circuitos digitais
• Análise lexical em compilação
• Processamento de texto, pesquisa na Web
• Máquinas de estados, protocolos de comunicação,
  criptografia
• Autómato finito
• Sistema que em cada momento está num de um nº
  finito de estados
• Estado memoriza a porção relevante da história do
  sistema
• Sendo finito tem que esquecer o que não for
  relevante
• Pode ser implementado com recursos fixos

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Interruptor on/off
Press
Start
on
off
Press

• Autómato finito mais simples modela interruptor
• Dois estados círculos on e off
• Uma só entrada etiquetas nos arcos Press
• Representa influência externa no sistema
  transição de estado
• Carregar no botão tem um efeito dependente do
  estado
• Estado inicial indicado por uma seta com a
  etiqueta Start
• Pode existir um (ou mais) estados finais ou de
  aceitação, indicados por círculo de linha dupla
• Chegar a um desses estados significa que a
  sequência de entradas é boa

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Reconhecedor
t
h
e
n
Start
t
th
the
then

• Se a entrada for a cadeia t-h-e-n o autómato
  evolui do estado inicial para o final
• Acumula a história das entradas
• O seu objectivo é reconhecer a palavra then

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Representações estruturais

• Gramáticas
• Processar dados com estrutura recursiva
  expressões
• Exemplo de regra gramatical E ? E E
• Uma expressão pode ser constituída por duas
  expressões ligadas por
• Usadas em analisadores parsers de compiladores
• Expressões regulares
• Descreve a estrutura de cadeias de caracteres
• Exemplo 1-90-90-90-9-0-90-90-9
  A-Za-z
• Descreve 4200-465 Porto mas falha 5505-032
  Vila Real
• Correcção 1-90-90-90-9-0-90-90-9(
  A-Za-z)

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Conceitos centrais

• Alfabeto é um conjunto finito e não vazio de
  símbolos
• ? 0, 1 , alfabeto binário
• ? a, b, , z , conjunto das minúsculas
• Conjunto dos caracteres ASCII
• Cadeia (ou palavra) é uma sequência finita de
  símbolos escolhidos de um alfabeto
• 01101 é uma cadeia do alfabeto ? 0, 1
• Cadeia vazia (?) tem zero ocorrências de símbolos
• Comprimento de uma cadeia é o número de
  ocorrências de símbolos 01101 5, ? 0
• Potência de um alfabeto ?k é o conjunto de
  cadeias de comprimento k, formadas por símbolos
  do alfabeto ? (produto cartesiano)
• ?0 ?
• Se ? 0, 1 então ?1 0, 1 , ?2 00, 01,
  10, 11, ?3 000, 001, , 111
• Distinção entre ? 0, 1 conjunto de símbolos e
  ?1 0, 1 conjunto de cadeias

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Linguagem

• O conjunto de todas as cadeias sobre um alfabeto
  ? é denotada por ?
• ? ?0 ? ?1 ? ?2 ?
• ? ?1 ? ?2 ?
• ? ?0 ? ?
• Linguagem L sobre um alfabeto ? é um subconjunto
  de ? (L ? ?)
• Linguagem das cadeias com n 0s seguidos de n 1s
• ?, 01, 0011, 000111,
• Conjunto dos números binários que são primos
• 10, 11, 101, 111, 1011,
• Linguagem vazia
• ?
• Linguagem só com a cadeia vazia
• ?

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Problema

• Problema é a questão de decidir se, dada uma
  cadeia, ela é membro de uma determinada linguagem
• Dados w ? ? e L ? ?, w ? L ?
• É comum descrever uma linguagem através de um
  construtor de conjuntos
• w w consiste de um número igual de 0s e 1s
• Conjunto dos w tal que w
• w w é um programa em C sintacticamente
  correcto
• Problema de testar a primalidade
• w ? Lp ? em que w é uma cadeia com a
  representação binária de um número e Lp é a
  linguagem que contém todas as cadeias que são
  representações binárias de números primos

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Linguagem ou problema?

• Problema em sentido comum
• Pedido para calcular ou transformar uma entrada
  (ex compilador)
• Não uma questão de decisão (sim/não)
• Para efeitos de estudos de complexidade, definir
  um problema em termos de uma linguagem é adequado
• É tão difícil resolver a questão da decisão como
  a do problema
• Se for difícil decidir se uma cadeia pertence à
  linguagem LX das cadeias válidas na linguagem de
  programação X então não é mais fácil traduzir
  programas na linguagem X para código objecto
• Se fosse, executava-se o tradutor e decidia-se da
  pertença a LX conforme o sucesso do tradutor em
  produzir código objecto. O problema da decisão
  ficava fácil, o que contradiz a suposição (prova
  por contradição)
• Exemplo de redução de um problema a outro
• Linguagens e problemas são a mesma coisa
• Cadeias enquanto tal linguagem objectos
  representados problema