Computabilidade e Linguagens Formais

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Computabilidade e Linguagens Formais

• Expressões e linguagens regulares

Gabriel David / Cristina Ribeiro
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Expressões regulares

• Úteis em pesquisa de texto (grep do Unix) e em
  compiladores (Lex, Flex, analisadores lexicais)
• Alternativa simpática aos NFA
• Equivalentes aos autómatos ? provar
• Características algébricas permitem expressão
  declarativa das cadeias pretendidas
• Expressões regulares denotam linguagens
• 0110
• Linguagem das cadeias binárias que têm um 0
  seguido de zero ou mais 1s, ou um 1 seguido de
  zero ou mais 0s

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Operadores sobre linguagens

• União de duas linguagens L e M (L ? M), é o
  conjunto das cadeias que pertencem a L, a M, ou a
  ambas
• L 001, 10, 111 M ?, 001 L ? M ?,
  001, 10, 111
• Concatenação de duas linguagens L e M (LM ou
  L.M), é o conjunto de cadeias que se obtém
  concatenando qualquer cadeia em L com qualquer
  cadeia em M
• LM 001, 10, 111, 001001, 10001, 111001
• Fecho de uma linguagem L (L) é o conjunto de
  cadeias que se obtém concatenando um número
  arbitrário de cadeias de L, incluindo repetições,
  isto é, L ?i?0 Li, em que L0?
• L 0,1 L é a linguagem das cadeias binárias

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Exemplos de fecho

• L 0, 11
• L0 ?
• L1 L 0, 11
• L2 LL 00, 011, 110, 1111
• L ? , 0, 11, 00, 011, 110, 1111,
• Apesar de a linguagem L ser finita, bem como cada
  termo Li, L é infinita
• L todas as cadeias só com 0s
• L L
• L é infinita, tal como L
• L ?
• L L0 ?

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Construção de expressões regulares

• Base
• As constantes ? e ? são expressões regulares
• L(?) ? e L(?) ?
• Se a é um símbolo a é uma expressão regular
• L(a) a
• Uma variável (ex L) é uma expressão regular
• Representa qualquer linguagem
• Indução
• Se E e F são expressões regulares E F é
  expressão regular
• L(E F) L(E) ? L(F)
• Se E e F são expressões regulares EF é expressão
  regular
• L(EF) L(E)L(F)
• Se E é expressão regular E é expressão regular
• L(E) (L(E))
• Se E é expressão regular (E) é expressão regular
• L((E)) L(E)

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Exemplo

• Escrever uma expressão regular para o conjunto de
  cadeias constituídas por 0s e 1s alternados.
• 01 L(01) 01
• (01) ? 01 L((01)) ?, 01, 0101, 0101,
• Ainda faltam muitas!
• (01)(10)0(10)1(01)
• Está bem
• (?1)(01)(?0)
• Também.

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Equivalência FA - RE
NFA
?-NFA
DFA
RE

• Mostrar que todas as linguagens definidas por
  autómatos também são definidas por expressões
  regulares (DFA ? RE)
• Mostrar que todas as linguagens definidas por RE
  também são definidas por autómatos (RE ? ?-NFA)

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Dos DFAs às REs

• Teorema Se LL(A) para um DFA A então existe uma
  expressão regular R tal que LL(R)
• Dois métodos
• numerar os estados de 1 a n construir REs que
  vão descrevendo caminhos sucessivamente mais
  complexos no DFA, até descrever todos os caminhos
  da entrada para cada estado final
• Considerar os arcos etiquetados por RE eliminar
  estados internos substituindo o seu efeito por
  REs

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Construção de caminhos

• Numerar os estados de 1 a n, começando pelo de
  entrada
• Rij(k)
• Expressão regular cuja linguagem é o conjunto de
  cadeias w tal que w é a etiqueta de um caminho
  entre os nós i e j, sem passar em nenhum nó
  intermédio maior do que k (os extremos podem ser)
• Indução no número dos nós (k)

Estado de partida
Estado de chegada
n i k k-1 1
n j k k-1 1
Rik(k-1)
Rkk(k-1)
Rkj(k-1)
Rij(k-1)
? passos
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Construção de caminhos

• Base
• k0 significa sem nós intermédios (o menor é 1)
• arco de i para j (RE é o respectivo símbolo ou
  ?, se não existir ou a1a2am, se houver m
  arcos em paralelo)
• nó i (i para i) (RE é ?a1a2am)
• Indução
• Hipótese os caminhos que só usam nós até k-1 já
  estão convertidos
• Existe caminho de i para j sem passar no estado k
• Rij(k-1)
• O caminho passa uma ou mais vezes em k
• Rij(k) Rij(k-1) Rik(k-1) (Rkk(k-1)) Rkj(k-1)
• Terminar Rij(n) caminhos entre i e j usando
  todos os estados
• A RE da linguagem do autómato é a soma das
  expressões R1j(n) tais que j é um estado de
  aceitação.

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Exemplo DFA ? RE
1

• Autómato que reconhece cadeias com pelo menos um
  0
• Rij(k) Rij(k-1) Rik(k-1) (Rkk(k-1)) Rkj(k-1)
• Rij(1) Rij(0) Ri1(0) (R11(0)) R1j(0)

Start
0
0,1
1
2
R11(0) ?1
R12(0) 0
R21(0) ?
R22(0) ?01
R11(1) ?1(?1)(?1)(?1) 1
R12(1) 0(?1)(?1)0 10
R21(1) ??(?1)(?1) ?
R22(1) ?01?(?1)0 ?01
Simplificação (?1) 1 ?R R? ? ?R R?
R
R11(2) 1 10(?01)? 1
R12(2) 10 10(?01)(?01) 10(01)
R21(2) ? (?01)(?01)? ?
R22(2) ?01(?01)(?01)(?01) (01)
R 10(01)
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Eliminação de estados

• Eliminação do estado s

R1m
R11
R11Q1SP1
q1
p1
q1
p1
Q1
S
R1mQ1SPm
P1




s
Rk1QkSP1
Qk
Pm
Rkm
qk
pm
qk
pm
RkmQkSPm
Rk1
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Propriedades de fecho
Linguagens regulares
Linguagens regulares
operação

• A classe das linguagens regulares é fechada para
  a operação
• Exemplos de operações
• União, Intersecção e Complemento
• Diferença
• Reverso
• Fecho () e Concatenação
• Homomorfismo e Homomorfismo Inverso

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Propriedades de decisão das LR

• Como estudar uma linguagem?
• Infinita ? não dá para análise exaustiva
• Representação finita DFA, NFA, ?-NFA, ER ? LR
• Responder a uma questão sobre uma linguagem
• Encontrar um algoritmo que responda sim ou não
• Em muitas situações, existem algoritmos para LR
  mas não existem para as não regulares, mesmo que
  exista representação finita para algumas delas
• Três questões
• A linguagem é vazia?
• A cadeia w pertence à linguagem?
• Duas descrições de linguagens correspondem de
  facto à mesma?

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Conversão entre representações

• Qual a complexidade dos respectivos algoritmos?
• NFA ? DFA
• Função no número de estados n do NFA
• Cálculo do fecho-? O(n3)
• Construção de subconjuntos O(2n) (número de
  estados do DFA)
• Cálculo de uma transição da função ? O(n3)
• Considera-se o alfabeto constante, portanto só
  influencia a constante escondida na notação O(.)
• Conversão completa O(n32n)
• Como o número de estados s do DFA é
  frequentemente muito menor que exponencial O(n3s)

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Conversão entre representações

• DFA ? NFA
• O(n)
• DFA ? ER
• Algoritmo de introdução sucessiva de estados n
  passos
• Em cada passo temos n2 expressões e uma expressão
  é construída à custa de 4 do passo anterior
  O(n34n)
• No caso NFA ? ER, se se começar por converter
  primeiro para DFA obtém-se um algoritmo
  duplamente exponencial O(n34n32n)

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A linguagem é vazia?

• Resposta L? é vazia as outras linguagens não.
• A questão é mais interessante se L for
  representada por uma expressão regular ou por um
  autómato
• Autómato
• Questão resume-se à acessibilidade no respectivo
  grafo se nenhum estado final for acessível a
  partir do inicial, a resposta é positiva
• Algoritmo de complexidade proporcional ao número
  de arcos O(n2)
• Expressão regular (comprimento n)
• Converter para ?-NFA, resultado O(n) estados,
  algoritmo O(n), ou
• Inspeccionar a expressão regular (no caso de
  conter ?)

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w pertence à linguagem?

• L representada por um autómato
• w é sempre explícita
• DFA
• Simular o processamento da cadeia sim, se
  terminar num estado de aceitação O(w)
• NFA, ?-NFA
• Converter para DFA e aplicar método anterior
  algoritmo pode ser exponencial no tamanho da
  representação
• Mais simples e mais eficiente simular o NFA
  directamente, mantendo o conjunto dos s estados
  em que o autómato pode ficar em cada transição
  O(ws2)
• L representada por expressão regular de
  comprimento s
• Converter para ?-NFA com até 2s estados em tempo
  O(s) e aplicar o método anterior

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L1 e L2 são equivalentes?

• Duas descrições de LR são equivalentes se
  definirem a mesma linguagem
• Pode encontrar-se uma representação mínima, única
  a menos de renomeação dos estados
• Equivalência de estados de um DFA
• Dois estados p e q são equivalentes se para todas
  as cadeias w ?(p,w) é um estado de aceitação se
  e só se ?(q,w) também o for
• Não se consegue distinguir p e q só a partir do
  resultado de aceitação ou não de quaisquer
  cadeias
• Não se exige que ?(p,w) e ?(q,w) sejam o mesmo
  estado mas apenas que sejam ambos de aceitação ou
  ambos de não aceitação
• Se dois estados não forem equivalentes, são
  distinguíveis
• Há pelo menos uma cadeia em que um de ?(p,w) e
  ?(q,w) é de aceitação e o outro não

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Equivalência de estados
0
1
0
1
0
Start
A
B
D
C
1
0
1
1
0
1
1
0
E
G
H
F
1
0
0

• ?(C,?) C é de aceitação e ?(G,?) não ? C e G
  não são equivalentes
• A e G ?, 0, 1 não permitem distinguir, mas
  ?(A,01)C e ?(G,01)E sim
• A e E nenhum é de aceitação 1 leva ambos para
  F, portanto w1x não permite distinguir 0 também
  não ?(A,00) G ?(E,00) ?(A,01) C
  ?(E,01) portanto A e E são equivalentes

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Algoritmo de preenchimento de tabela

• Dado um DFA A(Q,?,?,q0,F) encontrar estados
  equivalentes
• Base se p for de aceitação e q não, o par p,q
  é distinguível
• Indução sejam p e q estados tais que, para um
  símbolo a, r?(p,a) e s?(q,a) são
  distinguíveis então p,q é distinguível

B X
C X X
D X X X
E X X X
F X X X X
G X X X X X X
H X X X X X X
A B C D E F G