Computabilidade e Linguagens Formais

1
Computabilidade e Linguagens Formais

• Autómatos de pilha

Gabriel David / Cristina Ribeiro
2
Autómatos e autómatos de pilha

• Os autómatos de pilha estão para as linguagens
  sem contexto como os autómatos estão para as
  linguagens regulares

1
Linguagens regulares
10(10)
Start
0
0,1
1
2
Start
A
B
Linguagens sem contexto
E ? I EE EE (E) I ? a b Ia Ib I0
I1
3
Ideia

• Autómato de pilha é um ?-NFA com uma pilha de
  símbolos
• Adiciona a possibilidade de memorizar uma
  quantidade infinita de informação
• Só tem acesso ao topo da pilha (LIFO), em vez de
  poder consultar qualquer posição de memória, como
  os computadores genéricos

• Funcionamento
• A parte de controlo lê e consome os símbolos da
  entrada
• Transição para novo estado baseada no estado
  corrente, símbolo de entrada e símbolo no topo da
  pilha
• Transição espontânea com ?
• Topo da pilha substituído por cadeia

Controlo de estados finito
entrada
Aceita/ rejeita
pilha
4
Exemplo do palindroma

• Lwwr wwR w em (01) palindromas de
  comprimento par
• Linguagem sem contexto gerada pela gramática P ?
  ? 0P0 1P1
• Construir um autómato de pilha
• Estado inicial q0 significa que ainda não se
  atingiu o meio de wwR vai-se guardando na pilha
  os símbolos de w
• A qualquer altura, adivinha-se que já se chegou
  ao meio (fim de w) e faz-se uma transição ? para
  q1 a pilha contém w, a começar no fundo e a
  acabar no topo o não determinismo é simulado
  pela manutenção dos dois estados
• Em q1 comparam-se os símbolos de entrada com o
  topo da pilha se não houver correspondência, a
  aposta foi errada e este ramo da computação
  morre outro poderá ter sucesso
• Se a pilha se esvaziar (e a entrada acabar)
  descobriu-se w e wR

5
Definição

• Autómato de pilha (PDA) P (Q, ?, ?, ?, q0, Z0,
  F)
• Q conjunto finito de estados
• ? conjunto finito de símbolos de entrada
• ? alfabeto da pilha finito
• ? função de transição ?(q, a, X) (p1,?1),
  finito
• q é um estado, a um símbolo de entrada ou ?, X um
  símbolo da pilha
• p1 é o novo estado, ?1 é a cadeia de símbolos da
  pilha que substitui X no topo
• ?1 ? pop do topo da pilha
• ?1 X pilha inalterada
• ?1 YZ X substituído por Z e push do Y a seguir
• q0 estado inicial
• Z0 símbolo inicial, conteúdo inicial da pilha
• F conjunto de estados de aceitação ou finais

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De novo o exemplo

• PDA de Lwwr P (q0,q1,q2, 0,1, 0,1,Z0, ?,
  q0, Z0, q2)
• Z0 usado para marcar o fundo da pilha e permitir
  no fim da leitura de wwR passar para o estado de
  aceitação q2
• ?(q0,0,Z0) (q0,0Z0) e ?(q0,1,Z0) (q0,1Z0)
  topo da pilha à esquerda
• ?(q0,0,0) (q0,00), ?(q0,0,1) (q0,01),
  ?(q0,1,0) (q0,10), ?(q0,1,1) (q0,11)
• ?(q0,?,Z0) (q1,Z0), ?(q0, ?,0) (q1,0),
  ?(q0, ?,1) (q1,1)
• ?(q1,0,0) (q1, ?) e ?(q1,1,1) (q1, ?)
• ?(q1,?,Z0) (q2,Z0)

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Diagrama de transição
0, Z0/0Z0 1, Z0/1Z0 0, 0/00 0, 1/01 1, 0/10 1,
1/11
0, 0/? 1, 1/?
Start
q0
q1
q2
?, Z0/Z0 ?, 0/0 ?, 1/1
?, Z0/Z0

• Nós são estados
• Start indica o estado inicial
• Arcos correspondem às transições
• Etiqueta a,X/a de q para p significa que
  ?(q,a,X) contém (p,a)
• O arco indica a entrada e o topo da pilha antes e
  depois

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Descrição instantânea

• Computação de um PDA
• Evolui de configuração em configuração, em
  resposta a símbolos de entrada (ou ?) e alterando
  a pilha
• Num DFA toda a informação no estado num PDA
  estado pilha
• Descrição instantânea (q,w,?)
• q estado
• w entrada remanescente (em vez de só um símbolo,
  conveniência)
• ? conteúdo da pilha (topo à esquerda)
• Passo de um PDA (Q, ?, ?, ?, q0, Z0, F)
• Se ?(q,a,X) contiver (p,a), para todas as cadeias
  w em ? e ? em ?
• (q, aw, X?) P (p,w,a?)
• Usa-se para zero ou mais passos (computação)

9
Ainda o exemplo

• Entrada w1111
• Descrição instantânea (DI) inicial (q0, 1111, Z0)

(q1, 1111, Z0)
(q0, 1111, Z0)
(q2, 1111, Z0)
(q0, 111, 1Z0)
(q1, 111, 1Z0)
(q2, 11, Z0)
(q1, 11, Z0)
(q0, 11, 11Z0)
(q1, 11, 11Z0)
(q1, 1, 1Z0)
(q0, 1, 111Z0)
(q1, 1, 111Z0)
(q2, ?, Z0)
(q1, ?, Z0)
(q1, ?, 11Z0)
(q0, ?, 1111Z0)
(q1, ?, 1111Z0)
10
Princípios relativos a DI

• Se uma sequência de DIs (computação) é legal para
  um PDA P então a computação que resulta de
  adicionar uma qualquer cadeia w à entrada em cada
  DI também é legal
• Se uma computação é legal para um PDA P então a
  computação que resulta de adicionar um qualquer
  conjunto de símbolos abaixo da pilha em cada DI
  também é legal
• Teorema 1 Se (q,x,a) (p,y,?) então (q,xw,a?)
  (p,yw,??)
• Se uma computação é legal para um PDA P e uma
  cauda da entrada não é consumida, então a
  computação que resulta de remover essa cauda da
  entrada em cada DI também é legal
• Teorema 2 Se (q,xw,a) (p,yw,?) então (q,x,a)
  (p,y,?)

11
Comentários

• Dados para os quais P nunca olha não podem
  afectar a sua computação
• Conceito semelhante à própria noção de linguagem
  sem contexto o que está ao lado não influencia a
  computação
• Teorema 2 não é o inverso do 1 porque o que está
  na pilha pode influenciar a computação mesmo sem
  ser descartado
• Pode por exemplo ir sendo retirado da pilha um
  símbolo de cada vez e no último passo repor tudo

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Linguagens de um PDA

• Aceitação por estado final
• Seja o PDA P (Q, ?, ?, ?, q0, Z0, F)
• Linguagem de P aceite por estado final
• L(P) w (q0,w,Z0) (q,?,a) e q ? F
• Conteúdo final da pilha é irrelevante
• Exemplo
• (q0,wwR,Z0) (q0,wR,wRZ0) (q1,wR,wRZ0)
  (q1,?,Z0) (q2,?,Z0)
• Aceitação por pilha vazia
• N(P) w (q0,w,Z0) (q,?,?)
• Linguagem aceite por pilha vazia, conjunto de
  entradas w que P consome esvaziando ao mesmo
  tempo a pilha (N(P) pilha nula)
• Mesmo exemplo modificação para esvaziar a pilha
  e obter N(P)L(P)
• ?(q1,?,Z0) (q2,Z0) passa a ser ?(q1,?,Z0)
  (q2,?)
• (q0,wwR,Z0) (q0,wR,wRZ0) (q1,wR,wRZ0)
  (q1,?,Z0) (q2,?,?)

13
Da pilha vazia ao estado final

• Teorema Se L N(PN) para um PDA PN (Q, ?, ?,
  ?N, q0, Z0) então existe um PDA PF tal que L
  L(PF)
• Dois métodos de aceitação de uma entrada
  equivalentes
• Embora para um PDA P possa ser L(P) ? N(P)
• Partindo de PN, usa-se um novo X0 ? ? como
  símbolo inicial de PF e como marcador do fundo da
  pilha PF vê X0 quando pilha de PN vazia

?, X0/ ?
?, X0/ ?
Start
p0
q0
pf
PN
?, X0/Z0X0
?, X0/ ?
PF (Q?p0,pf, ?, ??X0, ?F, p0, X0,pf)
14
Do estado final à pilha vazia
?, any/?
?, any/?
Start
p0
q0
p
PF
?, X0/Z0X0
?, any/?
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Exemplo de conversão

• Defina um PDA que processe sequências de i e
  e, significando if e else, construção presente
  em muitas linguagens de programação, detectando
  sequências inválidas (sequências que têm mais
  es que is num prefixo)
• Símbolo inicial Z pilha com Zn significa que nº
  is - nº es n-1
• Aceitação por pilha vazia (balanço de mais um e
  que i)
• Conversão para aceitação por estado final

e, Z/ ? i, Z/ZZ
e, Z/ ? i, Z/ZZ
Start
Start
q
r
p
q
?, X0/ZX0
?, X0/?
pilha vazia
Estado final
16
Equivalência entre PDAs e CFGs

• Prova-se que as linguagens sem contexto,
  definidas por CFG, são as linguagens aceites por
  pilha vazia por um PDA e portanto também as
  aceites por estado final por um PDA
• Ideia dada uma CFG G construir um PDA que simula
  as derivações mais à esquerda de G
• Qualquer forma frásica esquerda não terminal pode
  ser escrita como xAa, onde A é a variável mais à
  esquerda. Aa é a cauda.
• CFG G (V,T,Q,S)
• PDA que aceita L(G) por pilha vazia P (q,
  T,V?T,?,q,S)
• Para cada variável A ?(q,?,A)(q,?) A ? ? é
  produção em G
• Para cada terminal a ?(q,a,a)(q,?)

17
De CFG para PDA

• Dada a CFG
• Obter um PDA de aceitação por pilha vazia que
  aceite a mesma linguagem.
• PN (q, a,b,0,1,(,),,, a,b,0,1,(,),,,E,I
  , ?, q, E)
• ?(q,?,I) (q,a), (q,b), (q,Ia), (q,Ib), (q,I0),
  (q,I1)
• ?(q,?,E) (q,I), (q,EE), (q,EE), (q,(E))
• ?(q,a,a) (q,?) ?(q,b,b)(q,?), ?(q,0,0)
  (q,?) ?(q,1,1) (q,?) ?(q,(,() (q,?)
  ?(q,),)) (q,?) ?(q,,) (q,?) ?(q,,)
  (q,?)
• Só um estado processamento das variáveis
  espontâneo só os terminais consomem entrada

E ? I EE EE (E) I ? a b Ia Ib I0
I1
18
Exercício

• Usando a CFG e o PDA para a linguagem das
  expressões
• a) obtenha uma derivação mais à esquerda de
  a?(ab00)
• b) obtenha o traço da respectiva computação no
  PDA, isto é, a sequência de Descrições
  Instantâneas
• a)
• E ? EE ? IE ? aE ? a(E) ? a(EE) ? a(IE) ?
• a(aE) ? a(aI) ? a(aI0) ? a(aI00) ?
  a(ab00)
• b)
• (q, a?(ab00), E) (q, a?(ab00), E?E) (q,
  a?(ab00), I?E)
• (q, a?(ab00), a?E) (q, ?(ab00), ?E) (q,
  (ab00), E)
• (q, (ab00), (E)) (q, ab00), E)) (q, ab00),
  EE))
• (q, ab00), IE)) (q, ab00), aE)) (q,
  b00), E))
• (q, b00), E)) (q, b00), I)) (q, b00), I0))
  (q, b00), I00))
• (q, b00), b00)) (q, 00), 00)) (q, 0), 0))
  (q,),)) (q, ?, ?)

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De PDA para CFG

• Ideia reconhecer que o evento fundamental num
  processamento num PDA é o pop final de um símbolo
  da pilha enquanto se consome entrada
• Acrescentar variáveis na linguagem para
• Cada eliminação definitiva de um símbolo X da
  pilha
• Cada mudança de estado de p para q ao eliminar X,
  representada por um símbolo composto pXq
• Regra do PDA P (Q, ?, ?, ?N, q0, Z0) construir
  CFG G (V, ?, R, S)
• Variáveis V contém S e os símbolos pXq

20
De PDA para CFG (cont)

• Produções R
• Para todos os estados p, G contém S ? q0Z0p
• O símbolo q0Z0p gera todas as cadeias w que
  extraem Z0 da pilha enquanto vão do estado q0
  para o estado p, (q0,w,Z0) (p,?,?)
• Então S gera todas as cadeias w que esvaziam a
  pilha
• Se ?(q,a,X) contém o par (r,Y1Y2Yk), k?0, a ? ?
  ou a? então para todas as listas de estados
  r1,r2,,rk, G contém
• qXrk ? arY1r1r1Y2r2rk-1Ykrk
• Uma forma de extrair X e ir de q a rk é ler a
  (pode ser ?) e usar alguma entrada para extrair
  Y1 ao ir de r para r1, etc.

21
Exemplo

• Converter o PDA PN(q,i,e,Z,?N,q,Z) numa
  gramática
• aceita as cadeias que violam pela 1ª vez a regra
  de que um e deve corresponder a um i
  precedente
• Solução
• só um estado q e só um símbolo de pilha Z
• Duas variáveis S, símbolo inicial qZq, único
  símbolo a partir dos estados e símbolos de PN
• Produções
• S ? qZq (se houvesse mais estados p e r
  teríamos S?qZp e S?qZr)
• De ?N(q,i,Z)(q,ZZ) obter qZq?iqZq qZq
  (se houvesse mais estados p e r teríamos
  qZp?iqZr rZp)
• De ?N(q,e,Z)(q,?) obter qZq?e (Z é
  substituído por nada)
• Chamando A a qZq fica S?A e A ? iAA e

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Propriedades das CFL

• Simplificação das CFGs ? forma normal de Chomsky
• Eliminação de símbolos inúteis
• Símbolo útil S ? aX? ? w, w ? T
• Símbolo gerador X ? w
• Qualquer terminal é gerador, dele próprio!
• Símbolo atingível S ? aX?
• Útil gerador atingível
• Eliminar primeiro os não geradores e depois os
  não atingíveis
• Exemplo
• S ? AB a S ? a B não é gerador S ? a
• A ? b A ? b A não é atingível

23
Eliminação de símbolos inúteis

• Algoritmo descobrir os símbolos geradores
• os terminais são geradores
• A ? a e a só tem geradores então A é gerador
• Algoritmo descobrir os símbolos atingíveis
• S é atingível
• A é atingível, A?a então todos os símbolos em a
  são atingíveis

24
Eliminação de produções-?

• Variável anulável A ? ?
• Transformação B ? CAD passa a B ? CD CAD e
  impede-se que A produza ?
• Algoritmo descobrir as variáveis anuláveis
• A ? C1 C2 Ck, todos os Ci são anuláveis então
  A é anulável
• Se uma linguagem L tem uma CFG então L-? tem
  uma CFG sem produções-?
• Determinar todos os símbolos anuláveis
• Para cada A ? X1 X2 Xk se m Xis são anuláveis
  substituir por 2m produções com todas as
  combinações de presenças de Xi.
• Excepção se mk, não se inclui o caso de todos
  os Xi ausentes
• Produções A ? ? são eliminadas

25
Exemplo

• Gramática
• S ? AB
• A ? aAA ?
• B ? bBB ?
• A e B são anuláveis, logo S também
• S ? AB A B
• A ? aAA aA aA a
• B ? bBB bB b

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Eliminação de produções unitárias

• Produção unitária A ? B, em que A e B são
  variáveis
• Podem ser úteis na eliminação de ambiguidade (ex
  linguagem das expressões)
• Não são imprescindíveis introduzem passos extra
  nas derivações
• Eliminam-se por expansão
• I ? a b Ia Ib I0 I1
• F ? I (E)
• T ? F T F
• E ? T E T
• De E ? T passar a E ? F T F a E ? I (E) T
  F e finalmente E ? a b Ia Ib I0 I1
  (E) T F
• Problema no caso de ciclos

27
Eliminação de produções unitárias

• Algoritmo descobrir todos os pares unitários,
  deriváveis apenas com produções unitárias
• (A, A) é um par unitário
• (A, B) é um par unitário e B ? C, C variável
  então (A, C) é unitário
• Exemplo (E, E), (T, T), (F, F), (E, T), (E, F),
  (E, I), (T, F), (T, I), (F, I)
• Eliminação substituir as produções existentes de
  forma a que para cada par unitário (A, B) se
  incluam todas as produções da forma A ? a em que
  B ? a é uma produção não unitária (incluir AB)

28
Gramática sem produções unitárias

• I ? a b Ia Ib I0 I1
• F ? I (E)
• T ? F T F
• E ? T E T

Par Produções
(E, E) E ? E T
(E, T) E ? T F
(E, F) E ? (E)
(E, I) E ? a b Ia Ib I0 I1
(T, T) T ? T F
(T, F) T ? (E)
(T, I) T ? a b Ia Ib I0 I1
(F, F) F ? (E)
(F, I) F ? a b Ia Ib I0 I1
(I, I) I ? a b Ia Ib I0 I1
29
Sequência de simplificação

• Se G é uma CFG que gera uma linguagem com pelo
  menos uma cadeia diferente de ?, existe uma CFG
  G1 que não tem produções-?, produções unitárias
  ou símbolos inúteis e L(G1) O L(G) ?
• Eliminar produções-?
• Eliminar produções unitárias
• Eliminar símbolos inúteis

30
Forma normal de Chomsky (CNF)

• Todas as CFL sem ? têm uma gramática na forma
  normal de Chomsky sem símbolos inúteis e em que
  todas as produções são da forma
• A ? BC (A, B, C variáveis) ou
• A ? a (A variável e a terminal)
• Transformação
• Começar com uma gramática sem produções-?,
  produções unitárias ou símbolos inúteis
• Deixar as produções A ? a
• Passar todos os corpos de comprimento 2 ou mais
  para só variáveis
• Variáveis novas D para os terminais d nesses
  corpos, substituir e D ? d
• Partir corpos de comprimento 3 ou mais em
  cascatas de produções só com 2 variáveis A ?
  B1B2Bk para A?B1C1, C1?B2C2,

31
Gramática das expressões

• Variáveis para os terminais em corpos não
  isolados
• A ? a B ? b Z ? 0 O ? 1
• P ? M ? L ? ( R ? )
• E ? EPT TMF LER a b IA IB IZ IO
• T ? TMF LER a b IA IB IZ IO
• F ? LER a b IA IB IZ IO
• I ? a b IA IB IZ IO
• Substituir corpos compridos
• E ? EC1 TC2 LC3 a b IA IB IZ IO
• T ? TC2 LC3 a b IA IB IZ IO
• F ? LC3 a b IA IB IZ IO
• C1 ? PT C2 ? MF C3 ? ER

32
Lema da bombagem para CFL

• Dimensão de uma árvore de análise
• Considerar apenas o caso das CNF árvores
  binárias em que as folhas são terminais sem
  irmãos (produções A?a)
• Numa gramática com árvore de análise CNF e
  colheita w terminal, se o comprimento do maior
  caminho for n então w ? 2n-1
• Seja L uma CFL. Existe uma constante n tal que,
  para qualquer cadeia z em L com z?n se pode
  escrever zuvwxy
• vwx ? n a parte do meio não é demasiado
  comprida
• vx ? ? pelo menos uma é não vazia
• Para todo i ? 0, uviwxiy ? L bombagem dupla, a
  começar em 0

33
Prova

• Obter uma gramática CNF G para L
• G contém m variáveis. Escolher n2m. Cadeia z em
  L z ? n.
• Qualquer árvore de análise com caminho mais longo
  de comprimento até m tem colheita até 2m-1n/2.
• z seria demasiado longa árvore para z tem
  caminho m1 ou maior
• Na figura, o caminho A0Aka é de comprimento k1,
  k?m
• Há pelo menos m1 variáveis no caminho logo há
  pelo menos uma repetição de variáveis (de Ak-m a
  Ak).
• Supõe-se AiAj com k-m ? i lt j ? k

34
Continuação da prova

• Se cadeia z suficientemente longa, tem que haver
  repetições de símbolos
• Divide-se a árvore
• w é a colheita da subárvore de Aj
• v e x são tais que vwx é a colheita de Ai (como
  não há produções unitárias pelo menos um de v e x
  é não nulo)
• u e y são as partes de z à esquerda e à direita
  de vwx

A0
AiAj
Aj
Ak
a
u v w x y
z
35
Continuação da prova
S

• Como AiAj, pode-se
• substituir a subárvore de Ai pela de Aj, obtendo
  o caso i0, uwy.
• substituir a subárvore de Aj pela de Ai, obtendo
  o caso i2, uv2wx2y e repetir para i3,
  (bombagem)
• vwx?n porque se pegou num Ai próximo do fundo
  da árvore, k-i?m, caminho mais longo de Ai até
  m1, colheita até 2mn

A
A
u v w x y
S
S
A
A
w
A
u
y
u v x y
A
v w x
36
Lema da bombagem
LR (DFA)
CFL (CFG)

• no caso das LR o lema da bombagem decorre de o
  número de estados de um DFA ser finito
• para aceitar uma cadeia suficientemente comprida
  tem que haver repetições de estados
• No caso das CFL decorre de o número de símbolos
  numa CFG ser finito
• para aceitar uma cadeia suficientemente comprida
  tem que haver repetições (duplas) de símbolos

37
Provar que uma linguagem não é CFL

• Seja L 0k1k2k k ? 1. Mostre que não é CFL.
• Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n
  indicada pelo lema da bombagem tome-se z
  0n1n2n que faz parte de L
• Fazendo zuvwxy, sujeito a vwx ? n e v, x não
  ambos nulos, temos que vwx não pode conter
  simultaneamente 0s e 2s
• Caso vwx não contém 2s então vx tem só 0s e
  1s e tem pelo menos um símbolo. Então, pelo lema
  da bombagem, uwy também deveria pertencer à
  linguagem. Mas tem n 2s e menos do que n 0s ou
  1s e portanto não pertence à linguagem.
• Caso vwx não contém 0s argumento semelhante.
• Obtém-se contradição em ambos os casos portanto
  a hipótese é falsa e L não é uma CFL

38
Problemas na prova

• Seja L 0k1k k ? 1. Mostre que não é CFL.
• Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n
  indicada pelo lema da bombagem tome-se z 0n1n
  que faz parte de L
• Fazendo zuvwxy, sujeito a vwx ? n e v, x não
  ambos nulos, pode acontecer de escolher v 0k e
  x1k
• Neste caso uviwxiy pertence sempre a L.
• Não se obtém a contradição pretendida
• Não se consegue provar que L não é CFL
• De facto é uma CFL

39
Substituição

• Seja ? um alfabeto para cada um dos seus
  símbolos a define-se uma função (substituição)
  que associa uma linguagem La ao símbolo
• Cadeias se w a1an então s(w) é a linguagem de
  todas as cadeias x1xn tais que xi está em s(ai)
• Linguagens s(L) é a união de todos as s(w) tais
  que w ? L
• Exemplo
• ?0,1, s(0)anbn n?1, s(1)aa,bb
• Se w01, s(w) s(0)s(1) anbnaa n?1 ?
  anbn2 n?1
• Se LL(0), s(L) (s(0)) an1bn1ankbnk, para
  n1, , nk qq
• Teorema seja L uma CFL e s() uma substituição
  que associa a cada símbolo uma CFL então s(L) é
  uma CFL.

40
Aplicação do teorema da substituição

• As CFL são fechadas para
• União
• Concatenação
• Fecho () e fecho positivo ()
• Homomorfismo
• Reverso
• Intersecção com uma LR
• Intersecção com uma CFL não é garantida
• Homomorfismo inverso

41
CFL e intersecção

• Seja L1 0n1n2i n?1, i?1 e L2 0i1n2n
  n?1, i?1
• L1 e L2 são CFL
• S ? AB S ? AB
• A ? 0A1 01 A ? 0A 0
• B ? 2B 2 B ? 1B2 12
• L1 ? L2 0n1n2n n?1
• Já está provado que não é CFL
• Logo as CFL não são fechadas para a intersecção

42
Complexidade das conversões

• Conversões lineares no comprimento da
  representação
• CFG para PDA
• PDA de estado final para PDA de pilha vazia
• PDA de pilha vazia para PDA de estado final
• Conversão O(n3)
• PDA para CFG (tamanho da CFG também O(n3))
• Conversão O(n2)
• CFG para CNF (tamanho da CNF também O(n2))

43
Propriedades de decisão das CFL

• Teste de linguagem vazia
• Verificar se S é gerador
• Com estrutura de dados adequada, O(n)
• Teste de pertença numa CFL
• O(n3), usando programação dinâmica, preenchimento
  de tabela

S ? AB BC A ? BA a B ? CC b C ? AB
a wbaaba
X15
X14 X25
X13 X24 X35
X12 X23 X34 X45
X11 X22 X33 X44 X55
a1 a2 a3 a4 a5
S,A,C
S,A,C
B B
S,A B S,C S,A
B A,C A,C B A,C
b a a b a
X12 X11X22 X24 X22X34?X23X44
44
Problemas não decidíveis

• Não há algoritmo para responder a estas perguntas
• Uma dada CFG é ambígua?
• Uma dada CFL é inerentemente ambígua?
• A intersecção de duas CFL é vazia?
• Duas CFL dadas são a mesma linguagem?
• Uma CFL é o universo ?, em que ? é o seu
  alfabeto?