Les projections de la terre

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Les projections de la terre
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Présentation
La terre
La projection
La carte
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Sommaire
I La surface de la terre.
II Approche géométrique des projections.
III Approche pseudo-géométrique des projections.
IV Les distorsions.
V Approche qualitative des projections.
VI Les projections en usage en France.
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I. La surface de la terreI.1. Le repérage à la
surface de la terre.

• Chaque point de la surface terrestre est
  repérable par sa longitude et par sa latitude.

Pôle Nord
Méridien de Greenwich
Latitude j du point M
Longitude l du point M
Equateur
Pôle Sud
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I. La surface de la terreI.1. Le repérage à la
surface de la terre.

• Les points de même latitude constituent un
  parallèle.
• Le parallèle choisi pour origine est celui de
  léquateur. Sa latitude est 0.
• Le Pôle Nord a pour latitude 90 N, le Pôle Sud a
  pour latitude 90 S.
• Les tropiques sont les parallèles de latitudes
  2326? N (Cancer) et 2326? S (Capricorne). Ils
  délimitent les régions du globe pour lesquelles
  le soleil peut passer au zénith. En effet 2326?
  est langle dinclinaison du plan de léquateur
  sur le plan de lécliptique, cest à dire sur le
  plan de la trajectoire de la terre autour du
  soleil.
• La latitude de Carcassonne est 43 13? N.
• Le mille marin (1 852 m environ) est la longueur
  dun arc de méridien intercepté par un angle
  dune minute.

1.2. Le repérage à la surface de la terre.
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I. La surface de la terreI.1. Le repérage à la
surface de la terre.

• Les points de même longitude constituent un
  méridien.
• Le méridien origine est celui de Greenwich,
  faubourg de Londres choisi pour son observatoire.
• La longitude de Carcassonne est celle de Paris
  2 20? E.

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I. La surface de la terreI.2. Les lignes à la
surface de la terre.I.2.1. Les lignes
loxodromiques, les lignes orthodromiques.
Considérons 2 points N et P (N ? P) sur la
terre. Le chemin loxodromique de N à P est celui
qui est parcouru en maintenant le cap, cest à
dire en coupant les méridiens sous un angle
constant. Il nest le plus court que si N et P
sont tous deux sur léquateur ou sur un même
méridien. Les chemins loxodromiques sont encore
appelés lignes de rhumb. Le chemin orthodromique
de N à P est celui qui est parcouru en suivant un
arc de grand cercle. Cest lui la ligne
géodésique de N à P, c'est-à-dire le plus court
chemin de N à P.
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I. La surface de la terreI.2. Les lignes à la
surface de la terre.I.2.2. les distances sur les
lignes orthodromiques.
Equateur
On désigne par r le rayon terrestre. La distance
AB sur une ligne géodésique est  r cos-1 (cos ?
cos ? cos ? sin ? sin ?). (Pour le vérifier,
calculer le produit scalaire
.)
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I. La surface de la terreI.2. Les lignes à la
surface de la terre.I.2.2. les distances sur les
lignes orthodromiques.
Exemple la distance de Paris à Moscou.
a 49 0,8552 rad
Ville Latitude Longitude
Paris 49 N 2 E
Moscou 56 N 38 E
b 56 0,9774 rad
g 36 0,6283 rad
cos ? cos ? cos ? sin ? sin ? 0,9225
cos-1 (0,9225) 0,3963
r 40 000 / 2p 6 366 Km
 r cos-1 (cos ? cos ? cos ? sin ? sin ?)
Distance de Paris à Moscou 6 366 x 0,3963
2523 Km
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II. Approche géométrique des projections.

• Projections planes ou azimutales
• Projections cylindriques
• Projections coniques

• Projections orthographiques
• Projections gnomoniques
• Projections stéréographiques

• Projections tangentes
• Projections sécantes

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II. Approche géométrique.Projections planes ou
azimutales.
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II. Approche géométrique.Projections
cylindriques.
13
II. Approche géométrique.Projections
cylindriques.
14
II. Approche géométrique.Projections coniques.
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II. Approche géométrique.

• Orthographique perpendiculairement à la surface
  de projection.
• Gnomonique depuis le centre de la terre.
• Stéréographique depuis lantipode du point
  terrestre de référence.

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II. Approche géométrique.Projections planes
orthographiques.
Ces projections représentent la terre comme on la
verrait depuis lespace.
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II. Approche géométrique.Projections planes
gnomoniques.
Les lignes droites correspondent aux lignes
géodésiques.
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II. Approche géométrique.Projections planes
stéréographiques.
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II. Approche géométrique.Projections
cylindriques orthographiques.
(?0 30)
(?0 47)
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II. Approche géométrique.Projections
cylindriques gnomoniques.
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II. Approche géométrique.Projections
cylindriques stéréographiques.
Projection de James Gall (Ecosse 1855). ?0 45.
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II. Approche géométrique.Projections coniques
orthographiques.
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II. Approche géométrique.Projections coniques
gnomoniques.
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II. Approche géométrique.Projections coniques
stéréographiques.
Projection de Braun.
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III. Approche pseudo-géométrique.

• Projections planes (autour du Pôle Nord)
• Projections cylindriques (autour de léquateur)
• Projections coniques(autour du Pôle Nord)

Il y bien dautres projections
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III. Approche pseudo-géométrique.III.1.
Projections planes.
P a pour coordonnées x r sin l et y - r cos
l avec
r fonction décroissante de la latitude j.
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III. Approche pseudo-géométrique.III.2.
Projections cylindriques.
P a pour abscisse x ? cos ? Lordonnée y de P
est une fonction croissante de ? nulle en 0.
0
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III. Approche pseudo-géométrique.III.3.
Projections coniques.
P a pour coordonnées x r sin (sl) et y - r
cos (sl) avecs sin g ( demi-angle douverture
du cône)et r fonction décroissante de la
latitude j.
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III. Approche pseudo-géométrique.III.4. Autres
Projections.
Il existe des projections qui ne sont ni planes,
ni cylindriques, ni coniques.
La projection de Robinson est basée sur des
tables de coordonnées, pas sur des formules
mathématiques.
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IV. Les distorsions.

• Il est impossible de représenter fidèlement une
  surface sphérique sur une surface plane. Une
  projection produit inévitablement des
  distorsions.
• Les indicatrices de Tissot sont les images sur la
  carte de petits cercles sur la terre. Elles sont
  en forme dellipses. Elles permettent dévaluer
  les distorsions.

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IV. Les distorsions.IV.1. Les indicatrices de
Tissot.
Projections azimutales
orthographique
gnomonique
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IV. Les distorsions.IV.1. Les indicatrices de
Tissot.
Projection cylindrique orthographique tangente
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IV. Les distorsions.IV.2. De la terre à la carte.
Dans les projections planes, cylindriques ou
coniques, les méridiens et les parallèles se
coupent perpendiculairement. (Ce nest pas le cas
dans toutes les projections.) On peut donc
envisager la schématisation suivante.
On ignore le facteur déchelle.
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IV. Les distorsions.IV.2. De la terre à la carte.

• Sur la terre MM1 ??.cos ? et MM2 ??
• Pour une projection plane PP1 r.?? et PP2
  r?.??
• Pour une projection cylindrique PP1 ??.cos
  ?0 et PP2 y?.??((Cylindre sécant selon les
  parallèles de latitudes ? ?0)
• Pour une projection conique PP1 s.r.?? et
  PP2 r?.??(s  sinus du demi-angle
  douverture du cône)

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V. Approche qualitative.V.1. Un peu de
vocabulaire.

• Les projections équidistantes conservent les
  distances sur les méridiens.
• Les projections équivalentes conservent les
  aires.
• Les projections conformes conservent les formes,
  cest à dire les angles.
• Les autres projections sont dites aphylactiques.
  Exemple la projection de Robinson.
• Un parallèle automécoïque est un parallèle sur
  lequel il ny a aucune distorsion.

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V. Approche qualitative.V.2. Les projections
équidistantes.
Elles conservent les distances sur les méridiens.
Projection azimutale équidistante autour du Pôle
Sud.
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V. Approche qualitative.V.2.1 Les projections
équidistantes planes.
Ici a p/2
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V. Approche qualitative.V.2.2. Les projections
équidistantes cylindriques.
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V. Approche qualitative.V.2.3. Les projections
équidistantes coniques.
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V. Approche qualitative.V.3. Les projections
équivalentes.
Elles conservent les aires.
Projection (équivalente) homolographique de
Babinet (ou de Mollweide).
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V. Approche qualitative.V.3.1 Les projections
équivalentes planes.
Ici a 2
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V. Approche qualitative.V.3.1 Les projections
équivalentes planes.
Voici la projection plane équivalente de Lambert
centrée sur le point de latitude et de longitude
nulles. Comme toute projection plane, elle ne
représente que la moitié de la terre. Pour
obtenir toute la terre, on lui applique la
transformation de Aïtoff.
La transformation de Aïtoff consiste à diviser
les longitudes par 2 et, en compensation, à
multiplier les abscisses par 2. Cette
transformation naffecte pas léquivalence.
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V. Approche qualitative.V.3.1 Les projections
équivalentes planes.
On obtient la projection de Hammer-Aïtoff.Elle
est équivalente. Elle nest plus une projection
plane.
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V. Approche qualitative.V.3.2 Les projections
équivalentes cylindriques.
Ici j0 0. Il sagit de la projection
cylindrique orthographique.
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V. Approche qualitative.V.3.3 Les projections
équivalentes coniques.
Projection conique équivalente dAlbers.
Parallèle automécoïque 15 Nord.
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V. Approche qualitative.V.4. Les projections
conformes.
Elles conservent les formes, cest-à-dire les
angles.
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V. Approche qualitative.V.4.1 Les projections
conformes planes.
Projection azimutale stéréographique (a 2)
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V. Approche qualitative.V.4.2 Les projections
conformes cylindriques.
Projection de Mercator. Les lignes droites
correspondent aux lignes de rhumb.
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V. Approche qualitative.V.4.2 Les projections
conformes cylindriques.
Dans la projection  Universal Transverse
Mercator  (UTM), la terre est partagée en zones
UTM damplitudes 6 en longitude et 8 en
latitude, depuis la latitude 80 sud jusquà la
latitude 84 nord. Chaque zone est repérée par un
nombre pour la longitude et par une lettre pour
la latitude. La carte de chaque bande nord-sud
(repérée par un nombre) est obtenue par la
projection transverse de Mercator sappuyant sur
le méridien central.
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V. Approche qualitative.V.4.2 Les projections
conformes cylindriques.
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V. Approche qualitative.V.4.3 Les projections
conformes coniques.
Projection conique conforme de Lambert.
Parallèles automécoïques 30 et 60.
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VI. Les projections en usage en France.

• 1. Jusquen 1920 la projection de Bonne.
• 2. Ensuite les projections coniques conformes
  de Lambert.
• 3. Au-delà des projections les systèmes
  géodésiques.

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VI. Les projections en usage en France.VI.1. La
projection de Bonne.
Charles Marie Rigobert Bonne (Ardennes 1727-1795)
a repris et amélioré une projection
cartographique élaborée en 1511 par Bernardus
Sylvanus (Venise). La projection de Bonne a été
choisie pour servir de support à la  carte
détat-major  du Dépôt de la Guerre, puis du
Service Géographique de lArmée (SGA, précurseur
de lIGN). Léchelle de la carte était le 80
000ème. Cette carte a été remplacée
progressivement à partir des années 1920 par la
carte de base moderne en projection conique
conforme de Lambert, projection exposée plus loin.
54
VI. Les projections en usage en France.VI.1. La
projection de Bonne.
Projection de Bonne
Planisphère de Bernardus Sylvanus
55
VI. Les projections en usage en France.VI.1. La
projection de Bonne.
La projection de Bonne est équivalente.Elle
conserve les distances sur tout parallèle.Elle
possède un unique parallèle automécoïque.
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VI. Les projections en usage en France.VI.2. Les
projections Lambert France.
Les projections Lambert France sont coniques
conformes.La terre nest pas considérée comme
sphérique mais comme ellipsoïdale.La France est
découpée en 4 zones du nord au sud.
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VI. Les projections en usage en France.VI.2. Les
projections Lambert France.
On choisit sur la terre un point origine M0(?0,
?0). On choisit sa longitude ?0 comme origine des
longitudes. On adopte le repérage décrit
ci-dessous.
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VI. Les projections en usage en France.VI.2. Les
projections Lambert France.
Lellipsoïde retenu est celui de Clarke (1880)
pour lequel a 6 378 249,2 m et b 6 356 515
m.Le méridien choisi pour origine est le
méridien de Paris de longitude?0 2,33 722 917.
Projection j 0 (en grades) µ E N
Lambert I (Nord) 55 grades 0,999 877 34 600 000 m 200 000 m
Lambert II (Centre) 52 grades 0,999 877 42 600 000 m 200 000 m
Lambert III (Sud) 49 grades 0,999 877 50 600 000 m 200 000 m
Lambert IV (Corse) 46,85 grades 0,999 944 71 234,358 m 185 861,369 m
Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert
Lambert I carto 55 grades 0,999 877 34 600 000 m 1 200 000 m
Lambert II carto Lambert II étendu 52 grades 0,999 877 42 600 000 m 2 200 000 m
Lambert III carto 49 grades 0,999 877 50 600 000 m 3 200 000 m
Lambert IV carto 46,85 grades 0,999 944 71 234,358 m 4 185 861,369 m
µ est le coefficient réducteur des distances sur
le parallèle de latitude j0.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.
Le géoïde est la surface normale, en tout point
de la Terre, à la verticale du lieu et coïncidant
avec le niveau moyen des mers, abstraction faite
des marées. Le géoïde correspond
conventionnellement à laltitude 0. Le triplet
des coordonnées géodésiques dun point terrestre
M est  (X, Y, Z). Il est théoriquement
intrinsèque. Mais en pratique le repère terrestre
est déduit dobservations et de calculs. Il y a
donc un choix conventionnel à opérer.Le triplet
des coordonnées géographiques de M est (?, ?, h)
avec ? longitude, ? latitude et h hauteur
ellipsoïdale. Il dépend du choix de lellipsoïde.
Le couple (x, y) des coordonnées planes de M est
celui du point qui représente M sur une carte. Il
dépend de la projection choisie.Un système
géodésique est l'ensemble des constantes et
algorithmes permettant destimer les coordonnées
cartésiennes, géographiques et planes dans une
région terrestre donnée. Il suppose en
particulier la définition dun repère terrestre,
dun ellipsoïde et dune projection.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.VI.3.1. La Nouvelle
Triangulation de la France (NTF).
La Nouvelle Triangulation de la France est le
système géodésique en usage en France depuis la
fin du 19ème siècle. Elle est plus connue sous le
nom de  Système Lambert  parce quelle est
associée à des projections de Lambert. Elle est
encore utilisée mais elle tend à être remplacée.
Elle est matérialisée par 80 000 sites
géodésiques régulièrement répartis sur le
territoire national. La précision relative
moyenne est de lordre de 105 (quelques
centimètres entre deux points voisins). Lellipsoï
de est celui de Clarke. Les projections sont
celles de Lambert I, II, III, IV, Etendu.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.VI.3.2. Le Réseau
Géodésique Français (RGF93).
La nécessité dintégrer les technologies de
positionnement par satellite et dassurer une
compatibilité avec les références européennes et
même mondiales conduit au passage de la NTF au
RGF93. Le RGF93 correspond à la réalisation
française du système européen ETRS89 (European
Terrestrial Reference System 1989), lui-même
compatible avec les systèmes mondiaux WGS84
(World Géodetic System) et ITRS (International
Terrestrial Reference System).
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.VI.3.2. Le Réseau
Géodésique Français (RGF93).
Le RGF93 est matérialisé par trois réseaux  - Le
RRF, ou Réseau de Référence Français est défini
par les coordonnées de 23 sites qui constituent
la partie française du réseau européen EUREF. Ces
coordonnées RGF93 ont été déterminées avec les
méthodes de positionnement satellitaire GPS les
plus précises, et la précision relative entre
deux sites du RRF est centimétrique, soit mieux
que 10-7. Elles sont publiées depuis 1995. - Le
RBF, ou Réseau de Base Français est constitué de
1 009 sites déterminés par technique GPS
(précision 10-6) observés en 1994, 1995 et
1996. - Le RDF, ou Réseau de Détail Français est
constitué en particulier de points de la NTF et
de canevas géodésiques appuyés sur le
RBF.  Lellipsoïde est lellipsoïde GRS 1980. La
projection est celle de Lambert 93.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.VI.3.2. Le Réseau
Géodésique Français (RGF93).
La projection Lambert 93. Elle est conique
conforme.
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VI. Les projections en usage en France.VI.3. Les
systèmes géodésiques.VI.3.2. Le Réseau
Géodésique Français (RGF93).
Projection Lambert 93
Ellipsoïde Ellipsoïde GRS 1980a 6 378 137,0 mb 6 356 752,314 m
Longitude du point origine ?0 3
Latitude du point origine ?0 4630?
Latitudes des parallèles automécoïques ?1 44 et ?2 49
Constante E 700 000 m
Constante N 6 600 000 m
Il existe des algorithmes et des tables pour les
conversions entre coordonnées NTF et coordonnées
RGF93. Le logiciel Circé 2000, conçu et diffusé
gratuitement par lIGN, opère ces conversions.