GEOGF211 Principes de cartographie topographique et projections

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GEOG-F-211Principes de cartographie
topographique et projections
Dimitri Leemans
BA2 et BA3 en Géographie Licence en Géographie
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III. Définition et classification des systèmes de
représentation plane de lellipsoïde

• Définition précise de projection
• Les altérations
• Classification des systèmes de projection

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III.1. Définition précise de projection

• Le terme de projection cartographique ,
  fréquemment utilisé est malheureux il fait
  penser à des systèmes de projections perspectives
  alors quil ne sagit généralement pas de
  projections au sens géométrique du terme.
• Il sagit plutôt dune loi de correspondance
  bi-univoque, définie analytiquement, entre les
  coordonnées géographiques et un système de
  coordonnées rectangulaires.

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III.1. Définition précise de projection

• gt Dans le champ de la projection, à chaque
  couple de valeurs (f,l) correspond un et un seul
  couple (x,y) et réciproquement.
• Le terme plus approprié est système de
  représentation plane de lellipsoïde mais il
  est un peu long, doù lutilisation du terme
  projection .

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III.2. Les altérations
a) Surface développable Une surface est dite
développable sil est possible de lappliquer sur
un plan sans la moindre altération. Par ex.
cône de révolution, cylindre de révolution. Ni
lellipsoïde ni la sphère ne sont développables.
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C. F. Gauss 1777-1855 Peinture à lhuile de Carl
Friedrich Gauss, par C.A. Jensen (1792-1870)
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III.2. Les altérations
Gauss et son Theorema Egregium Donc la
formule de larticle précédent mène delle-même
au Théorème Remarquable si une surface courbée
est développée sur nimporte quelle autre
surface, la mesure de la courbure en chaque point
reste inchangée.
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III.2. Les altérations
b) Conséquence les altérations Il ny a donc
pas de représentation plane sans altération. De
plus, les altérations croissent avec létendue de
la portion de la Terre que lon veut
représenter. Les altérations touchent les angles,
les distances élémentaires et les superficies
élémentaires.
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III.2. Les altérations
c) Systèmes de projections dans lesquels une de
ces trois altérations est annulée Il existe des
systèmes de projection dans lesquels un de ces
trois éléments ne subit, en aucun point, la
moindre altération.
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III.2. Les altérations
Projections conformes conservant les
angles Projections équivalentes conservant les
superficies Projections équidistantes
conservant les distances suivant certaines lignes
privilégiées (par ex. un méridien ou un parallèle
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III.2. Les altérations
Remarque sur les projections équidistantes il
se peut quen tout point de la (ou des) lignes
privilégiées, les distances élémentaires ne
subissent daltération dans aucune direction,
mais il peut également se faire que les distances
élémentaires ne soient représentées sans
altération que dans la seule direction
privilégiée.
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III.2. Les altérations

• Remarques
• Il nexiste pas de système de projection
  simultanément conforme et équivalent (dû au fait
  que ni la sphère ni lellipsoïde ne sont
  développables).
• Il nexiste pas de système de projection
  équidistant en tout point, chaque fois dans
  toutes les directions (i.e. dans lequel léchelle
  de la projection reste constante)

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III.2. Les altérations
d) léchelle de la projection (facteur k) On
définit léchelle de la projection par le rapport
k dl/dL dL distance infiniment petite sur
lellipsoïde dl la représentation plane de
dL Cette échelle varie suivant le point où lon
se place elle peut même, en un point donné,
varier suivant la direction envisagée.
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III.2. Les altérations
e) léchelle de superficie Léchelle de
superficie est linverse du rapport dune
superficie élémentaire dS sur lellipsoïde à
celle de sa représentation plane ds.
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III.2. Les altérations
f) Le centre de projection On entend par centre
de projection un point ou une ligne ou même un
système de deux lignes qui joue un rôle
important dans la définition du système de
projection.
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III.2. Les altérations
g) laltération linéaire On appelle altération
linéaire la quantité x est fonction de
léloignement au centre de projection.
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III.2. Les altérations
Exemple dans la projection conique conforme de
Lambert Au centre de projection x 10cm/km A
200km du centre de projection x 50cm/km gt
Notion de champ de projection
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III.2. Les altérations
h) Champ de la projection Cest létendue dans
laquelle le système choisi présente des
altérations inférieures à certaines limites quon
se fixe à priori en fonction de la précision
souhaitée. gt lobjectif du cartographe est de
choisir un système tel que le champ coïncide au
mieux avec la forme et les dimensions de la
région à représenter.
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III.2. Les altérations
i) Réduction préalable déchelle Possibilité
damplifier le champ de la projection sans quen
souffrent les tolérances admises sur les
altérations linéaires grâce à un artifice de
calcul la réduction préalable déchelle.
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III.2. Les altérations
Soit x laltération linéaire maximale pour les
points les plus éloignés de la ligne daltération
nulle. Pour ces points situés en bordure du
champ de la représentation, léchelle a donc
pour valeur 1 x.
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III.2. Les altérations
échelle altération échelle altération avan
t réduction après réduction On multiplie
léchelle par 1-x/2 (coefficient de
réduction). Nouvelle échelle en bordure de champ
(1x)(1-x/2)1x/2
1x
x
1x/2
x/2
0
1
1
0
1-x/2
-x/2
1x
1
0
x
1x/2
x/2
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III.2. Les altérations
échelle altération échelle altération avan
t réduction après réduction Laltération
devient x/2 gt Pas de modification de lamplitude
de laltération linéaire mais sa valeur absolue
maximale est diminuée de moitié.
1x
x
1x/2
x/2
0
1
1
0
1-x/2
-x/2
1x
1
0
x
1x/2
x/2
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III.2. Les altérations
Cette procédure mathématique aboutit ainsi à
définir artificiellement deux parallèles à
altération nulle. NB Dans la projection conique
conforme de Lambert (IGN), on a utilisé le même
artifice mais dune autre manière on sest fixé
à priori deux parallèles daltération linéaire
nulle.
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III.2. Les altérations
j) Définition de la ligne géodésique, du triangle
géodésique et de lexcès sphérique Référence
R. Testard, Notions de géodésie , Eyrolles
1973.
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III.2. Les altérations

• Sections normales directe et inverse
• Considérons un théodolite placé en un point A et
  visant un point B.
• Le plan de visée est défini par la verticale de A
  et le point B.
• Supposons la verticale et la normale à
  lellipsoïde confondues.
• Lintersection du plan de visée et de
  lellipsoïde est alors une section normale
  appelée section normale directe.

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III.2. Les altérations
Envisageons maintenant la visée réciproque
théodolite en B visant A. Le nouveau plan de
visée est défini par la normale en B et le point
A. Son intersection avec lellipsoïde est encore
une section normale, appelée section normale
inverse. Les deux sections normales sont
distinctes sauf si A et B sont sur le même
méridien ou le même parallèle.
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III.2. Les altérations
Nous avons donc généralement deux lignes sur
lellipsoïde pour définir la direction de la
visée AB suivant le sens choisi.
N
P
N
A
B
E
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III.2. Les altérations

• Ligne géodésique
• Pour remédier à cette ambiguïté sur la définition
  de la direction AB, on fait le choix dune
  nouvelle ligne, la ligne géodésique joignant A et
  B.
• Cette ligne a une définition précise en
  mathématiques cest le plus petit arc de grand
  cercle menant de A à B.

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III.2. Les altérations
On peut démontrer quune ligne géodésique de
lellipsoïde de révolution se trouve entre les
sections normales directes et inverses. Il
convient donc dapporter une correction à la
direction observée pour ramener à la direction de
la géodésique. Cette correction est négligée en
géodésie classique mais elle peut devenir
significative dans le cas de visées très longues
(rattachements dîles, etc.)
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III.2. Les altérations

• Triangle géodésique
• Un triangle géodésique est un triangle défini sur
  lellipsoïde par trois points A, B et C et limité
  par trois lignes géodésiques.

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III.2. Les altérations

• Excès sphérique Théorème de Legendre
• Soit un triangle sphérique ABC sur une sphère. On
  démontre en géométrie sphérique que la somme des
  angles de ce triangle est supérieure à 180.
• x est appelé excès sphérique du triangle.

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III.2. Les altérations
Où T est la surface du triangle et R est le
rayon de la sphère. Ainsi, pour T64km2 et
R6400km on obtient
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III.2. Les altérations

• Le triangle moyen de 3ème ordre (longueur des
  côtés de 12km environ) a un excès sphérique de
  lordre du décimilligrade.
• Compte tenu de lordre de grandeur de lexcès
  sphérique, on peut pour ce calcul assimiler le
  triangle tracé sur lellipsoïde à un triangle
  sphérique et prendre pour valeur du rayon de la
  sphère R6370km.

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III.2. Les altérations

• Dans le cas de triangles de grande surface, il
  est préférable dadopter la valeur R2Nr, N et r
  étant calculés en un point choisi vers le centre
  du triangle.
• On calcule la surface T à laide de la formule de
  trigonométrie plane

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A.-M. Legendre 1752-1833
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III.2. Les altérations

• Théorème concernant les triangles sphériques,
  dont les côtés sont très-petits par rapport au
  rayon de la sphère Si la somme des trois angles
  d'un triangle sphérique infiniment petit, est
  supposée 180?, et que de chaque angle on
  retranche ??, afin que la somme des angles
  restans soit précisément de 180, les sinus de
  ces angles seront entr'eux comme les côtés
  opposés  de sorte que le triangle, avec les
  angles ainsi diminués, pourra être considéré et
  résolu comme s'il était parfaitement rectiligne. 
  

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III.2. Les altérations
k) Observation relative à lutilisation des
systèmes de projections équivalents Il nexiste
quune seule altération qui peut sannuler sans
la moindre réserve celle des superficies
élémentaires. Dans un système de projection
cartographique équivalente, une superficie
quelconque ne subit aucune altération quelle
quen soit létendue.
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III.2. Les altérations

• l) Les trois échelles
• Échelle de la projection (k)
• Échelle de la carte par ex. 110.000
• Échelle locale par ex. 19.090

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III.2. Les altérations
Considérons un arc de méridien de 10m sur
lellipsoïde qui devient après application des
lois de la projection 11m dans le plan léchelle
de la projection, par définition égale à dl/dL,
vaut 1.1. Il sagit en fait dun rapport en
grandeur réelle.
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III.2. Les altérations
kgt1
dl
dL
k1
klt1
dL
dl
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III.2. Les altérations
Léchelle de la carte de 110.000 signifie par
contre quon réduit 10.000 fois le cône où la
surface développable (linéairement). La question
qui se pose alors est quelle est léchelle
locale après cette réduction globale ?
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III.2. Les altérations

• Une réponse intuitive et logique est la suivante
• Les 11m de la réalité conique sont devenus 1,1mm
  après réduction
• 1,1mm sur la carte représente donc les 10m du
  terrain
• 1mm sur la carte représente donc pratiquement
  près de 9m léchelle locale est donc
  approximativement de 19.000

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III.2. Les altérations
La réponse rigoureuse est dans la multiplication
du facteur k, échelle de la projection par
léchelle de la carte
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III.3. Classification des systèmes de projection

• a) Classification daprès les altérations
• Suivant la nature des altérations annulées, on
  distingue
• Des systèmes conformes
• Des systèmes équivalents
• Des systèmes aphylactiques, i.e. ni conformes ni
  équivalents, mais dans lesquels toutes les
  altérations sont réduites au minimum.
• Des systèmes équidistants léquidistance ne
  concerne quune ligne ou un ensemble de lignes où
  laltération est nulle.

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III.3. Classification des systèmes de projection

• Rappel aucun système ne peut être à la fois
  conforme et équivalent. Quant aux systèmes
  équidistants, ils appartiennent suivant les cas à
  lune des trois premières catégories.

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III.3. Classification des systèmes de projection
b) Classification daprès les propriétés
géométriques générales On classe aussi les
systèmes de projection en fonction de la
construction géométrique qui évoque le mieux le
passage de la sphère au plan.
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III.3. Classification des systèmes de projection
1. Les projections cylindriques Principe général
on considère un cylindre de révolution dont laxe
de rotation se confond avec la ligne des pôles
OP, et qui est tangent à lellipsoïde le long de
léquateur. Tout plan méridien coupe le cylindre
suivant une génératrice.
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III.3. Classification des systèmes de projection
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III.3. Classification des systèmes de projection
Le centre de projection est nécessairement un
point C situé sur léquateur. Les méridiens se
représentent par les lignes droites génératrices
du cylindre, et les parallèles par les
circonférences perpendiculaires à ces
génératrices. On fend ensuite le cylindre suivant
une de ses génératrices et on le développe sur
une surface plane dans laquelle les méridiens
sont représentés par un réseau de droites
parallèles entre elles, et les parallèles par un
réseau de droites également parallèles entre
elles et perpendiculaires aux représentations des
méridiens
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III.3. Classification des systèmes de projection
Désignons par l la différence entre la longitude
dun point arbitraire et celle de C, choisi comme
origine. Tout point K de coordonnées (f,l) se
représente dans la projection par un point k de
coordonnées rectangulaires x Al y
F(f) Dans ces formules, on désigne par A le
demi-grand axe de lellipsoïde. Quant à la
fonction F, on la choisit de telle sorte que le
système de projection satisfasse à des exigences
bien déterminées.
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III.3. Classification des systèmes de projection
Projection de Mercator (conforme)
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(No Transcript)
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III.3. Classification des systèmes de projection
Projection de Peters (équivalente)
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(No Transcript)
55
III.3. Classification des systèmes de projection
Projection de Robinson (pseudo-cylindrique,
aphylactique)
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III.3. Classification des systèmes de projection
En utilisant comme axe de révolution du cylindre,
non pas la ligne des pôles de la Terre, mais
toute autre droite passant par le centre de la
Terre, on définit dautres aspects des
projections cylindriques. Le plus utilisé dentre
eux est la projection cylindrique transverse,
dans lequel laxe de révolution du cylindre joint
le centre de la Terre à un point bien déterminé
situé sur léquateur.
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III.3. Classification des systèmes de projection
Projection Universal Transverse Mercator ou
Gauss-Kruger (conforme)
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III.3. Classification des systèmes de projection
2. Les projections coniques Principe général on
considère comme centre de projection un point
déterminé C(f0,l0) de lellipsoïde. On construit
le cône de révolution dont laxe de rotation se
confond avec la ligne des pôles OP, et qui est
tangent à lellipsoïde le long du parallèle de
latitude f0.
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III.3. Classification des systèmes de projection
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III.3. Classification des systèmes de projection
Chacun des plans méridiens coupe le cône suivant
une génératrice. Sur le cône, les méridiens se
représentent donc par des génératrices le
parallèle de latitude f0 du point C se représente
par un cercle situé à une distance du sommet
T du cône. Les autres parallèles se représentent
aussi par des cercles.
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III.3. Classification des systèmes de projection
On fend ensuite le cône suivant une des ses
génératrices et on le développe sur une surface
plane les parallèles sont représentés par des
circonférences concentriques de centre T ayant
comme rayon r une fonction bien déterminée de la
latitude r F(f) fonction choisie de telle
sorte que le système de projections satisfasse à
des exigences bien spécifiques.
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III.3. Classification des systèmes de projection
En désignant par l la différence de longitude
entre un méridien arbitraire et celui du centre
de projection, considéré comme origine de
longitude, on voit aisément que les méridiens se
représentent par des droites concourantes en t.
La représentation du méridien l forme avec celle
du méridien-origine un angle q tel que q
nl où n désigne un facteur constant.
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(No Transcript)
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III.3. Classification des systèmes de projection

• Généralisation
• Dans certains systèmes de projections coniques,
  on rend léchelle de la projection égale à
  lunité, non pas comme ci-dessus le long dun
  seul parallèle, mais plutôt le long de deux
  parallèles, judicieusement choisis. Tel est le
  cas de la projection conique conforme de Lambert
  telle quelle est mise en uvre en Belgique et en
  France.

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(No Transcript)
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III.3. Classification des systèmes de projection

• Généralisation (bis)
• Une autre généralisation consiste à utiliser
  comme axe de rotation du cône de révolution une
  autre droite que la ligne des pôles. On a alors
  affaire à une projection conique transverse ou
  oblique, suivant que laxe de rotation est situé
  ou non dans le plan de léquateur.

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III.3. Classification des systèmes de projection

• Observation
• En posant dans la formule n0, on détermine le
  cas particulier des projections cylindriques.
• En posant dans la formule n1, on détermine le
  cas particulier des projections azymutales.

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III.3. Classification des systèmes de projection

• Projections polyconiques
• On assimile parfois aussi à des projections
  coniques dautres systèmes dans lesquels les
  parallèles sont représentés par des
  circonférences, mais dans lesquels les méridiens
  ne sont pas représentés par des droites
• Exemples
• projection conique équivalente de Bonne
• projections dans lesquelles chaque parallèle est
  représenté par un cercle de rayon égal.

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Lee, 1944
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III.3. Classification des systèmes de projection
3. Les projections azimutales Principe général
on choisit un plan de projection tangent à
lellipsoïde au pôle Nord P, utilisé comme centre
de projection. Chaque méridien est représenté par
la droite dintersection de son plan avec le plan
de projection chaque parallèle est représenté
par une circonférence de centre P.
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III.3. Classification des systèmes de projection
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III.3. Classification des systèmes de projection
Si K appartient au méridien-origine, et si M
désigne un point arbitraire (f, l), on obtient en
projection angle kpm l pm r F(f) La
fonction est choisie de telle sorte que le
système satisfasse à des exigences bien
déterminées. Cest ainsi quon peut créer un
système conforme (par ex. proj. stéréographique),
ou équivalent ou encore équidistant le long des
méridiens.
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(No Transcript)
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III.3. Classification des systèmes de projection

• Autres aspects
• En choisissant un centre de projection autre que
  lun des pôles terrestres, ou en dautres termes
  en projetant la Terre sur le plan tangent en un
  point arbitraire, on définit dautres aspects
  couramment utilisés des projections azimutales.

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III.3. Classification des systèmes de projection

• Projections perspetives
• Un cas particulier intéressant des projections
  azimutales aphylactiques est celui des
  projections perspectives.
• En prenant le pôle Nord P comme centre de
  projection, on choisit un plan perspectif ou plan
  de projection T perpendiculaire à OP et on prend
  comme point de vue un point C situé sur OP. La
  projection dun point arbitraire A de
  lellipsoïde est lintersection de la droite CA
  avec le plan.
• Ex. projection gnomonique

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(No Transcript)