GEOGF211 Principes de cartographie topographique et projections

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GEOG-F-211Principes de cartographie
topographique et projections
Dimitri Leemans
BA2 et BA3 en Géographie Licence en Géographie
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II. Propriétés générales de lellipsoïde de
révolution
Références R. Marchant, Notions sur la théorie
des projections cartographiques à lusage des
agents cartographes, Institut Géographique
Militaire, 1961 B. Jouret, Géographie
Mathématique cartographie, cours ULB GEOG023
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II. Propriétés générales de lellipsoïde de
révolution

• Définition et notations
• Equations paramétriques de lellipse méridienne
• Courbure de lellipsoïde et sections normales
  principales
• Longueur dun arc de méridien
• Substitution dune sphère à lellipsoïde

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II.1. Définition et notations
a) lellipsoïde de révolution Surface de
référence de la Terre ellipsoïde de
révolution Engendrée par rotation dune ellipse
méridienne autour de la ligne des pôles Centre
centre de la Terre Grand axe dans le plan de
léquateur Petit axe dirigé suivant la ligne des
pôles
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II.1. Définition et notations
P
B
O
équateur
A
E
E
P
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II.1. Définition et notations
b) Notations A demi-grand axe OE B demi-petit
axe OP p aplatissement de lellipse
méridienne p (A-B)/A et donc B A(1-p) e
excentricité de lellipse e2 (A2-B2)/A2 2p-p2
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II.1. Définition et notations
c) Ellipsoïde international de Hayford Référence
pour la cartographie topographique de lIGN et de
lEurope (compensation européenne,
ED50) Dimensions A 6.378.388 mètres p
1/297
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II.1. Définition et notations
Fréquemment, ellipsoïde gt sphère de même
volume Par ex. pour établir des cartes mondiales
ou couvrant une partie importante de la Terre Ou
quand la précision exigée nest pas élevée On
donne le rayon R R (2AB)/3 Une valeur
fréquemment utilisée R 6.371.227 mètres
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
a) En fonction dun paramètre auxiliaire Dem
i-ellipse EPE réduction des coords de ECE dans
le rapport MR/QROP/OCB/A
C
P
Q
rp
M
M
w
f
E
E
R
K
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
Equation paramétrique de la circonférence x
OR A cos w y QR A sin w Equation
paramétrique de lellipse x OR A cos w y
MR QR B/A A sin w B/A B sin w En
éliminant w on retrouve léquation de
lellipse.
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
b) En fonction de la latitude géographique Il
suffit de remplacer dans les formules x A cos
w y B sin w langle par son expression en
fonction de f, le coefficient angulaire de la
normale en M à lellipse
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
Coefficient angulaire de la tangente en
M Coefficient angulaire de la normale MK
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
14
II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
Notation dusage universel on pose avec
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
On obtient alors et
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II.2. Equations paramétriques de lellipse
méridienne
c) Rayon dun parallèle en fonction de la
latitude Le rayon MM sobtient par la première
équation paramétrique
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
N
rp
H
M
B
f
A
I
E
J
K
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales

• En tout pt M, il existe une normale MN
• Section normale toute section par un plan
  contenant MN
• Rayon de courbure variable compris entre deux
  valeurs extrêmes.
• Ce sont les rayons de courbures principaux et les
  sections correspondantes sont les sections
  normales principales (qui sont perpendiculaires).

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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
Lune des sections principales est la section
méridienne, dont le rayon de courbure est noté ?m
Lautre section principale est le plan
perpendiculaire au plan méridien. Son rayon de
courbure est appelé grande normale et est noté N.

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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
a) Courbure en un point arbitraire La courbure
moyenne se détermine par un rayon de courbure Rm
qui est la moyenne proportionnelle entre ?m et N
(on peut remplacer lellipsoïde avec une assez
bonne approximation dans un domaine dont
lextension nest pas trop grande par une sphère
de rayon Rm)
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
b) Calcul de la grande normale (portion de
normale comprise entre la surface et laxe de
révolution)
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
c) Calcul du rayon de courbure rm de la section
méridienne (rm MJ tel que J est situé entre I
et K) ds arc élémentaire de méridien
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
Première équation paramétrique de lellipse
méridienne en fonction de la lattitude
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
Calcul de dy
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
Calcul de dr et de rm
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II.3. Courbure de lellipsoïde sections
normales principales
d) Rayon de courbure moyen en un point
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II.4. Longueur dun arc de méridien
(i.e. arc compris entre deux points de latitude
connue)
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II.4. Longueur dun arc de méridien
Pour calculer lintégrale, il y a lieu de
développer la fonction à intégrer en série de
Taylor.
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II.4. Longueur dun arc de méridien
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II.4. Longueur dun arc de méridien
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II.4. Longueur dun arc de méridien
Dans cette formule très approchée,rm représente
le rayon de courbure méridienne au point de
latitude En exprimant en secondes sexagésimales
la différence de latitude Df f2-f1, on
obtient
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II.5. Substitution dune sphère à lellipsoïde

• La verticale en un point quelconque M passe par
  le centre O de la Terre
• Rayon dun parallèle rp R cosf
• Rayon de courbure N rm R

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II.5. Substitution dune sphère à lellipsoïde

• Longueur dun arc de méridien pour un arc de
  méridien compris entre deux points de latitude f1
  et f2
• Entre léquateur et le point de latitude f on a