Unidade 4

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Unidade 4

• Análise dimensional e semelhança mecânica

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Vamos inicialmente discutir quais as vantagens de
recorrermos a análise dimensional e semelhança.
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(No Transcript)
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• Estuda-se em laboratório a força de resistência
  (força de arraste) que um dado fluido (?1 e µ1)
  exerce no deslocamento de uma esfera (de diâmetro
  D) em seu meio.
• A experiência realizada para o referido estudo é
  representada pela figura do próximo slide

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Variando-se a velocidade v1 , para uma dada
esfera de diâmetro D1 e para um dado fluido (? e
µ1), pode se obter a tabela apresentada a seguir
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Através da tabela anterior, obtém-se a curva
representada a seguir
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• Podemos constatar facilmente que a curva
  representada no slide anterior é uma curva
  particular, mesmo porque apresenta, tanto na
  ordenada como na abscissa, grandezas
  dimensionais.
• Objetivo - Generalizar as informações obtidas em
  laboratório.

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Para que possamos exemplificar o objetivo
mencionado anteriormente, vamos supor que nos
seja dirigida a seguinte questão

• É justamente para satisfazer esta condição que
  recorremos à análise dimensional.
• E para sua introdução deve-se inicialmente
  definir a função que caracteriza o fenômeno

• Qual a força exercida em uma esfera de diâmetro
  D2 quando esta se desloca no mesmo fluido com a
  velocidade v2?
• Condição A resposta da questão deve ser obtida
  sem se recorrer a ensaios.

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Temos as seguintes variáveis que caracterizam o
fenômeno F - força de arraste D - diâmetro da
esfera v - velocidade da esfera ou velocidade do
fluido ? - massa específica do fluido µ -
viscosidade do fluido
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A análise dimensional determina os números
adimensionais (números puros) que definem o
fenômeno estudado. Para o exemplo anterior,
temos
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Pelo fato das duas situações a ensaiada em
laboratório e a é questionada, serem semelhantes,
podemos afirmar que ambas são caracterizadas
pelas mesmas variáveis, o que equivale a dizer
que p1 e p2 definem as duas situações.
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Podemos a partir dos dados obtidos no ensaio,
obter a tabela representada a seguir
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A partir da tabela anterior, podemos obter a
curva universal do fenômeno, que é aquela que
tanto na ordenada como na abscissa, temos números
adimensionais (números universais) o que
equivale a dizer que, valem tanto para o fenômeno
ensaiado em laboratório como para o fenômeno que
é questionado. Pela condição de semelhança,
podemos escrever que
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• Para o fenômeno questionado, temos os seguintes
  dados ?2 ?1 µ2 µ1 D2 e v2, e isto nos
  permite calcular

Pela condição de semelhança é igual a
p2)ensaiado. Sabendo que p2)q p2)e na
abscissa da curva universal, podemos ler, na
ordenada p1)ensaiado, que pela condição de
semelhança e igual a p1)questionado.
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(No Transcript)
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e isto permite calcular a força F2 sem recorrer a
ensaios, já que
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Teorema dos p
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• É o teorema que nos permite determinar os números
  adimensionais a partir da função característica.
• Partindo-se da função característica, f (F, V, ?,
  µ, D) 0, a aplicação do teorema dos p respeita
  a seguinte seqüência

• 1º PASSO
• Determinar o número de grandezas que influenciam
  o fenômeno - n
• n 5
• 2º PASSO
• Escrevemos a equação dimensional de cada uma das
  grandezas.
• F F
• V L x T-1
• ? F x L-4 x T2
• µ F x L-2 x T
• D L

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• 3º PASSO
• Determinamos o número de grandezas fundamentais
  envolvidas no fenômeno - K.
• K 3
• 4º PASSO Determinamos o número de números
  adimensionais que caracterizam o fenômeno - m
• m n - K ? m 2

• 5º PASSO
• Estabelecemos a base dos números adimensionais.
• Definição de base - É um conjunto de K variáveis
  independentes comuns aos adimensionais a serem
  determinados, com exceção dos seus expoentes.
• Variáveis independentes- São aquelas que
  apresentam as suas equações dimensionais
  diferentes entre si de pelo menos uma grandeza
  fundamental.
• Para o exemplo, temos
• F, V, ?, D ou F, V, µ, D como variáveis
  independentes.
• ? e µ como variáveis dependentes.

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• Bases possíveis para o exemplo
• ? V F ? V D F V D µ V F µ V D.
• Para obtermos os adimensionais já estabelecidos
  para os estudos de Mecânica dos Fluidos,
  geralmente adotamos a base ? V D, ou a que mais
  se assemelha a esta.
• Para o exemplo, adotamos a base ? V D.

• 6º PASSO Escrevemos os números adimensionais,
  multiplicando a base adotada por cada uma das
  variáveis que restaram na função característica
  após a sua retirada.
• p1 ?a1 . Va2 . Da3 . F
• p2 ??1 . V?2 . D?3 . µ

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• Para obtermos os expoentes da base, substituímos
  cada uma das variáveis por sua respectiva equação
  dimensional, inclusive o número adimensional.
• Para p1 tem-se

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• Para p2 tem-se

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• Condição de semelhança Completa
• Para que possamos obter as informações do
  protótipo (fenômeno não ensaiado), através das
  informações obtidas no ensaio do modelo, ambos
  devem ser caracterizados pela mesma função
  características, o que equivale a dizer, que
  tanto o protótipo, como o modelo, serão definidos
  pela mesma função equivalente W W (p1 , p2 , p3
  ....)0.

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A condição de semelhança completa estabelece que

• p1m p1p
• p2m p2p
• p3m p3p   . . .
•  
• Escala de Semelhança
• A escala de semelhança de uma propriedade a
  qualquer é sempre definida como sendo a relação
  entre am e ap.

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Exemplo