Economia Financeira Unidade 02 Carlos Arriaga Costa

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Economia FinanceiraUnidade 02Carlos
Arriaga Costa

• Decisão financeira em incerteza

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Unidade teórica 2 Decisão financeira em
incerteza

• . Em que medida a incerteza influencia as
  decisões?
• . Como se formaliza a incerteza?
• . Qual a atitude do investidor face ao risco?
• . Como modelizar a incerteza?
• . Quais os princípios de dominância estocástica?

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CONCEITOS DA INCERTEZA

• A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO
  EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS
  SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS
  ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM
  CERTEZA
• Encontra-se em situação de risco.
• O risco pode ser quantificado. Associa-se ao
  risco uma distribuição de probabilidades.
• Probabilidade objectiva ou subjectiva?

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Activos financeiros e a incerteza
Preço Hoje Cash flow Boa conjuntura Cash flow má conjuntura
Cupão zero unitário v1 1 1
Acção a Cfa 1b Cfa 1m
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Activos financeiros e a incerteza

• V1 1 / (1rf)
• Cfa1 p . Cfa1b (1-p). Cfa1m
• Ra (cfa1-a) / a
• a cfa1 / (1ra)

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO

• As preferências de um indivíduo têm uma
  representação da utilidade esperada se existir
  uma função u tal que um consumo aleatório x é
  preferível a um consumo aleatório y se e só se
• E u(x) E u(y)
• Onde E. é a expectativa de acordo com a
  probabilidade subjectiva de cada indivíduo.

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(2)

• Quais as condições necessárias e suficientes para
  que as preferências de um indivíduo possam ter
  uma representação na utilidade esperada?
• Quais as condições necessárias e suficientes para
  que as preferências de um indivíduo apresentem
  aversão ao risco tendo como pressuposto a
  existência de uma utilidade esperada?

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(3)

• Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern
  (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972)
  diferentes aproximações á representação das
  preferência através de uma função de utilidade
  esperada.
• Uma relação de preferência é uma relação binária
  que é transitiva e completa

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(4)

• Plano de consumo é uma variável aleatória cujas
  propriedades são especificadas em P.
• Podemos interpretar o plano de consumo como uma
  lotaria cujos prémios são definidos em Z. A
  probabilidade de obtenção de um resultado z é
  p(z).

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(5)

• Três axiomas (necessários e suficientes) para
  uma relação binária definida em P ter uma
  representação da utilidade esperada
• Axioma 1 é uma relação de preferência em P
• Axioma 2 (axioma de substituição ou de
  independência)
• Para todo p,q,r P e a 0,1, p gt q implica
  que ap (1-a)r gt aq (1-a)r
• Axioma 3 (axioma de arquimedes) para todo p,q,r
  P, se pgtqgtr então existirá a,b(0,1) tal que
  ap(1-a)rgtqgtbq(1-b)r

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(6)

• Uma das implicações da teoria da utilidade
  esperada é que a função de utilidade de Von
  Neumann-Morgenstern é necessáriamente limitada
  mesmo quando a probabilidade de distribuição do
  consumo envolva níveis de consumo não limitados.
• Aversão ao risco implica que u seja concâva e que
  os planos de consumo das utilidades esperadas,
  tendo expectativas finitas serão finitas mesmo
  quando u é ilimitado.

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE
AVERSÃO AO RISCO(3)

• Conceitos
• - Os modelos de incerteza partem de uma
  situação simples de dois momentos (t0 e t1)
• A incerteza em economia é modelizada pela
  consideração de diversos estados da natureza
  incertos a serem realizados em t1
• Um estado da natureza é a descrição completa de
  uma situação de incerteza a ocorrer entre t0 e
  t1.
• Um plano de consumo é a especificação do número
  de unidades de consumo de um bem em diversos
  estados da natureza
• Relação de preferência do indivíduo face a
  diversos planos de consumo mecanismo que permite
  um indivíduo comparar diferentes planos de
  consumo
• Função de utilidade permite concretizar a relação
  de preferência do indivíduo
• X é preferível a x se
  e só se U(x) U(x) ou
• Em termos de
  utilidade esperada
• 
  Eu(x) Eu(x)

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Formalização do risco

• A decisão do investidor é subjectiva
• Existem linhas de acção a tomar
• O resultado futuro é função dos estados de
  natureza considerados no momento da decisão.
• Os estados da natureza deverão ser mutuamente
  exclusivos e exaustivos
• Os estados da natureza encontram-se fora do
  controle do decisor.
• Para cada linha de acção existe uma consequência
• Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)

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Payoff matrix
Estados da natureza Linhas de acção E1 E2 E3 .. Ej En
A1 A2 . . .Ai . . . Am C11 C12 C13 C1j .C1n C21 C22 C23 C2j .C2n Ci1 Ci2 Ci3 Cij .Cin Cm1 Cm2 Cm3 Cmj .Cmn
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Payoff matrixExemplo

• Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros
  uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros.
  A sua experiência permite-lhe considerar que as
  vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4
  exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de
  que vende pelo menos um exemplar.

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Payoff matrixExemplo
Nº exemplares vendidos Nºde exemplares armazenados 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 -1 4 4 4 4 -4 1 6 6 6 -7 -2 3 8 8 -10 -5 0 5 10
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Payoff matrix Exemplo Qual a melhor decisão?

• Critério Laplace Não há razão q um estado da
  natureza seja melhor que o outro Média
  aritmética de cada linha e tomar a que der média
  mais elevada.
• Critério Wald Tomar em cada linha de acção a
  situação mais desfavorável e decidir pela menos
  desfavorável
• Critério Hurwicz Cada linha é ponderada pela
  situação mais favorável e menos favorável e
  faz-se a media aritmética (ponderada). O factor
  de ponderação é efectuado pelo decisor.
• Critério de regressão Procede a um regressão
  entre o valor previsto e o valor obtido à
  posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão
  irão afectar as decisões futuras.

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activos contingentes
Terminal 1 2 3
Cashflow E6 E6 E106
Cupões zero Terminal Valor nominal
1 1 ano E6
2 2 anos E6
3 3 anos E 106
E103 6.v16.v2106.v3
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Activos financeiros e a incerteza
C1bgtC1mgtF Cash flow Dívida Acções
Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1b C1m DF.v1bF.v1m F F A(c1b-F).v1b(c1m-F).v1m C1b-F C1m-F
C1bgtC1mgtF Cash flow Dívida Acções
Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1b C1m DF.v1bC1m.v1m F C1m A(c1b-F).v1b C1b-F 0
Valor da empresa com dívidaAD C1b.v1bC1m.v1m valor da empresa sem dívida
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Decisão de investimento e mercado completo
Preço hoje Cash flow boa conj Cash flow má conj
Cupão zero unit Acção 0,95 1,45 1 2 1 1
Activos contingentes B Activos contingentes M
Cupão zero unit 1 1
Acção2 2 1
0,951.v1b1.v1m 1,452.v1b1.v1m V1b 0,5 v1m 0,45
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Decisão de investimento e mercado completo

• W0 q.v1 n.a
• W1b qn.div1b
• W1mqn.div1m
• Q Z (tudo obrigações, qW0/v1,
  N0, rendimento certo
• (w0/a).div1m A (Tudo
  em acções (q0, n W0/a) rendim incerto
• q
  (W0/a)/.div1b

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Decisão de investimento e mercado completo

• W0 q.v1 n.a
• W1b qn.div1b
  Posição curta em acções
• W1mqn.div1m
• Q Z (tudo obrigações, qW0/v1,
  N0, rendimento certo
• (w0/a).div1m A (Tudo
  em acções (q0, n W0/a) rendim incerto
• 
  pede emprestado
  para comprar acções
• q
  (W0/a)/.div1b

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Mercado completo

• V1 v1bv1m
• Av1b.div1bv1m.div1m
• W0qv1na
• (qdiv1b)v1b (qdiv1m)v1m
• Um portfolio composto de q zero cupões unitários
  e n acções é equivalente a um portfólio de
  títulos contingentes unitários composto de
  nbqdivn de títulos b e nmqdiv1m de títulos m
• W0 nbv1bnmv1m
• W1b nb e W1m nm
• W0 W1v1bW1m.v1m
• W1m (W0/v1m)-(vib/v1m).W1b

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Mercado completo

• W0/v1m
• declive -(v1b/vim
• R futuros
• declive
  -(1r)
• R
  presentes

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Atitude face ao risco

• Indiferença (neutro ao risco)
• Aversão ao risco
• Propensão ao risco
• Nota Há uma função de utilidade associada

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Indiferença ao risco

• Utilidade (U)

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propensão ao risco

• Utilidade
• 
  Riqueza

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Aversão ao risco

• Utilidade
• 
  Riqueza

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Funções de utilidade e de aversão ao risco
(Modelo de Arrow (1970) e de Pratt (1964) - 1

• U(R) mede a utilidade marginal da riqueza
• U (R) mede a variação da utilidade marginal
  em relação à variação da riqueza
• ? ½ s2z (- U (R) / U(R) ) em que ? é o
  prémiode risco em relação a uma dada riqueza.
• ARA Absolute Risk Aversion
• (- U (R) / U(R) )

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Funções de utilidade e de aversão ao risco - 2

• RRA Relative Risk Aversion
• - R (U (R) / U(R) ) em que R é o
  nível de riqueza do indivíduo (hipótese razoável
  é que RRA seja constante)
• O normal é apresentar d(ARA)/dR lt 0 e d(RRA)/dR
  0.
• Quatro classes de ARA
• . DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion)
  Função exponencial negativa
• . CARA (Constant Absolute Risk Aversion) função
  exponencial
• . IARA (Increasing Absolute Risk Aversion)
  Função quadrática
• . HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion)
  família de funções de utilidade definida por
  Merton (1971) da forma
• U (C,t) e ?t V(C)
• e V(C) (1-µ)/ µ
  ßC/(1-µ) ?µ
• Onde C representa o consumo. Esta função permite
  optimizar simultaneamente a escolha entre consumo
  e activos financeiros em tempo contínuo.

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Funções de utilidade e de aversão ao risco - 3

• Coeficiente de prudência absoluta
  (Kimball(1990))
• AP U(R) / U(R) mede a propensão de um
  indivíduo se preparar para fazer face à incerteza
  (mais do que medir o prémio de risco desejado)
• Standard Risk aversion Uma função é considerada
  standard se os coeficientes ARA e de prudência
  não são crescentes com a riqueza.

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Dominação estocástica

• PROBLEMA Em que condições podemos dizer sem
  ambiguidade que um indivíduo prefere um activo
  com risco a um outro activo com risco? (partindo
  da hipótese que o indivíduo é nonsatiable e com
  aversão ao risco)
• Está assocoado com a dominação estocástica e com
  o conceito de menor risco entre os activos com
  risco

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Dominação estocástica de primeiro grau

• Dois activos com risco (A e B)
• Um activo (A é dominante sobre outro activo
  (B (A FSD B) se todos os indivíduos possuirem
  uma função d eutilidade em riqueza que seja
  contínua e crescente preferem A a B ou se mostrem
  indiferentes a A e B
• O domínio encontra-se dependente dos retornos
  esperados face a cada estado de natureza
  considerado
• E P(e) x
  y z
• 1 1/3 10
  10 1
• 2 1/3 1
  2 20
• 1/3 1 1
  100
• Y domina x mas z não domina y e x
• Todavia, se houver um indivíduo que prefira x a
  z é porque dá mais importância (subjectiva) ao
  estado de natureza (neste caso o 1).

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Dominação estocástica de primeiro grau e segundo
grau- definições

• DEF 1 Um activo A domina um activo B,
  estocásticamente de primeiro grau, se e sòmente
  se, para toda a U(.), independente dos estados da
  natureza , com ugt0, Eu(A(z)) Eu(B(y))
• DEf 2 Um Activo A domina um activo B
  estocásticamente de segundo grau se, toda a
  pessoa com aversão ao risco e para toda a U(.),
  com ugt0 , continua excepto num subconjunto 0,1
  e ult0 , Eu(A(z)) Eu(B(y)), prefira o activo
  A.
• E (z) E(y) mas
• S(x) )x0(FA(z) FB(z))dz lt0 todo x e0,1